第三节 动量守恒定律
1、2题每题8分，3、4题每题9分，5题15分，共49分
考点一 动量守恒定律的理解
1．(2024·广州市天河中学阶段检测)如图所示，两带电的金属球在绝缘的光滑水平面上沿同一直线相向运动，A带电荷量为－q，B带电荷量为＋2q，下列说法正确的是( )
A．相碰前两球运动过程中动量不守恒
B．相碰前两球的总动量随距离的减小而增大
C．两球相碰分离后的总动量不等于相碰前的总动量，因为碰前作用力为引力，碰后为斥力
D．两球相碰分离后的总动量等于相碰前的总动量，因为两球组成的系统所受合外力为零
2．(多选)(2024·深圳市龙华中学高二期中)下列情况中系统的动量守恒的是( )
A．小车停在光滑水平面上，车上的人在车上走动时，对人与车组成的系统
B．子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统
C．子弹射入固定在墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统
D．斜向上抛出的手榴弹在空中炸开时，对手榴弹组成的系统
3.(2023·佛山市郑裕彤中学月考)如图所示，站在车上的人，用锤子连续敲打小车。初始时，人、车、锤都静止。假设水平地面光滑，关于这一物理过程，下列说法正确的是( )
A．连续敲打可使小车持续向右运动
B．人、车和锤组成的系统机械能守恒
C．当锤子速度方向水平向右时，人和车水平方向的总动量水平向左
D．人、车和锤组成的系统动量守恒
4.如图所示，光滑水平面上放置一足够长木板A，其上表面粗糙，两个质量和材料均不同的物块B、C，以不同的水平速度分别从两端滑上长木板A。当B、C在木板A上滑动的过程中，由A、B、C组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
考点二 动量守恒定律的验证
5．(15分)某实验小组用如图甲所示的装置验证动量守恒定律。长木板的一端垫有小木块，可以微调木板的倾斜程度，小车A前端贴有橡皮泥，后端连一穿过打点计时器的纸带，接通打点计时器电源后，让小车A以某速度做匀速直线运动，与置于木板上静止的小车B相碰并粘在一起，继续做匀速直线运动。打点计时器电源频率为50 Hz，得到的纸带如图乙所示，已将各计数点之间的距离标在图乙上。
(1)(3分)实验前，该实验小组必须做的一项实验步骤是________，才能使小车在木板上做匀速直线运动；
(2)(6分)图中的数据有AB、BC、CD、DE四段，计算小车A碰撞前的速度大小应选________段，计算两车碰撞后的速度大小应选________段；
(3)(6分)若小车A的质量为0.5 kg，小车B的质量为0.25 kg，根据纸带数据，碰前两小车的总动量是______________kg·m/s，碰后两小车的总动量是________kg·m/s。(结果保留3位有效数字)
6～8题每题11分，9题18分，共51分
6．(多选)(2023·佛山市郑裕彤中学高二下月考)如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上，它们之间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起。如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同。对于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后下列说法正确的是( )
A．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒
B．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒
C．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙所示系统的冲量为零
D．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车的冲量大小等于小车A动量的变化量大小
7.(2023·佛山市李兆基中学高二下期末)如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．P对Q做功为零
B．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒
C．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒
D．P和Q构成的系统机械能守恒、水平方向的动量守恒
8.(多选)(2024·广州大学附中高二上开学考改编)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3 000 m接力三连冠。如图所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出。在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则( )
A．甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同
B．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律
C．相互作用的广东省过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律
D．甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反
9．(18分)(2023·广东湛江市第二中学高一期末)如图甲所示，用半径相同的A、B两球的碰撞可以验证“动量守恒定律”。实验时先让质量为m1的A球从斜槽上某一固定位置C由静止开始滚下，进入水平轨道后，从轨道末端水平拋出，落到位于水平地面的复写纸上，在下面的白纸上留下痕迹。重复上述操作10次，得到10个落点痕迹。再把质量为m2的B球放在水平轨道末端的支架上，让A球仍从位置C由静止滚下，A球和B球碰撞后，分别在白纸上留下各自的落点痕迹，重复操作10次。如图乙所示，M、P、N为三个落点的平均位置，未放B球时，A球的落点是P点，O点是水平轨道末端在记录纸上的竖直投影点，O′是B球球心在记录纸上的竖直投影点。
(1)(6分)在这个实验中，为了尽量减小实验误差，两个小球的质量应满足m1________m2(选填“>”“＝”或“<”)；除了图中器材外，实验室还备有下列器材和螺旋测微器，完成本实验还必须使用的两种器材是_________。
A．秒表，天平 B．天平，刻度尺
C．秒表，刻度尺 D．天平，打点计时器
(2)(3分)在某次实验中，测量出两个小球的质量m1、m2，以及小球的半径为r。记录的落点平均位置M、N几乎与OP在同一条直线上，测量出三个落点位置与O点距离OM、OP、ON的长度。在实验误差允许范围内，若满足关系式________________，则可以认为两球碰撞前后在OP方向上的总动量守恒。
