【培优练】人教版数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题
1．（2024八下·乳源期中）已知平行四边形，对角线与相交于点O，以下表述不一定正确的是（ ）
A．且 B．且
C． D．且
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形，且是正确的，∴A不符合题意；
B、平行四边形，且是正确的，∴B不符合题意；
C、平行四边形，，∴C符合题意；
D、平行四边形，且是正确的，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的判定方法和性质逐项分析判断即可.
2．（2024八下·南明月考） 在 中， 如果 ， 那么 的 大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴∠A=∠C，
∵，
∴∠C=2∠B，
∴3∠B=180°，
解得∠B=60°，
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B+∠C=180°，进而结合已知条件即可得到∠C=2∠B，从而得到3∠B=180°即可求解。
3．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B=53°，则∠DAE的度数为（ ）
A．33° B．37° C．53° D．57°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=53°，
∴∠D=∠B=53°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴在△ADE中，∠DAE=180°-∠D-∠AED=180°-53°-90°=37°，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠D=∠B=53°，再利用垂直的性质及三角形的内角和求出∠DAE即可.
4．（2024八下·上城期末）如图，在中，，于点 E，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
故答案为：C．
【分析】首先根据垂直定义及直角三角形的性质，可得出，再根据平行线的性质，等量代换为，进而根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质可知，进而得出，整理为：，即可得出答案。
5．（2024八下·汝城期中）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】证明，利用等角对等边得：，进而得到，再利用平行四边形的性质得AD长，即可得解.
6．（2024八下·定兴期末）如图， 的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
∵EF∥GH
∴∠FAC =∠ACG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠DAC=∠ACB
∴∠FAC-∠DAC=∠ACG-∠ACB
∴∠FAD =∠BCG =26°
故选D.
【分析】
连接AC，先根据EF∥GH，得出∠FAC =∠ACG，再根据平行四边形的性质，得出AD//BC，因而∠DAC=∠ACB，即可得出∠FAD =∠BCG =26°.
7．（2024八下·荆州期末）如图，平行四边形的周长为，，、相交于点，交于点，则的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm，
∴OB=OD，AB+AD=10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm.
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形且周长为20cm，可求得OB=OD，AB+AD=10cm，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE=DE，继而可得△ABE的周长=AB+AD。
8．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD＋CD），
∴ ABCD的周长为2×14=28，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质可得OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14，最后求出 ABCD的周长为2×14=28即可.
9．（2024八下·平南期末）如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，
∴6-4＜AC＜4+6，即2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∴2＜2AO＜10，
∴1＜AO＜5，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系可得2＜AC＜10，由平行四边形的性质可得AC=2OA，可得2＜2AO＜10，继而得解.
10．（2024八下·从江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是（ ）
A．（3，1） B．（1，-1） C．（-3，1） D．（-4，1）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
①以AB为对角线，可以画出平行四边形AEBC，E（1，-1）；
②以AC为对角线，可以画出平行四边形ABCF，F（-3，1）；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ABDC，D（3，1）；
∴D选项中的点不能 作为该平行四边形的第4个顶点 。
故答案为：D.
【分析】第4个顶点的位置不是唯一的，可以分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，结合平行四边形的性质求出相应的坐标即可.
11．（2024八下·吴兴期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，②错误；
∴S ABCD=AB AC=AC CD，③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴，④正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明△ABE为等边三角形，得到可判断①，证明∠BAC=90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；根据面积比例可判断④．
12．（2024八下·北仑期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，E是边DC延长线上一点，连接BE，连接FC，则FC的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使．连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当最小时，也最小，
当点与重合时，最小，此时，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】延长到点，使．连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，根据平行四边形的性质可得，，，从而可得，进而可得，进而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用等边三角形的性质可得，，从而利用等式的性质可得，再利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，从而可得当最小时，也最小，再根据当点与重合时，最小，此时，即可解答．
二、填空题
13．（2015八下·淮安期中）平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵平行四边形的周长为24cm
∴AB+BC=24÷2=12
∵BC：AB=3：1
∴AB=3cm
故答案为3．
【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长．
14．（2024八下·丹江口期中） 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且AB=BE=CE，∠A=108°，则∠DBC的大小是 ．
【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠DBC=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BCD=∠A，
∵AB=BE=CE，
∴CE=CD，
∴∠BCE=∠CBD=x，∠BDC=∠CED=2x，
∵∠A=108°，
∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=108°-x，
在△CED中，∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
即108°-x+2x+2x=180°，
解得x=24°.
