北师版数学九年级上册数学期末 学情评估卷（含答案）

九年级上册数学期末 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
时间：120分钟 满分：120分
1．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A. 5,,4 B. 5,, C. 5,, D. 5,4,
2．如图，直线，分别交直线，于点，，和点，，．若，，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5
3．[［2024太原模拟］]稷山高台花鼓是一种古老的传统民间鼓乐舞蹈，源远流长.某校将腰鼓作为特色教育项目引入校园，强健学生体魄，弘扬传统文化.如图为腰鼓实物图，则其三种视图正确的是（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
4．不透明的袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当 时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
（第6题）
A. B.
C. D.
7．已知函数，当时，随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个正根 B. 有一个正根和一个负根
C. 有两个负根 D. 没有实数根
8．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影三角形的面积为4.若，则等于（ ）
（第8题）
A. B. 3 C. D.
9．如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，均在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ）
（第9题）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
（第10题）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如下表：
移植的棵数 300 700 1 000 5 000 15 000
成活的棵数 280 622 912 4 475 13 545
成活的频率 0.933 0.889 0.912 0.895 0.903
根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为_ _ _ _ _ _ ．（精确到）
12．[［2025太原月考］]晋侯鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚.设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，则可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．在同一时刻的太阳光下，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为_ _ _ _ _ _ _ _ 米．
14．已知反比例函数,,在轴上方的图象如图，则,,的大小关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（从大到小排列）
（第14题）
15．如图，、是正方形的对角线上的两点，且，，、分别是和的中点，若正方形的面积为16，则四边形的面积为_ _ _ _ _ _ ．
（第15题）
三、解答题（共75分）
16．（10分）用适当的方法解下列方程.
（1） ；
（2） .
17．（7分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1） 在图②中，画一个与图①中的相似的；
（2） 在图③中，以为位似中心，画一个，使它与的相似比为．
18．（8分）明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点.
（1） 若小惠从四张卡片中随机抽取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_ _ _ _ _ _ 事件，景点“雁门关”被抽中是_ _ 事件，景点“五台山”被抽中的概率是_ _ _ _ _ _ ；（前两空填“不可能”“必然”或“随机”）
（2） 小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率.
19．（10分）如图是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1） 在图中请画出路灯灯泡的位置（用字母 表示）；
（2） 在图中画出路灯灯杆（用线段 表示）；
（3） 若左边树的高度是，影长是，树根离灯杆底的距离是，求灯杆的高度．
20．（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》（如图），他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄读者的读书热情．已知这本书的成本价为10元/本，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．设该书的销售单价为元.
（1） 若每本降价10元，平均每天可销售_ _ 本，此时每天的利润为_ _ _ _ 元.
（2） 若销售该书每天的利润为6 000元，求该书的销售单价.
（3） 销售该书每天的利润能否达到9 000元？请说明理由．
21．（10分） 阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边长的乘积之比.
例：在图①中，点，分别在边，上，和是共角三角形，则.
证明如下：分别过点，作于点，于点，如图②，
可得 .又，,.
,,即.
（1） 如图③，已知 ，请你参照上述例题的证明方法，求证：；
（2） 在（1）的条件下，若,,,则_ _ _ _ ．
22．（10分）“智慧”数学小组在课外活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
问题情境：如图①，在矩形中，，，，分别为，边的中点，四边形为矩形，连接．
特例分析：
（1） 的长是_ _ _ _ ．
（2） 如图②，当矩形绕点顺时针旋转一定角度至点落在边上时，连接,请计算与的长，并求出与之间的数量关系．
深入探究：
（3） 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择_ _ _ _ 题．
A.当矩形绕点顺时针旋转一定角度至如图③的位置时，连接,（2）中与之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
B.“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图④，在平行四边形中， ，，，，分别为，边的中点，四边形为平行四边形，连接．“智慧”数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系．如图⑤，当平行四边形绕点顺时针旋转一定角度时，连接，与是否还存在上述特定的数量关系？请说明理由．
23．（10分）如图，已知，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．
（1） 求证：四边形为菱形；
（2） 求此反比例函数的表达式；
（3） 已知在的图象上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标.
九年级上册数学期末 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
时间：120分钟 满分：120分
1．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A. 5,,4 B. 5,, C. 5,, D. 5,4,
【答案】C
2．如图，直线，分别交直线，于点，，和点，，．若，，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5
【答案】B
3．[［2024太原模拟］]稷山高台花鼓是一种古老的传统民间鼓乐舞蹈，源远流长.某校将腰鼓作为特色教育项目引入校园，强健学生体魄，弘扬传统文化.如图为腰鼓实物图，则其三种视图正确的是（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
【答案】A
4．不透明的袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当 时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【答案】D