(3)(6分)实验中小球斜槽之间存在摩擦力，这对实验结果_________(选填“有”或“没有”)影响，为什么？______________________________。
(4)(3分)完成上述实验后，某实验小组对装置进行了改造，如图丙所示。在水平槽右方竖直固定一木板，使小球A仍从斜槽上C点由静止滚下，重复上述实验的操作，得到两球落在木板上的平均落点M只有系统内的弹力做功，、P、N。用刻度尺测量木板上与点B等高的点B′到M、P、N三点的高度差分别为L1、L2、L3。则验证两球碰撞过程中动量守恒的表达式为______________(用所测物理量的字母表示)。
第三节 动量守恒定律
1．D [将两球看成一个系统分析，系统受重力、支持力，水平方向不受外力，故系统动量守恒，所以两球相碰分离后的总动量等于碰前的总动量。故选D。]
2．ABD [小车停在光滑水平面上，车上的人在车上走动时，人与车组成的系统所受合外力为零，动量守恒，故A正确；子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，子弹与木块组成的系统所受合外力为零，动量守恒，故B正确；子弹射入固定在墙角的木块中，墙壁对木块有弹力作用，系统所受合外力不为零，动量不守恒，故C错误；斜向上抛出的手榴弹在空中炸开时，手榴弹组成的系统内力远大于外力，动量守恒，故D正确。]
3．C [人、车和锤看作一个系统，因处在光滑水平地面上，水平方向所受合外力为零，故水平方向动量守恒，水平方向总动量始终为零，当锤有相对大地向右的速度时，人和车有向左的速度，当锤有相对大地向左的速度时，人和车有向右的速度，故车来回运动，选项A错误，C正确；锤击打小车，碰撞时系统机械能有损耗，选项B错误；人、车和锤水平方向动量守恒，因为锤会有竖直方向的加速度，故竖直方向合外力不为零，竖直方向动量不守恒，系统总动量不守恒，选项D错误。]
4．B [依题意，因水平面光滑，则A、B、C组成的系统合力为零，满足动量守恒条件，系统动量守恒；木板A上表面粗糙，物块B、C在其上滑行时，会摩擦生热，系统机械能有损失，则系统机械能不守恒，故A、C、D错误，B正确。]
5．(1)平衡摩擦力 (2)BC DE
(3)0.856 0.855
解析 (1)实验前，该实验小组必须做的一项实验步骤是平衡摩擦力，才能使小车在木板上做匀速直线运动；
(2)推动小车由静止开始运动，故小车有个加速过程，在碰撞前做匀速直线运动，即在相同的时间内通过的位移相同，BC段为匀速运动的阶段，故选BC段计算碰前的速度；碰撞过程是一个变速运动的过程，而A和B碰后的共同运动为匀速直线运动，故在相同时间内通过相同的位移，故应选DE段来计算碰后的共同速度；
(3)打点计时器频率为50 Hz，则两点间时间间隔T＝0.02 s，碰前小车的速度为
v1＝＝×10－2 m/s＝1.712 m/s
故碰前的总动量为p＝mAv1＝0.5×1.712 kg·m/s＝0.856 kg·m/s
碰后两小车的共同速度为v2＝＝×10－2 m/s＝1.140 m/s
故碰后的总动量为p′＝(mA＋mB)v2＝(0.5＋0.25)×1.140 kg·m/s＝0.855 kg·m/s。
6．AD [从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统运动过程中所受外力之和为0，则系统动量守恒，故A正确；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，则系统所受外力之和不为0，则系统动量不守恒，故B错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，由冲量定义I＝Ft可知，墙壁对图乙所示系统的冲量不为零，由动量定理可知，图乙墙壁弹力对系统的冲量大小等于系统动量的变化量，由于B车没有位移，B车动量为0不变，则墙壁弹力对B的冲量大小等于小车A动量的变化量大小，故C错误，D正确。]
7．D [Q在P上运动的过程中，P对Q的弹力方向垂直于接触面，与Q的位移方向夹角大于90°，则P对Q做功不为零，故A错误；Q在P上运动的过程中，整个系统只有重力做功，机械能守恒，系统在水平方向合力为零，即水平方向动量守恒，系统在竖直方向所受合力不为零，则竖直方向动量不守恒，则总动量不守恒，故B、C错误，D正确。]
8．CD [甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向，她们的冲量也等大反向，故A错误；由于乙推甲的过程，其他形式的能转化为机械能，故机械能不守恒，故B错误；甲、乙相互作用的过程，系统水平方向不受外力的作用，竖直方向所受合外力为零，故系统的动量守恒，此过程甲的动量增大，乙的动量减小，二者动量的变化大小相等、方向相反，故C、D正确。]
9．(1)> B
(2)m1OP＝m1OM＋m2ON
(3)没有 小球每次都是从同一高度释放，克服摩擦力做的功相同
(4)m1＝m1＋m2
解析 (1)为了防止入射球碰后反弹，应让入射小球的质量大于被碰撞球的质量，即两质量满足m1>m2。
两小球碰撞过程若动量守恒，则m1v1＝m1v1′＋m2v2，小球从同一高度下落，运动时间相同，水平方向做匀速直线运动，则m1v1t＝m1v1′t＋m2v2t，即m1OP＝m1OM＋m2ON，所以该实验需要测量小球抛出点和落地点的水平距离以及小球的质量，所以需要天平和刻度尺，故选B。
(2)若两球在OP方向上动量守恒，则满足m1OP＝m1OM＋m2ON。
(3)没有影响，小球每次都是从同一高度释放，克服摩擦力做的功相同，碰前小球的速度相同，所以斜槽末端是否光滑对该实验没有影响。
(4)小球从斜槽末端抛出后做平抛运动，水平距离x相等，由h＝gt2，x＝v0t，得v0＝x，若碰撞过程两球动量守恒，
则有m1v1＝m1v1′＋m2v2，
则m1＝m1＋m2。第三节 动量守恒定律
[学习目标] 1.能够运用牛顿运动定律推导出动量守恒定律 (重点)。2.掌握动量守恒的条件，能在具体问题中判断动量是否守恒(重点)。3.能通过实验判断动量是否守恒，通过分析实验数据得出结论，并能对实验进行改进和创新(重难点)。
一、动量守恒定律的理解
如图所示，物体1和物体2在光滑水平面上碰撞。设物体1和物体2的质量分别为m1、m2，碰撞前，物体1和物体2的速度分别为v1、v2。碰撞时，物体1对物体2的作用力为F12，物体2对物体1的作用力为F21，物体1与物体2的碰撞时间为t。碰撞后，物体1和物体2的速度分别为v1′、v2′。请用所学知识证明碰撞前后，两物体总动量之和相等。
1．系统、内力与外力
(1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个系统。
(2)内力：__________物体间的作用力。
(3)外力：__________其他的物体对系统的作用力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果系统________________，则系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