故答案为：24°.
【分析】设∠DBC=x，由平行四边形的性质可得AB=CD，∠BCD=∠A，结合已知可得CE=CD，由等边对等角可得∠BCE=∠CBD=x，∠BDC=∠CED=2x，在△CED中，由三角形的内角和定理可得关于x的方程，解之可求解.
15．（2024八下·林州期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
16．（2024八下·义乌月考）如图，是平行四边形ABCD内一点，是正三角形，连结AE，DE，若，，且，则AB的长是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴DE=2AE=2，，
∵四边形ABCD是平行四边形，△BCE是正三角形
∴，AB=CD
∵，
∴
∴AB=
故答案为：.
【分析】根据含30°角直角三角形的性质求得DE和AD长，根据平行四边形和等边三角形的性质求得CE长，再利用勾股定理，即可求得CD的长.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
18．（2024八下·白云期末）如图，四边形边上的一动点，以为边作平行四边形，则对角线的长的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=CQ，PD∥CQ，
∴∠PDC=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∴∠ADC-∠PDC=∠DCH-∠QCD，
即∠ADP=∠HCQ，
∵AD∥BC，AB⊥BC，QH⊥BC，
∴∠A=∠QHC=90°，AB∥QH，
∴△APD≌△HQC（AAS）
∴CH=AD=1，
∴BH=BC+CH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
故答案为：4.
【分析】过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，由平行四边形的性质得PD=CQ，PD∥CQ，由二直线平行，内错角相等及等式性质可推出∠ADP=∠HCQ，从而由AAS判断出△APD≌△HQC，由全等三角形的对应边相等得CH=AD=1，则BH=BC+CH=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥QH，由平行线间的距离定义及垂线段最短可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
三、解答题
19．（2024八下·紫金期中）如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD.
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，再利用线段中点的性质可得BE＝CE，再利用“AAS”证出△BAE≌△CFE，利用全等三角形的性质可得AB＝CF，再利用等量代换可得CF＝CD；
（2）先求出，，再利用勾股定理求出DE的长即可.
20．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，分别平分和，交于点．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
【答案】（1）解：证明：
分别平分和
（2）解：过点E作于点P，根据角平分线的性质，
的周长为36
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线定义可得∠ABE=∠CDF；根据两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠DCA，由ASA可证，全等三角形对应边相等，即可证得BE=DF；
（2）根据角平分线性质可得PE=EG=4，由平行四边形对边平相等可得AB+AC=18，再根据三角形面积公式代入变形即可整体代入求得三角形ABC的面积.
21．（2024八下·南宁期中）如图，在中，连接，且．
（1）（尺规作图）作出的角平分线与交于点E．连接交于点F，交于点O．
（2）猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：．
证明：∵四边形平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵为的平分线，
∴点F为的中点，
即，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作出的角平分线即可；
（2）由平行四边形的性质可得出，，由得出，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论．
22． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
（2）解：由（1）知OE=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得CF=.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，结合OB＝OE可得出OD＝OB＝OE，根据等边对等角及三角形内角和推导出∠BED＝90°；
（2）先证明△OFD是直角三角形，∠OFD＝90°，用勾股定理计算出CD的长，再用面积法计算出EF，再用勾股定理计算出CF。
23． 如图， 在 中， 过点 作 于点 ， 过点 作 的垂线， 分别交 ， 于点 ， 且 ．
（1） 若 ， 求 的长．
（2） 连结 ， 求证： ．
【答案】（1） 解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵BG=BC，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴．
（2） 解：过点F作交BN延长线于点N，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴CE=AB，
在和中，
∴（AAS），
∴AF=EF，，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质准备条件，根据ASA证，得，即可得；
（2）过点F作交BN延长线于点N，根据AAS证，则BF=FC，根据ASA证明，可得，，即可得是等腰直角三角形，所以，即可得．
24．（2024八下·宁波期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图2，若，求；
（3）如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
∴，
，即
，
∴
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS得到即可证明结论；
（2）连接并延长交的延长线于点，即可得到，然后根据三线合一得到，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可；
（3）连接并延长交的延长线于点，即可得到，进而求得，然后根据两直线平行，内错角相等得到， 根据勾股定理解答即可．
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题
1．（2024八下·乳源期中）已知平行四边形，对角线与相交于点O，以下表述不一定正确的是（ ）
A．且 B．且
C． D．且
2．（2024八下·南明月考） 在 中， 如果 ， 那么 的 大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B=53°，则∠DAE的度数为（ ）
A．33° B．37° C．53° D．57°
4．（2024八下·上城期末）如图，在中，，于点 E，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·汝城期中）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024八下·定兴期末）如图， 的顶点，分别在直线，上，且，，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．（2024八下·荆州期末）如图，平行四边形的周长为，，、相交于点，交于点，则的周长为( )