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
（第6题）
A. B.
C. D.
【答案】B
7．已知函数，当时，随的增大而减小，则关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个正根 B. 有一个正根和一个负根
C. 有两个负根 D. 没有实数根
【答案】B
8．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影三角形的面积为4.若，则等于（ ）
（第8题）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
9．如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，均在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ）
（第9题）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
（第10题）
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题（每题3分，共15分）
11．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如下表：
移植的棵数 300 700 1 000 5 000 15 000
成活的棵数 280 622 912 4 475 13 545
成活的频率 0.933 0.889 0.912 0.895 0.903
根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为_ _ _ _ _ _ ．（精确到）
【答案】
12．[［2025太原月考］]晋侯鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚.设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，则可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．在同一时刻的太阳光下，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为_ _ _ _ _ _ _ _ 米．
【答案】
14．已知反比例函数,,在轴上方的图象如图，则,,的大小关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（从大到小排列）
（第14题）
【答案】
15．如图，、是正方形的对角线上的两点，且，，、分别是和的中点，若正方形的面积为16，则四边形的面积为_ _ _ _ _ _ ．
（第15题）
【答案】
三、解答题（共75分）
16．（10分）用适当的方法解下列方程.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：，，
，.
（2） ,,，，
，即,.
17．（7分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1） 在图②中，画一个与图①中的相似的；
（2） 在图③中，以为位似中心，画一个，使它与的相似比为．
【答案】
（1） 解：如图①，即为所作.
（2） 如图②，即为所作．
18．（8分）明年春节期间小惠一家打算从 “五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点.
（1） 若小惠从四张卡片中随机抽取一张，则景点“云冈石窟”被抽中是_ _ _ _ _ _ 事件，景点“雁门关”被抽中是_ _ 事件，景点“五台山”被抽中的概率是_ _ _ _ _ _ ；（前两空填“不可能”“必然”或“随机”）
（2） 小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率.
【答案】（1） 不可能；随机；
（2） 解：记“五台山”为，“平遥古城”为，“乔家大院”为，“雁门关”为.列表略.共有12种等可能的结果，其中小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的结果有2种，所以（小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点）.
19．（10分）如图是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1） 在图中请画出路灯灯泡的位置（用字母 表示）；
（2） 在图中画出路灯灯杆（用线段 表示）；
（3） 若左边树的高度是，影长是，树根离灯杆底的距离是，求灯杆的高度．
【答案】
（1） 解:如图,点即为所求.
（2） 如图,线段即为所求.
（3） 如图，设的影长为.
由题意易得,
则,
,,,,
.
答：灯杆的高度是.
20．（10分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》（如图），他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄读者的读书热情．已知这本书的成本价为10元/本，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．设该书的销售单价为元.
（1） 若每本降价10元，平均每天可销售_ _ 本，此时每天的利润为_ _ _ _ 元.
（2） 若销售该书每天的利润为6 000元，求该书的销售单价.
（3） 销售该书每天的利润能否达到9 000元？请说明理由．
【答案】（1） 700；3 500
（2） 解：依题意有,
整理得，解得，,
由题意知，.
答：该书的销售单价为20元.
（3） 销售该书每天的利润不能达到9 000元．理由如下：
根据题意得,
整理得，
，
该方程没有实数根，
销售该书每天的利润不能达到9 000元．
21．（10分） 阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边长的乘积之比.
例：在图①中，点，分别在边，上，和是共角三角形，则.
证明如下：分别过点，作于点，于点，如图②，
可得 .又，,.
,,即.
（1） 如图③，已知 ，请你参照上述例题的证明方法，求证：；
（2） 在（1）的条件下，若,,,则_ _ _ _ ．
【答案】
（1） 证明：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，可得 .
，
，
，
，.
，，
.
（2） 6
22．（10分）“智慧”数学小组在课外活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
问题情境：如图①，在矩形中，，，，分别为，边的中点，四边形为矩形，连接．
特例分析：
（1） 的长是_ _ _ _ ．
（2） 如图②，当矩形绕点顺时针旋转一定角度至点落在边上时，连接,请计算与的长，并求出与之间的数量关系．
深入探究：
（3） 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择_ _ _ _ 题．
A.当矩形绕点顺时针旋转一定角度至如图③的位置时，连接,（2）中与之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
B.“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图④，在平行四边形中， ，，，，分别为，边的中点，四边形为平行四边形，连接．“智慧”数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系．如图⑤，当平行四边形绕点顺时针旋转一定角度时，连接，与是否还存在上述特定的数量关系？请说明理由．
【答案】（1） 5
（2） 解：如图①，作于点.在矩形中,
，，
易得，，
.
由旋转易知，
,
,，，
,
,.
（3） A；成立.理由如下:如图②,连接,.
由旋转易知,
由勾股定理可得,
由（2）得,，,,
,
,,.
（答案不唯一）
23．（10分）如图，已知，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．
（1） 求证：四边形为菱形；
（2） 求此反比例函数的表达式；
（3） 已知在的图象上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标.
【答案】
（1） 证明：，，，
，，，
，，
.
为点关于的对称点，
易得，，，
四边形为菱形.
（2） 解： 四边形为菱形，
轴，,
又, 点的坐标为.
反比例函数的图象经过点，
，， 反比例函数的表达式为.
（3） 解： 四边形是平行四边形，
，，
经过平移可以得到.
将点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到点， 将点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到点.
点在轴的正半轴上， 点的横坐标为0，
根据平移可知点的横坐标为3，
把代入，得，
即点的坐标为，
根据平移的路径可知点的纵坐标为，
点的坐标为.
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