(2)公式：________________。
(3)条件：
①理想守恒：________________________。
②近似守恒：系统所受合外力不为零，但内力远远大于外力。
③某一方向守恒：系统所受合外力不为零(整个系统动量不守恒)，但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力)，则可认为系统在该方向上动量守恒。
如图所示，光滑的水平面上两小车中间夹一压缩的轻弹簧，两手分别按住小车使两车静止，对两车及弹簧组成的系统，试分析：
(1)两手同时放开，两车的动量均不为零，他们的总动量是否增加了？
(2)若先放开左手，再放开右手后，系统的总动量是否为零？若不为零，方向如何？之后系统的总动量是否守恒？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。( )
(2)水平面上两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间，两个物体组成的系统动量守恒。( )
(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零。( )
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。( )
例1 (多选)关于下图所反映的物理过程，下列说法正确的是( )
A．在图甲中，子弹、木块组成的系统动量守恒
B．在图乙中，M、N组成的系统动量守恒
C．在图丙中，木球、铁球组成的系统动量不守恒
D．在图丁中，木块、斜面组成的系统在水平方向上动量守恒
例2 (多选)(2023·广州市培正中学测试)如图所示，A、B两物体的质量之比MA∶MB＝1∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧(弹簧不与物体相连)，地面光滑，A、B与平板车上表面间的动摩擦因数分别为μA、μB。当弹簧突然释放后，A、B两物体被反向弹开，则A、B两物体滑行过程中，下列说法正确的是( )
A．若μA＝μB，A、B组成的系统动量守恒，C不动
B．若μA＝μB，A、B、C组成的系统动量守恒，C向右运动
C．若μA∶μB＝2∶1，A、B组成的系统动量守恒，C不动
D．若μA∶μB＝2∶1，A、B、C组成的系统动量守恒，C向右运动
系统动量是否守恒的判定方法
1．选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
2．分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化，如碰撞、爆炸过程中，若系统内力远大于外力，系统动量近似守恒。
3．除了利用动量守恒的条件判定外，还可以通过实际过程中系统各物体在各方向上总动量是否保持不变来进行直观的判定。
二、动量守恒定律的验证
1．实验思路
(1)动量守恒的条件：系统______________或者某个方向合外力为零。
(2)实验原理：当发生碰撞时作用时间很短，内力远大于外力，因此碰撞满足动量守恒的条件。在一维碰撞的情况下，设两个物体的质量分别为m1、m2，碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1′、v2′，若系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，则______________。
(3)物理量的测量
①质量的测量：用天平测量两球的质量m1、m2。
②速度的测量：两球碰撞前后的速度，可以利用平抛运动的知识求出。
2．实验器材
(1)实验装置如图所示
(2)器材：铁架台，斜槽轨道，两个大小相等、质量不同的小球，重垂线，复写纸，白纸，天平，刻度尺，圆规，三角板等。
3．进行实验
(1)按图所示安装实验仪器，通过水平调节螺钉使斜槽末端处于水平，钢球放在上面能保持静止状态。在木板上依次铺上白纸、复写纸。利用重垂线在白纸上分别标注斜槽水平段端口、靶球初位置(支球柱)在白纸平面的投影点O和点O′。
(2)用天平测出两个大小相同、但质量不同的钢球的质量，质量大的钢球m1作为入射球，质量小的钢球m2作为靶球。
(3)先让入射球单独从斜槽上端紧靠定位板的位置自由滑下，在白纸上留下落地碰撞的痕迹。
(4)让入射球从斜槽上端同一位置自由滑下，与放在支球柱上的靶球发生碰撞，两球分别在白纸上留下落地碰撞的痕迹。
(5)测出入射球m1两次落地碰撞点与点O的距离s和s1，靶球m2落地碰撞点与点O′的距离s2。
4．数据分析
由于钢球离开斜槽末端后做平抛运动，钢球下落的高度相同，所以它们的飞行时间相等，故钢球飞出的水平距离与飞出的速度成正比。因此这个实验可以不测速度的具体数值，若______________在误差允许范围内成立就验证了钢球碰撞前后总动量守恒。
5．误差分析
(1)系统误差：主要来源于装置本身是否符合要求。
(2)偶然误差：主要来源于质量m1、m2和碰撞前后速度(或水平射程)的测量。
6．注意事项
(1)入射球的质量必须__________靶球的质量。
(2)每次都要控制入射球从__________的高度自由滑下。
(3)在调节实验装置时，要使固定在桌边的斜槽末端点的__________，支柱与槽口间距离等于__________，而且两球相碰时处在__________高度。
例3 (2023·广州市高二期末)用如图甲所示的装置验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系，两个小球的质量分别为m1、m2。
(1)下列说法正确的是________。
A．斜槽轨道尽量光滑可以减少误差
B．斜槽轨道末端的切线必须水平
C．两个小球的质量可以相等
D．每次都要控制入射球从轨道相同的高度自由释放
(2)本实验必须要测量的物理量有______。
A．两个小球的质量m1、m2
B．小球释放点的高度h
C．小球抛出点距地面的高度H
D．小球的直径
(3)实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度的依据是______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________。
(4)某次实验中得出的落点情况如图乙所示，假设碰撞过程中动量守恒，则入射小球的质量m1和被碰小球的质量m2之比为________。
例4 (2023·广东省名校联盟高二大联考改编)某同学利用气垫导轨做“验证动量守恒定律”的实验，气垫导轨装置如图所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架、光电门等组成。
(1)下面是实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③接通数字计时器；
④把滑块2静止放在气垫导轨的中间；
