北师大八下期中专题05 平行四边形（含解析）

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专题05 平行四边形
一、单选题
1．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（　）
A．5 B．6 C．4 D．5
3．如图，在中，，对角线与相交于点，，则的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．17
4．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（　）

A． B． C． D．
7．如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．不能确定
二、填空题
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且轴．将沿轴向上平移，使点对应点落在对角线上，则平移后点的对应点的坐标为 ．
9．如图，六边形是由正和正五边形组成的，则的度数是 ．
10．如图，矩形的对角线和相交于点O，，则 ．

三、解答题
11．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
12．如图，在中，于点E，于点F，
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
13．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
14．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD=2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN=70°，∠DBC=40°，求∠ADC．
15．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接，若，．求的长．
16．如图，在中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
17．如图，E，F是的对角线AC上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
18．在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长：
(2)求四边形的面积．
19．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F．
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB=∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B B B C A
1．C
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝×16＝8cm．
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
【详解】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
3．B
【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由得，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
6．C
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由勾股定理可得的长，由平行线的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：平分，
∵的顶点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
7．A
【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形的面积，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用矩形的性质求解面积是解本题的关键．
8．
【分析】根据题意，由点的平移及平行四边形性质得到，，再由待定系数法确定直线的函数关系式，设出，代值解方程求出向上平移的单位长度，结合点的平移即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点，，且轴，
，轴，
，
，
设直线：，将代入得，
直线：，
设将沿轴向上平移个单位长度，使点对应点落在对角线上，则在直线：上，
，解得，即点向上平移2个单位长度得到对应点，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查点的平移，涉及图形与坐标、平行四边形性质、点的平移法则、待定系数法确定函数表达式、一次函数性质等知识，熟练掌握点的平移法则及平行四边形性质是解决问题的关键．
9．/132度
【分析】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边三角形的性质等知识，求出正多边形的内角是解题的关键；
利用等边三角形的性质求得的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得的度数，最后利用角的和差计算即可．
【详解】解：是正三角形，
，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
10．6
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，进而得到是等边三角形，求解即可．
【详解】解：∵是矩形，
∴，
由∵
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【详解】（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
12．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质证明即可；
（2）在和中，利用勾股定理可得，代入已知解答即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∴设,
∵，
∴,
在和中，利用勾股定理可得，即，
解得，
∴，
∴．
13．（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
14．（1）证明见解析；（2）50°
【分析】（1）首先连接AC，根据AM⊥CD，AN⊥BC，判断出AM、AN分别是CD、BC的垂直平分线，得到AC＝AD，AB＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠DAM=∠CAM，∠BAN=∠CAN，然后根据角的和差即可得出结论；
（2）由∠MAN=70°，得出∠BAD的度数．由四边形ANCM内角和等于360°，得到∠BCD的度数．在△BCD中，由三角形内角和定理得到∠BDC的度数．在△ABD中，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得出∠ADB的度数，根据角的和差即可得出结论．
【详解】（1）如图，连接AC．
∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AM、AN分别是CD、BC的垂直平分线，
∴AC＝AD，AB＝AC．
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠DAM=∠CAM，∠BAN=∠CAN，
∴∠DAC+∠BAC=2∠CAM+2∠CAN，
∴∠BAD=2∠MAN；
（2）∵∠MAN=70°，
∴∠BAD=2∠MAN=140°．
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠BCD=180°－∠MAN=180°－70°=110°．
∵∠DBC=40°，
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－110°=30°．
∵AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
∵∠BAD=140°，
∴∠ABD=∠ADB=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=20°+30°=50°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理．解答此题的关键是得出∠BCD和∠ADB的度数．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形,
∴, ，
∴
在中，，
∴
在中，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，点是中点，可得，，证明，则，进而可得；
（2）由（1）可知，，由，，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，点是中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）过点C作交的延长线于点G，根据含角直角三角形的性质得到，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）如图所示，过点C作交的延长线于点G
∵，
∴
∵
∴的面积．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，求出的面积，进而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是证明是直角三角形．
19．（1）详见解析；（2）①补全图形，如图所示．②．详见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，有AD∥BC，∠BAD=90°，得到∠AGH=∠GHC，再根据GH⊥AE，得到∠EAB=∠AGH，即可证明．
（2）①根据垂直平分线的作法步骤进行即可．
②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q，根据正方形的性质，得到NA=NC，∠1=∠2，再根据垂直平分线的性质，得到NA=NE，进而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
（2）①补全图形，如图所示．
②．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA=NC，∠1=∠2．
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠3=∠4．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，
∴．
【点睛】此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键．
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