A． B． C． D．
8．（2024八下·沙坪坝期末）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，连接CE．已知△DCE的周长是14，则□ABCD的周长是（ ）
A．7 B．14 C．28 D．56
9．（2024八下·平南期末）如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·从江月考）如图所示，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是（ ）
A．（3，1） B．（1，-1） C．（-3，1） D．（-4，1）
11．（2024八下·吴兴期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024八下·北仑期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，E是边DC延长线上一点，连接BE，连接FC，则FC的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．（2015八下·淮安期中）平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm．
14．（2024八下·丹江口期中） 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且AB=BE=CE，∠A=108°，则∠DBC的大小是 ．
15．（2024八下·林州期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为 ．
16．（2024八下·义乌月考）如图，是平行四边形ABCD内一点，是正三角形，连结AE，DE，若，，且，则AB的长是 ．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
18．（2024八下·白云期末）如图，四边形边上的一动点，以为边作平行四边形，则对角线的长的最小值是 ．
三、解答题
19．（2024八下·紫金期中）如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，连接DE，求DE的长．
20．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，分别平分和，交于点．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
21．（2024八下·南宁期中）如图，在中，连接，且．
（1）（尺规作图）作出的角平分线与交于点E．连接交于点F，交于点O．
（2）猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．
22． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
23． 如图， 在 中， 过点 作 于点 ， 过点 作 的垂线， 分别交 ， 于点 ， 且 ．
（1） 若 ， 求 的长．
（2） 连结 ， 求证： ．
24．（2024八下·宁波期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图2，若，求；
（3）如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形，且是正确的，∴A不符合题意；
B、平行四边形，且是正确的，∴B不符合题意；
C、平行四边形，，∴C符合题意；
D、平行四边形，且是正确的，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的判定方法和性质逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴∠A=∠C，
∵，
∴∠C=2∠B，
∴3∠B=180°，
解得∠B=60°，
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B+∠C=180°，进而结合已知条件即可得到∠C=2∠B，从而得到3∠B=180°即可求解。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=53°，
∴∠D=∠B=53°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴在△ADE中，∠DAE=180°-∠D-∠AED=180°-53°-90°=37°，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠D=∠B=53°，再利用垂直的性质及三角形的内角和求出∠DAE即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
故答案为：C．
【分析】首先根据垂直定义及直角三角形的性质，可得出，再根据平行线的性质，等量代换为，进而根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质可知，进而得出，整理为：，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】证明，利用等角对等边得：，进而得到，再利用平行四边形的性质得AD长，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
∵EF∥GH
∴∠FAC =∠ACG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠DAC=∠ACB
∴∠FAC-∠DAC=∠ACG-∠ACB
∴∠FAD =∠BCG =26°
故选D.
【分析】
连接AC，先根据EF∥GH，得出∠FAC =∠ACG，再根据平行四边形的性质，得出AD//BC，因而∠DAC=∠ACB，即可得出∠FAD =∠BCG =26°.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm，
∴OB=OD，AB+AD=10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm.
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形且周长为20cm，可求得OB=OD，AB+AD=10cm，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE=DE，继而可得△ABE的周长=AB+AD。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD＋CD），
∴ ABCD的周长为2×14=28，
故答案为：C．
【分析】先利用平行四边形的性质可得OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得CD＋CE＋DE＝CD＋CE＋AE＝AD＋CD＝14，最后求出 ABCD的周长为2×14=28即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，
∴6-4＜AC＜4+6，即2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∴2＜2AO＜10，
∴1＜AO＜5，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系可得2＜AC＜10，由平行四边形的性质可得AC=2OA，可得2＜2AO＜10，继而得解.
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
①以AB为对角线，可以画出平行四边形AEBC，E（1，-1）；
②以AC为对角线，可以画出平行四边形ABCF，F（-3，1）；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ABDC，D（3，1）；
∴D选项中的点不能 作为该平行四边形的第4个顶点 。
故答案为：D.
【分析】第4个顶点的位置不是唯一的，可以分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，结合平行四边形的性质求出相应的坐标即可.