⑤滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；
⑥释放滑块1，滑块1通过光电门1后与左侧带有固定弹簧(未画出)的滑块2碰撞，碰后滑块2和滑块1依次通过光电门2，两滑块通过光电门2后依次被制动；
⑦读出滑块通过光电门的挡光时间分别为：滑块1通过光电门1的挡光时间Δt1＝10.01 ms，通过光电门2的挡光时间Δt2＝49.99 ms，滑块2通过光电门2的挡光时间Δt3＝8.35 ms；
⑧测出挡光板的宽度d＝5 mm，测得滑块1的质量为m1＝300 g，滑块2(包括弹簧)的质量为m2＝200 g。
(2)数据处理与实验结论：
①实验中气垫导轨的作用是：
A．________________________________________________________________________；
B．________________________________________________________________________。
②碰撞前滑块1的速度v1为________ m/s；碰撞后滑块1的速度v2为________ m/s；碰撞后滑块2的速度v3为________ m/s；(结果均保留两位有效数字)
③碰撞前系统的总动量为m1v1＝______。
碰撞后系统的总动量为m1v2＋m2v3＝
________________________________________________________________________。
由此可得实验结论：_______________________________________________________。
答案精析
一、
易错辨析
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
例1 AD [题图甲中，在光滑水平面上，子弹水平射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，A正确；题图乙中系统受到墙的弹力作用，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，B错误；题图丙中两球匀速下降，说明两球组成的系统在竖直方向上所受的合外力为零，细线断裂后，它们在水中运动的过程中，两球整体受力情况不变，遵循动量守恒定律，C错误；题图丁中斜面是不固定的，木块下滑过程中系统所受合外力不为零，动量不守恒，但木块和斜面组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，故木块、斜面组成的系统在水平方向上动量守恒，D正确。]
例2 BC [因A、B两物体的质量不相等，若μA＝μB，则有两物体所受的滑动摩擦力大小不相等，则A、B组成的系统所受的合外力不是零，A、B组成的系统动量不守恒，由牛顿第三定律可知，平板小车C受的合外力不是零，因A对C向左的滑动摩擦力小于B对C向右的滑动摩擦力，小车C向右运动，A错误；若μA＝μB，A、B、C组成的系统所受合外力是零，则系统动量守恒，因A对C向左的滑动摩擦力小于B对C向右的滑动摩擦力，C向右运动，B正确；若μA∶μB＝2∶1，又MA∶MB＝1∶2，则有两物体所受滑动摩擦力大小相等，方向相反，即fA＝fB，A、B组成的系统所受的合外力是零，A、B组成的系统动量守恒，由牛顿第三定律可知，平板小车C所受的合外力为零，C不动，此时A、B、C组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，C正确，D错误。]
二、
例3 (1)BD (2)A (3)见解析 (4)
解析 (1)只要从同一位置静止释放入射小球，入射小球每次碰撞前瞬间的速度都相同，斜槽轨道不需要光滑，故A错误；为了保证小球抛出时的速度处于水平方向，斜槽轨道末端的切线必须水平，故B正确；为了保证碰撞后入射小球不反弹，入射小球质量需要大于被碰小球质量，故C错误；为了保证入射小球每次碰撞前瞬间的速度相同，每次都要控制入射球从轨道相同的高度自由释放，故D正确。
(2)本实验验证动量守恒的表达式为m1v0＝m1v1＋m2v2，小球做平抛运动下落的高度相同，小球在空中运动的时间相等，则有m1v0t＝m1v1t＋m2v2t，可得m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，故本实验必须要测量的物理量有：两个小球的质量m1、m2；两小球做平抛运动的水平位移。故选A。
(3)实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度的依据是：小球做平抛运动下落的高度相同，小球在空中运动的时间相等，则小球做平抛运动的水平射程与小球做平抛运动的初速度成正比。
(4)根据动量守恒可得
m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，
可得入射小球的质量m1和被碰小球的质量m2之比为
＝＝＝。
例4 见解析
解析 (2)①A.大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差。
B．保证两个滑块的碰撞是一维的。
②滑块1碰撞之前的速度
v1＝＝ m/s
≈0.50 m/s；
滑块1碰撞之后的速度
v2＝＝ m/s
≈0.10 m/s；
滑块2碰撞之后的速度
v3＝＝ m/s
≈0.60 m/s；
③系统碰撞之前m1v1＝0.15 kg·m/s，系统碰撞之后
m1v2＋m2v3＝0.15 kg·m/s。
通过实验结果，可得结论：在实验误差允许的范围内，两滑块相互作用的过程中系统的动量守恒。(共70张PPT)
DIYIZHANG
第一章
第三节 动量守恒定律
1.能够运用牛顿运动定律推导出动量守恒定律 (重点)。
2.掌握动量守恒的条件，能在具体问题中判断动量是否守恒(重点)。3.能通过实验判断动量是否守恒，通过分析实验数据得出结论，并能对实验进行改进和创新(重难点)。
学习目标
一、动量守恒定律的理解
二、动量守恒定律的验证
课时对点练
内容索引
动量守恒定律的理解
一
如图所示，物体1和物体2在光滑水平面上碰撞。设物体1和物体2的质量分别为m1、m2，碰撞前，物体1和物体2的速度分别为v1、v2。碰撞时，物体1对物体2的作用力为F12，物体2对物体1的作用力为F21，物体1与物体2的碰撞时间为t。碰撞后，物体1和物体2的速度
分别为v1′、v2′。请用所学知识证明碰撞前后，
两物体总动量之和相等。
答案 由动量定理，对于物体1，有F21t＝m1v1′－m1v1
对于物体2，有F12t＝m2v2′－m2v2
根据牛顿第三定律可知，F12＝－F21
由以上三式可得m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
1.系统、内力与外力
(1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个系统。
(2)内力： 物体间的作用力。
