【基础练】人教版数学八年级下册 18.1.2平行四边形的判定
一、选择题
1．（2020八下·泸县期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
2．（2023八下·莲池期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·瑞安期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024八下·温州期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件( )
A． B．
C． D．
5．（2024八下·天津市期中）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·博罗期末）如图，在△ABC中，∠A=600，∠B=400，点D、E分别是边AB、AC的中点，则∠AED的度数是( )
A．500 B．600 C．700 D．800
7．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，则图中的平行四边形共有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
9．（2024八下·南明月考）如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（ ）
A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米
10．（2024八下·江门期中）在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
12．如图， 点 是直线 外一点， 在 上取两点 ， 连结 ， 分别以点 为圆心， 的长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连结 ． 若 ， 则 的大小为
13．（2024八下·长沙期中）如图，在中，点，分别是AC，BC的中点，以为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点，若，，则BF的长度为 ．
14．（2024八下·榕城期中）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
15．（2024八下·织金期末）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为 ．
16．（2023八下·宜春期中）如图，在 中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为 时，线段．
三、解答题
17．（2024八下·新建月考）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，求证：
（1）四边形是平行四边形；
（2）．
18．（2023八下·阜新期末）如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求的长．
19．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
20．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
21．（2024八下·赤坎期中）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
22．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
23．（2023八下·榕城期末）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是的边，中点．
求证：，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一 证明：如图，延长至F，使，连接、、． 方法二 证明：如图，过E作交于F，过A作交于M．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
D、由一组对边相等、一条对角线平分不能判定这个四边形是平行四边形.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解： 要使四边形为平行四边形 ，已有条件AB∥CD，添加条件为：
A：添加AD=BC，则一组对边平行，另一组对边相等，四边形ABCD不一定是平行四边形，不合题意；
B：添加∠ACD=∠BAC，则AB∥CD，不能判定其为平行四边形，不合题意；
C：添加∠BAD+∠D=180°，则AB∥CD，不能判定其为平行四边形，不合题意；
D：添加AB=CD，则一组对边平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键。两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；对角线互相平分的四边形是平行四边形。依据判定方法对选项逐一判定可得答案。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确；
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得到DE∥AC且DE=AC；根据平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使DF=AC即可；根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使CF∥AD即可，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，∠B=40°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE∥BC，
∴ ∠AED=∠C=80°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠C，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，根据平行线的性质得∠AED=∠C，即可求得.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB∥CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故答案为：C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出AB∥CD，AD∥BC，结合已知条件可得出EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，是的中位线，
∵米，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴篱笆的长为：，
故答案为：D
【分析】先根据中点结合中位线的性质结合题意得到，，，进而根据等边三角形的性质得到，从而得到，再根据篱笆的长为，即可求解。
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵点D、E分别为，的中点，
∴，
∴当最小时，取最小值，
当时，取最小值，如图：
∴，
即，
解得：，
∴，
即的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接CM，证出DE是△ANM的中位线，可得，再求出当最小时，取最小值，利用等面积法求出，可得的最小值为，再结合，可得，从而可得．
11．【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
12．【答案】65°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得：BC=AD，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵，
所以∠BCD=65°.
故答案为：65°.
【分析】根据作图可证得四边形ABCD是平行四边形，于是有AB//CD，再根据平行线的性质即可得到答案.
13．【答案】3
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 点，分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=4，
∴AB=2DE=2×4=8，
∵ 以为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点，，
∴AF=AD=5，
∴BF=AB-AF=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】先利用三角形中位线的性质可得AB=2DE=2×4=8，再求出AF=AD=5，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为9，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
【分析】根据平移前后线段互相平行且相等得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
15．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 解：延长CD，交AB于点G，如图：
、
∵平分，
∴∠GAD=∠CAD
∵，
∴∠ADG=∠ADC=90°，
在△ADG和△ADC中，
∴△ADG≌△ADC（ASA）.
∴DG=DC，AG=AC=6.
∵AB=10，∴BG=4.
∵为的中点，DG=DC，
∴DE是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：2
【分析】延长CD与AB交于点G，证明△ADG≌△ADC得到DG=DC，AG=AC=6.计算出BG的长度，再证明DE是△BCG的中位线，利用中位线定理即可得到结论.