11．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，②错误；
∴S ABCD=AB AC=AC CD，③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴，④正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明△ABE为等边三角形，得到可判断①，证明∠BAC=90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；根据面积比例可判断④．
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使．连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当最小时，也最小，
当点与重合时，最小，此时，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】延长到点，使．连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，根据平行四边形的性质可得，，，从而可得，进而可得，进而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用等边三角形的性质可得，，从而利用等式的性质可得，再利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，从而可得当最小时，也最小，再根据当点与重合时，最小，此时，即可解答．
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵平行四边形的周长为24cm
∴AB+BC=24÷2=12
∵BC：AB=3：1
∴AB=3cm
故答案为3．
【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长．
14．【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠DBC=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BCD=∠A，
∵AB=BE=CE，
∴CE=CD，
∴∠BCE=∠CBD=x，∠BDC=∠CED=2x，
∵∠A=108°，
∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=108°-x，
在△CED中，∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
即108°-x+2x+2x=180°，
解得x=24°.
故答案为：24°.
【分析】设∠DBC=x，由平行四边形的性质可得AB=CD，∠BCD=∠A，结合已知可得CE=CD，由等边对等角可得∠BCE=∠CBD=x，∠BDC=∠CED=2x，在△CED中，由三角形的内角和定理可得关于x的方程，解之可求解.
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质，求出AD，AB，再利用垂直平分线的性质，证明AE=CE，然后求出三角形CDE的周长，通过转换为已知线段求解．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴DE=2AE=2，，
∵四边形ABCD是平行四边形，△BCE是正三角形
∴，AB=CD
∵，
∴
∴AB=
故答案为：.
【分析】根据含30°角直角三角形的性质求得DE和AD长，根据平行四边形和等边三角形的性质求得CE长，再利用勾股定理，即可求得CD的长.
17．【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
18．【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=CQ，PD∥CQ，
∴∠PDC=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∴∠ADC-∠PDC=∠DCH-∠QCD，
即∠ADP=∠HCQ，
∵AD∥BC，AB⊥BC，QH⊥BC，
∴∠A=∠QHC=90°，AB∥QH，
∴△APD≌△HQC（AAS）
∴CH=AD=1，
∴BH=BC+CH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
故答案为：4.
【分析】过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，由平行四边形的性质得PD=CQ，PD∥CQ，由二直线平行，内错角相等及等式性质可推出∠ADP=∠HCQ，从而由AAS判断出△APD≌△HQC，由全等三角形的对应边相等得CH=AD=1，则BH=BC+CH=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥QH，由平行线间的距离定义及垂线段最短可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD.
（2）解：由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在中，，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，再利用线段中点的性质可得BE＝CE，再利用“AAS”证出△BAE≌△CFE，利用全等三角形的性质可得AB＝CF，再利用等量代换可得CF＝CD；
（2）先求出，，再利用勾股定理求出DE的长即可.
20．【答案】（1）解：证明：
分别平分和
（2）解：过点E作于点P，根据角平分线的性质，
的周长为36
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线定义可得∠ABE=∠CDF；根据两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠DCA，由ASA可证，全等三角形对应边相等，即可证得BE=DF；
（2）根据角平分线性质可得PE=EG=4，由平行四边形对边平相等可得AB+AC=18，再根据三角形面积公式代入变形即可整体代入求得三角形ABC的面积.
21．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：．
证明：∵四边形平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵为的平分线，
∴点F为的中点，
即，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作出的角平分线即可；
（2）由平行四边形的性质可得出，，由得出，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
（2）解：由（1）知OE=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得CF=.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，结合OB＝OE可得出OD＝OB＝OE，根据等边对等角及三角形内角和推导出∠BED＝90°；
（2）先证明△OFD是直角三角形，∠OFD＝90°，用勾股定理计算出CD的长，再用面积法计算出EF，再用勾股定理计算出CF。
23．【答案】（1） 解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵BG=BC，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴．
（2） 解：过点F作交BN延长线于点N，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴CE=AB，
在和中，
∴（AAS），
∴AF=EF，，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质准备条件，根据ASA证，得，即可得；
（2）过点F作交BN延长线于点N，根据AAS证，则BF=FC，根据ASA证明，可得，，即可得是等腰直角三角形，所以，即可得．
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
∴，
，即
，
∴
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS得到即可证明结论；
（2）连接并延长交的延长线于点，即可得到，然后根据三线合一得到，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可；
（3）连接并延长交的延长线于点，即可得到，进而求得，然后根据两直线平行，内错角相等得到， 根据勾股定理解答即可．
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