(3)外力： 其他的物体对系统的作用力。
2.动量守恒定律
(1)内容：如果系统 ，则系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
(2)公式： 。
系统内
梳理与总结
系统外部
所受合外力为零
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
(3)条件：
①理想守恒： 。
②近似守恒：系统所受合外力不为零，但内力远远大于外力。
③某一方向守恒：系统所受合外力不为零(整个系统动量不守恒)，但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力)，则可认为系统在该方向上动量守恒。
系统不受外力或所受合外力为零
如图所示，光滑的水平面上两小车中间夹一压缩的轻弹簧，两手分别按住小车使两车静止，对两车及弹簧组成的系统，试分析：
讨论与交流
答案 虽然两小车的动量都不为零，但根据动量守恒定律，它们的总动量等于放开之前的总动量，仍然为零，总动量并没有增加。
(1)两手同时放开，两车的动量均不为零，他们的总动量是否增加了？
(2)若先放开左手，再放开右手后，系统的总动量是否为零？若不为零，方向如何？之后系统的总动量是否守恒？
答案 先放开左手，左边的小车就向左运动，当再放开右手后，系统总动量不为零，方向向左。之后系统所受合外力为零，系统总动量守恒。
(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。( )
(2)水平面上两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间，两个物体组成的系统动量守恒。( )
(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零。( )
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。( )
×
√
√
×
(多选)关于下图所反映的物理过程，下列说法正确的是
例1
A.在图甲中，子弹、木块组成的系统动量守恒
B.在图乙中，M、N组成的系统动量守恒
C.在图丙中，木球、铁球组成的系统动量不守恒
D.在图丁中，木块、斜面组成的系统在水平方向上动量守恒
√
√
题图甲中，在光滑水平面上，子弹水平射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，A正确；
题图乙中系统受到墙的弹力作用，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，B错误；
题图丁中斜面是不固定的，木块下滑过程中系统所受合外力不为零，动量不守恒，但木块和斜面组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，故木块、斜面组成的系统在水平方向上动量守恒，D正确。
题图丙中两球匀速下降，说明两球组成的系统在竖直方向上所受的合外力为零，细线断裂后，它们在水中运动的过程中，两球整体受力情况不变，遵循动量守恒定律，C错误；
(多选)(2023·广州市培正中学测试)如图所示，A、B两物体的质量之比MA∶MB＝1∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧(弹簧不与物体相连)，地面光滑，A、B与平板车上表面间的动摩擦因数分别为μA、μB。当弹簧突然释放后，A、B两物体被反向弹开，则A、B两物体滑行过程中，下列说法正确的是
A.若μA＝μB，A、B组成的系统动量守恒，C不动
B.若μA＝μB，A、B、C组成的系统动量守恒，C向右运动
C.若μA∶μB＝2∶1，A、B组成的系统动量守恒，C不动
D.若μA∶μB＝2∶1，A、B、C组成的系统动量守恒，C向右运动
例2
√
√
因A、B两物体的质量不相等，若μA＝μB，则
有两物体所受的滑动摩擦力大小不相等，则A、
B组成的系统所受的合外力不是零，A、B组成的系统动量不守恒，由牛顿第三定律可知，平板小车C受的合外力不是零，因A对C向左的滑动摩擦力小于B对C向右的滑动摩擦力，小车C向右运动，A错误；
若μA＝μB，A、B、C组成的系统所受合外力是零，则系统动量守恒，因A对C向左的滑动摩擦力小于B对C向右的滑动摩擦力，C向右运动，B正确；
若μA∶μB＝2∶1，又MA∶MB＝1∶2，则有
两物体所受滑动摩擦力大小相等，方向相反，
即fA＝fB，A、B组成的系统所受的合外力是零，A、B组成的系统动量守恒，由牛顿第三定律可知，平板小车C所受的合外力为零，C不动，此时A、B、C组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，C正确，D错误。
总结提升
系统动量是否守恒的判定方法
1.选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
2.分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化，如碰撞、爆炸过程中，若系统内力远大于外力，系统动量近似守恒。
3.除了利用动量守恒的条件判定外，还可以通过实际过程中系统各物体在各方向上总动量是否保持不变来进行直观的判定。
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动量守恒定律的验证
二
1.实验思路
(1)动量守恒的条件：系统 或者某个方向合外力为零。
(2)实验原理：当发生碰撞时作用时间很短，内力远大于外力，因此碰撞满足动量守恒的条件。在一维碰撞的情况下，设两个物体的质量分别为m1、m2，碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1′、v2′，若系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，则_____________________
__________。
(3)物理量的测量
①质量的测量：用天平测量两球的质量m1、m2。
②速度的测量：两球碰撞前后的速度，可以利用平抛运动的知识求出。
所受合外力为零
m1v1＋m2v2＝m1v1′
＋m2v2′
2.实验器材
(1)实验装置如图所示
(2)器材：铁架台，斜槽轨道，两个大小相等、质量不同的小球，重垂线，复写纸，白纸，天平，刻度尺，圆规，三角板等。
3.进行实验
(1)按图所示安装实验仪器，通过水平调节螺钉使斜槽末端处于水平，钢球放在上面能保持静止状态。在木板上依次铺上白纸、复写纸。利用重垂线在白纸上分别标注斜槽水平段端口、靶球初位置(支球柱)在白纸平面的投影点O和点O′。
(2)用天平测出两个大小相同、但质量不同的钢球的质量，质量大的钢球m1作为入射球，质量小的钢球m2作为靶球。
(3)先让入射球单独从斜槽上端紧靠定位板的位置自由滑下，在白纸上留下落地碰撞的痕迹。
(4)让入射球从斜槽上端同一位置自由滑下，与放在支球柱上的靶球发生碰撞，两球分别在白纸上留下落地碰撞的痕迹。