16．【答案】3或6或9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：当PA= QB时，PQ∥AB，
∵PA=QB，AP∥QB，
∴四边形BQPA为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∵点P运动的时间为12÷1 =12s，
∴点Q运动的路程为3×12=36cm，
故点Q可在BC间往返3次，
∴PQ与AB存在3次平行的情况，
设运动时间为t秒，
①第一次平行：PA= t，QB=12-3t，
∴t=12-3t，
解得t= 3；
②第二次平行：PA=t，QB=3t-12，
∴t=3t-12，
解得t= 6；
③第三次平行：AP=t，QB=36-3t，
∴t=36-3t，
解得t= 9；
故答案为：3或6或9
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到PQ∥AB，再求出点P的运动时间，进而得到点Q可在BC间往返3次，故PQ与AB存在3次平行的情况，设运动时间为t秒，再根据题意分类讨论即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
即
又∵、分别为边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据平行四边形的对边平行且相等，可得，，又由、分别为边、的中点，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（）直接利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等得出答案；
18．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
是的中点，
．
同理：．
，
四边形是平行以边形；
（2）解：由（1）可知：，
，
，，
根据勾股定理得：
.
.
在中，由勾股定理得：
，
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证明AO=CO，BO=DO，根据E，F分别是BO，OD的中点，证明OF=OE，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形；
（2）勾股定理求出线段AC的长度，得到AO的长，然后再根据勾股定理求出BO的长，即可求出答案
19．【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
20．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用等量代换可得，从而证出四边形是平行四边形；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得．
22．【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
23．【答案】解：方法一：延长DE至F，使，连接、、．
∵D、E分别是的边，中点，
∴，，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴；
方法二：过E作交于F，过A作交于M，
同理有：，，
∵，，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BDFC是平行四边形，得DF∥BC，DF=BC，从而问题得证；
方法二：首先用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形AMFB是平行四边形，得AM=FB，AM∥FB，AB∥FM，再从AAS证明△AME≌△CFE，得AM=FC，EM=EF，最后用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AMED是平行四边形，得AM=ED，AM∥ED，从而问题得证.
1 / 1【基础练】人教版数学八年级下册 18.1.2平行四边形的判定
一、选择题
1．（2020八下·泸县期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
2．（2023八下·莲池期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·瑞安期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
C、根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；
D、由一组对边相等、一条对角线平分不能判定这个四边形是平行四边形.
4．（2024八下·温州期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解： 要使四边形为平行四边形 ，已有条件AB∥CD，添加条件为：
A：添加AD=BC，则一组对边平行，另一组对边相等，四边形ABCD不一定是平行四边形，不合题意；
B：添加∠ACD=∠BAC，则AB∥CD，不能判定其为平行四边形，不合题意；
C：添加∠BAD+∠D=180°，则AB∥CD，不能判定其为平行四边形，不合题意；
D：添加AB=CD，则一组对边平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键。两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；对角线互相平分的四边形是平行四边形。依据判定方法对选项逐一判定可得答案。
5．（2024八下·天津市期中）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确；
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得到DE∥AC且DE=AC；根据平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使DF=AC即可；根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使CF∥AD即可，据此逐一判断得出答案.
6．（2024八下·博罗期末）如图，在△ABC中，∠A=600，∠B=400，点D、E分别是边AB、AC的中点，则∠AED的度数是( )
A．500 B．600 C．700 D．800
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，∠B=40°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE∥BC，
∴ ∠AED=∠C=80°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠C，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，根据平行线的性质得∠AED=∠C，即可求得.
7．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，则图中的平行四边形共有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB∥CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故答案为：C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出AB∥CD，AD∥BC，结合已知条件可得出EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形。
8．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
9．（2024八下·南明月考）如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（ ）
A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，是的中位线，
∵米，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴篱笆的长为：，
故答案为：D
【分析】先根据中点结合中位线的性质结合题意得到，，，进而根据等边三角形的性质得到，从而得到，再根据篱笆的长为，即可求解。
10．（2024八下·江门期中）在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵点D、E分别为，的中点，
∴，
∴当最小时，取最小值，
当时，取最小值，如图：
∴，
即，
解得：，
∴，
即的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接CM，证出DE是△ANM的中位线，可得，再求出当最小时，取最小值，利用等面积法求出，可得的最小值为，再结合，可得，从而可得．
二、填空题
11．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
12．如图， 点 是直线 外一点， 在 上取两点 ， 连结 ， 分别以点 为圆心， 的长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连结 ． 若 ， 则 的大小为
【答案】65°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得：BC=AD，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵，
所以∠BCD=65°.