(5)测出入射球m1两次落地碰撞点与点O的距离s和s1，靶球m2落地碰撞点与点O′的距离s2。
4.数据分析
由于钢球离开斜槽末端后做平抛运动，钢球下落的高度相同，所以它们的飞行时间相等，故钢球飞出的水平距离与飞出的速度成正比。因此这个实验可以不测速度的具体数值，若 在误差允许范围内成立就验证了钢球碰撞前后总动量守恒。
5.误差分析
(1)系统误差：主要来源于装置本身是否符合要求。
(2)偶然误差：主要来源于质量m1、m2和碰撞前后速度(或水平射程)的测量。
m1s＝m1s1＋m2s2
6.注意事项
(1)入射球的质量必须 靶球的质量。
(2)每次都要控制入射球从 的高度自由滑下。
(3)在调节实验装置时，要使固定在桌边的斜槽末端点的 ，支柱与槽口间距离等于 ，而且两球相碰时处在 高度。
大于
相同
切线水平
钢球直径
同一
(2023·广州市高二期末)用如图甲所示的装置验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系，两个小球的质量分别为m1、m2。
(1)下列说法正确的是______。
A.斜槽轨道尽量光滑可以减少误差
B.斜槽轨道末端的切线必须水平
C.两个小球的质量可以相等
D.每次都要控制入射球从轨道相同的高度自
由释放
例3
BD
只要从同一位置静止释放入射小球，入射小球每次碰撞前瞬间的速度都相同，斜槽轨道不需要光滑，故A错误；
为了保证小球抛出时的速度处于水平方向，斜槽轨道末端的切线必须水平，故B正确；
为了保证碰撞后入射小球不反弹，入射小球质量需要大于被碰小球质量，故C错误；
为了保证入射小球每次碰撞前瞬间的速度相同，每次都要控制入射球从轨道相同的高度自由释放，故D正确。
(2)本实验必须要测量的物理量有______。
A.两个小球的质量m1、m2
B.小球释放点的高度h
C.小球抛出点距地面的高度H
D.小球的直径
A
本实验验证动量守恒的表达式为m1v0＝m1v1＋m2v2，小球做平抛运动下落的高度相同，小球在空中运动的时间相等，则有m1v0t＝m1v1t＋m2v2t，可得m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，故本实验必须要测量的物理量有：两个小球的质量m1、m2；两小球做平抛运动的水平位移。故选A。
(3)实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度的依据是___________。
见解析
实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度的依据是：小球做平抛运动下落的高度相同，小球在空中运动的时间相等，则小球做平抛运动的水平射程与小球做平抛运动的初速度成正比。
(4)某次实验中得出的落点情况如图乙所示，假设碰撞过程中动量守恒，则入射小球的
质量m1和被碰小球的质量m2之比为____。
(2023·广东省名校联盟高二大联考改编)某同学利用气垫导轨做“验证动量守恒定律”的实验，气垫导轨装置如图所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架、光电门等组成。
(1)下面是实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③接通数字计时器；
④把滑块2静止放在气垫导轨的中间；
⑤滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；
例4
⑥释放滑块1，滑块1通过光电门1后与左侧带有固定弹簧(未画出)的滑块2碰撞，碰后滑块2和滑块1依次通过光电门2，两滑块通过光电门2后依次被制动；
⑦读出滑块通过光电门的挡光时间分别为：滑块1通过光电门1的挡光时间Δt1＝10.01 ms，通过光电门2的挡光时间Δt2＝49.99 ms，滑块2通过光电门2的挡光时间Δt3＝8.35 ms；
⑧测出挡光板的宽度d＝5 mm，测得滑块1的质量为m1＝300 g，滑块2(包括弹簧)的质量为m2＝200 g。
(2)数据处理与实验结论：
①实验中气垫导轨的作用是：
A.________________________；
B.________________________。
答案 见解析
A.大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差。
B.保证两个滑块的碰撞是一维的。
②碰撞前滑块1的速度v1为_____ m/s；碰撞后滑块1的速度v2为_____ m/s；碰撞后滑块2的速度v3为_____ m/s；(结果均保留两位有效数字)
答案 见解析
滑块1碰撞之前的速度
滑块1碰撞之后的速度
滑块2碰撞之后的速度
③碰撞前系统的总动量为m1v1＝______________。
碰撞后系统的总动量为m1v2＋m2v3＝_______________________________。
由此可得实验结论：____________________________。
答案 见解析
系统碰撞之前m1v1＝0.15 kg·m/s，系统碰撞之后m1v2＋m2v3＝0.15 kg·m/s。
通过实验结果，可得结论：在实验误差允许的范围内，两滑块相互作用的过程中系统的动量守恒。
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课时对点练
三
考点一 动量守恒定律的理解
1.(2024·广州市天河中学阶段检测)如图所示，两带电的金属球在绝缘的光滑水平面上沿同一直线相向运动，A带电荷量为－q，B带电荷量为＋2q，下列说法正确的是
A.相碰前两球运动过程中动量不守恒
B.相碰前两球的总动量随距离的减小而增大
C.两球相碰分离后的总动量不等于相碰前的总动量，因为碰前作用力为引力，
碰后为斥力
D.两球相碰分离后的总动量等于相碰前的总动量，因为两球组成的系统所受
合外力为零
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基础对点练
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将两球看成一个系统分析，系统受重力、支持力，水平方向不受外力，故系统动量守恒，所以两球相碰分离后的总动量等于碰前的总动量。故选D。
2.(多选)(2024·深圳市龙华中学高二期中)下列情况中系统的动量守恒的是
A.小车停在光滑水平面上，车上的人在车上走动时，对人与车组成的系统
B.子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统
C.子弹射入固定在墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统
D.斜向上抛出的手榴弹在空中炸开时，对手榴弹组成的系统
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小车停在光滑水平面上，车上的人在车上走动时，人与车组成的系统所受合外力为零，动量守恒，故A正确；
子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，子弹与木块组成的系统所受合外力为零，动量守恒，故B正确；
子弹射入固定在墙角的木块中，墙壁对木块有弹力作用，系统所受合外力不为零，动量不守恒，故C错误；
斜向上抛出的手榴弹在空中炸开时，手榴弹组成的系统内力远大于外力，动量守恒，故D正确。
3.(2023·佛山市郑裕彤中学月考)如图所示，站在车上的人，用锤子连续敲打小车。初始时，人、车、锤都静止。假设水平地面光滑，关于这一物理过程，下列说法正确的是
A.连续敲打可使小车持续向右运动
B.人、车和锤组成的系统机械能守恒
C.当锤子速度方向水平向右时，人和车水平方向
的总动量水平向左
D.人、车和锤组成的系统动量守恒
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人、车和锤看作一个系统，因处在光滑水平地面上，水平方向所受合外力为零，故水平方向动量守恒，水平方向总动量始终为零，当锤有相对大地向右的速度时，人和车有向左的速度，当锤有相对大地向左的速度时，人和车有向右的速度，故车来回运动，选项A错误，C正确；
锤击打小车，碰撞时系统机械能有损耗，选项B错误；
人、车和锤水平方向动量守恒，因为锤会有竖直方向的加速度，故竖直方向合外力不为零，竖直方向动量不守恒，系统总动量不守恒，选项D错误。
4.如图所示，光滑水平面上放置一足够长木板A，其上表面粗糙，两个质量和材料均不同的物块B、C，以不同的水平速度分别从两端滑上长木板A。当B、C在木板A上滑动的过程中，由A、B、C组成的系统
A.动量守恒，机械能守恒
B.动量守恒，机械能不守恒
C.动量不守恒，机械能守恒
D.动量不守恒，机械能不守恒
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依题意，因水平面光滑，则A、B、C组成的
系统合力为零，满足动量守恒条件，系统动
量守恒；木板A上表面粗糙，物块B、C在其上滑行时，会摩擦生热，系统机械能有损失，则系统机械能不守恒，故A、C、D错误，B正确。
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考点二 动量守恒定律的验证
5.某实验小组用如图甲所示的装置验证动量守恒定律。长木板的一端垫有小木块，可以微调木板的倾斜程度，小车A前端贴有橡皮泥，后端连一穿过打点计时器的纸带，接通打点计时器电源后，让小车A以某速度做匀速直线运动，与置于木板上静止的小车B相碰并粘在一起，继续做匀速直线运动。打点计时器电源频率为50 Hz，得到的纸带如图乙所示，已将各计数点之间的距离标在图乙上。
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(1)实验前，该实验小组必须做的一项实验步骤是____________，才能使小车在木板上做匀速直线运动；
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平衡摩擦力
实验前，该实验小组必须做的一项实验步骤是平衡摩擦力，才能使小车在木板上做匀速直线运动；
(2)图中的数据有AB、BC、CD、DE四段，计算小车A碰撞前的速度大小应选______段，计算两车碰撞后的速度大小应选______段；
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BC
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推动小车由静止开始运动，故小车有个加速过程，在碰撞前做匀速直线运动，即在相同的时间内通过的位移相同，BC段为匀速运动的阶段，故选BC段计算碰前的速度；碰撞过程是一个变速运动的过程，而A和B碰后的共同运动为匀速直线运动，故在相同时间内通过相同的位移，故应选DE段来计算碰后的共同速度；
(3)若小车A的质量为0.5 kg，小车B的质量为0.25 kg，根据纸带数据，碰前两小车的总动量是_______kg·m/s，碰后两小车的总动量是________kg·m/s。(结果保留3位有效数字)
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0.856
0.855
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打点计时器频率为50 Hz，则两点间时间间隔T＝0.02 s，碰前小车的速度为
故碰前的总动量为p＝mAv1＝0.5×1.712 kg·m/s＝0.856 kg·m/s
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故碰后的总动量为p′＝(mA＋mB)v2＝(0.5＋0.25)×1.140 kg·m/s＝0.855 kg·m/s。
6.(多选)(2023·佛山市郑裕彤中学高二下月考)如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上，它们之间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起。如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同。对于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后下列说法正确的是
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能力综合练
A.从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒
B.从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒
C.从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙所示系统的冲
量为零
D.从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车的冲量
大小等于小车A动量的变化量大小
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从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统运动过程中所受外力之和为0，则系统动量守恒，故A正确；
从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，则系统所受外力之和不为0，则系统动量不守恒，故B错误；