故答案为：65°.
【分析】根据作图可证得四边形ABCD是平行四边形，于是有AB//CD，再根据平行线的性质即可得到答案.
13．（2024八下·长沙期中）如图，在中，点，分别是AC，BC的中点，以为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点，若，，则BF的长度为 ．
【答案】3
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 点，分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=4，
∴AB=2DE=2×4=8，
∵ 以为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点，，
∴AF=AD=5，
∴BF=AB-AF=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】先利用三角形中位线的性质可得AB=2DE=2×4=8，再求出AF=AD=5，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
14．（2024八下·榕城期中）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
四边形的面积为9，点的坐标为，
，
，
，
故答案为．
【分析】根据平移前后线段互相平行且相等得出四边形是平行四边形，从而得和的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
15．（2024八下·织金期末）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 解：延长CD，交AB于点G，如图：
、
∵平分，
∴∠GAD=∠CAD
∵，
∴∠ADG=∠ADC=90°，
在△ADG和△ADC中，
∴△ADG≌△ADC（ASA）.
∴DG=DC，AG=AC=6.
∵AB=10，∴BG=4.
∵为的中点，DG=DC，
∴DE是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：2
【分析】延长CD与AB交于点G，证明△ADG≌△ADC得到DG=DC，AG=AC=6.计算出BG的长度，再证明DE是△BCG的中位线，利用中位线定理即可得到结论.
16．（2023八下·宜春期中）如图，在 中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为 时，线段．
【答案】3或6或9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：当PA= QB时，PQ∥AB，
∵PA=QB，AP∥QB，
∴四边形BQPA为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∵点P运动的时间为12÷1 =12s，
∴点Q运动的路程为3×12=36cm，
故点Q可在BC间往返3次，
∴PQ与AB存在3次平行的情况，
设运动时间为t秒，
①第一次平行：PA= t，QB=12-3t，
∴t=12-3t，
解得t= 3；
②第二次平行：PA=t，QB=3t-12，
∴t=3t-12，
解得t= 6；
③第三次平行：AP=t，QB=36-3t，
∴t=36-3t，
解得t= 9；
故答案为：3或6或9
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到PQ∥AB，再求出点P的运动时间，进而得到点Q可在BC间往返3次，故PQ与AB存在3次平行的情况，设运动时间为t秒，再根据题意分类讨论即可求解。
三、解答题
17．（2024八下·新建月考）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，求证：
（1）四边形是平行四边形；
（2）．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
即
又∵、分别为边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据平行四边形的对边平行且相等，可得，，又由、分别为边、的中点，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（）直接利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等得出答案；
18．（2023八下·阜新期末）如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求的长．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
是的中点，
．
同理：．
，
四边形是平行以边形；
（2）解：由（1）可知：，
，
，，
根据勾股定理得：
.
.
在中，由勾股定理得：
，
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证明AO=CO，BO=DO，根据E，F分别是BO，OD的中点，证明OF=OE，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形；
（2）勾股定理求出线段AC的长度，得到AO的长，然后再根据勾股定理求出BO的长，即可求出答案
19．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
20．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
21．（2024八下·赤坎期中）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用等量代换可得，从而证出四边形是平行四边形；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得．
22．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
23．（2023八下·榕城期末）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是的边，中点．
求证：，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一 证明：如图，延长至F，使，连接、、． 方法二 证明：如图，过E作交于F，过A作交于M．
【答案】解：方法一：延长DE至F，使，连接、、．
∵D、E分别是的边，中点，
∴，，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴；
方法二：过E作交于F，过A作交于M，
同理有：，，
∵，，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BDFC是平行四边形，得DF∥BC，DF=BC，从而问题得证；
方法二：首先用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形AMFB是平行四边形，得AM=FB，AM∥FB，AB∥FM，再从AAS证明△AME≌△CFE，得AM=FC，EM=EF，最后用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AMED是平行四边形，得AM=ED，AM∥ED，从而问题得证.
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