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从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，由冲量定义I＝Ft可知，墙壁对图乙所示系统的冲量不为零，由动量定理可知，图乙墙壁弹力对系统的冲量大小等于系统动量的变化量，由于B车没有位移，B车动量为0不变，则墙壁弹力对B的冲量大小等于小车A动量的变化量大小，故C错误，D正确。
7.(2023·佛山市李兆基中学高二下期末)如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是
A.P对Q做功为零
B.P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒
C.P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒
D.P和Q构成的系统机械能守恒、水平方向的动量守恒
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Q在P上运动的过程中，P对Q的弹力方向垂直于接触面，与Q的位移方向夹角大于90°，则P对Q做功不为零，故A错误；
Q在P上运动的过程中，整个系统只有重力做功，机械能守恒，系统在水平方向合力为零，即水平方向动量守恒，系统在竖直方向所受合力不为零，则竖直方向动量不守恒，则总动量不守恒，故B、C错误，D正确。
8.(多选)(2024·广州大学附中高二上开学考改编)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3 000 m接力三连冠。如图所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出。在乙
推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上
的相互作用，则
A.甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同
B.相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律
C.相互作用的广东省过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律
D.甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反
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甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向，她们的冲量也等大反向，故A错误；
由于乙推甲的过程，其他形式的能转化为机械能，故机械能不守恒，故B错误；
甲、乙相互作用的过程，系统水平方向不受外力的作用，竖直方向所受合外力为零，故系统的动量守恒，此过程甲的动量增大，乙的动量减小，二者动量的变化大小相等、方向相反，故C、D正确。
9.(2023·广东湛江市第二中学高一期末)如图甲所示，用半径相同的A、B两球的碰撞可以验证“动量守恒定律”。实验时先让质量为m1的A球从斜槽上某一固定位置C由静止开始滚下，进入水平轨道后，从轨道末端水平拋出，落到位于水平地面的复写纸上，在下面的白纸上留下痕迹。重复上述操作10次，得到10个落点痕迹。再把质量为m2的B球放在水平轨道末端的支架上，让A球仍从位置C由静止滚下，A球和B球碰撞后，分别在白纸上留下各自的落点痕迹，
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重复操作10次。如图乙所示，M、P、N为三个落点的平均位置，未放B球时，A球的落点是P点，O点是水平轨道末端在记录纸上的竖直投影点，O′是B球球心在记录纸上的竖直投影点。
(1)在这个实验中，为了尽量减小实验误差，两个小球的质量应满足m1_____m2(选填“>”“＝”或“<”)；除了图中器材外，实验室还备有下列器材和螺旋测微器，完成本实验还必须使用的两种器材是_____。
A.秒表，天平
B.天平，刻度尺
C.秒表，刻度尺
D.天平，打点计时器
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>
B
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为了防止入射球碰后反弹，应让入射小球的质量大于被碰撞球的质量，即两质量满足m1>m2。
两小球碰撞过程若动量守恒，
则m1v1＝m1v1′＋m2v2，小球从同一高度下落，运动时间相同，水平方向做匀速直线运动，则m1v1t＝m1v1′t＋m2v2t，即m1OP＝m1OM＋m2ON，所以该实验需要测量小球抛出点和落地点的水平距离以及小球的质量，所以需要天平和刻度尺，故选B。
(2)在某次实验中，测量出两个小球的质量m1、m2，以及小球的半径为r。记录的落点平均位置M、N几乎与OP在同一条直线上，测量出三个落点位置与O点距离OM、OP、ON的长度。在实验误差允许范围内，若满足关系式_______________________，则可以认为两球碰撞前后在OP方向上的总动量守恒。
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m1OP＝m1OM＋m2ON
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若两球在OP方向上动量守恒，则满足m1OP＝m1OM＋m2ON。
(3)实验中小球斜槽之间存在摩擦力，这对实验结果_______(选填“有”或“没有”)影响，为什么？_____________________________________
______________。
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没有
小球每次都是从同一高度释放，克服摩擦
力做的功相同
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没有影响，小球每次都是从同一高度释放，克服摩擦力做的功相同，碰前小球的速度相同，所以斜槽末端是否光滑对该实验没有影响。
(4)完成上述实验后，某实验小组对装置进行了改造，如图丙所示。在水平槽右方竖直固定一木板，使小球A仍从斜槽上C点由静止滚下，重复上述实验的操作，得到两球落在木板上的平均落点M只有系统内的弹力做功，、P、N。用刻度尺测量木板上与点B等高的点B′到M、P、N三点的高度差分别为L1、L2、L3。则验证两球碰撞过程中
动量守恒的表达式为_________________________
(用所测物理量的字母表示)。
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小球从斜槽末端抛出后做平抛运动，水平距离x相等，
若碰撞过程两球动量守恒，
则有m1v1＝m1v1′＋m2v2，
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