北师大八下期中专题06 选填压轴训练（含解析）

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专题05 选填压轴训练
一、三角形
1．如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB AD为边向外作等边△ABE △ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A E之间，连接CE CF EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm．
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，延长交于点．若，则的长为 ．

4．如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为 ．
6．如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C． D．5
7．如图，在长方形中，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点．请从A、B两题中任选一题作答．
A．若，则的最小值为 ；
B．若，，则的最小值为 ．
8．如图,已知△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,AB＝4,点D为直线AB上一动点,将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE,连接ED、BE,当BE最小时,线段AD的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____．
10．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，交于点F，若，则的长为 ．
12．如图，已知为的角平分线，且，为延长线上一点，．过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，直角中，，，BC=4，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（ ）

A． B．2 C． D．
14．如图，在四边形中，、为对角线，，，已知，，则 ．
15．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
16．已知，如图，为等边三角形，点在上，点在延长线上，连接、，，，，则
17．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．
18．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
19．如图，，是正方形的边上两个动点，．连接，交于点，连接，交于点．若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．
21．把一副三角尺按如图甲所示位置放置，其中，，，斜边，，把三角尺绕点按顺时针方向旋转得到（如图乙），此时与相交于点，则线段的长为（ ）

A． B．10 C．12 D．
22．如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是 ．
23．如图，在边长为的正方形中，点，分别是，边的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ．
24．如图，在四边形中，，，，，是对角线的中点，连接并延长交边于点．则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
25．如图，已知在等腰三角形中，，，是边上的中线，点是上的点．当时，线段的长度为
26．如图，已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，将沿折叠，点的对应点为，连接并延长，与的延长线交于点，连接，则的长为 ．
27．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，点P是等边的边的中点，点M 是内一点，且，连接，线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接，若，当的长是 时 ，最短．
29．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
31．如图，在中，，，平分交于，于，若，则的长等于（ ）

A． B． C． D．
32．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
33．如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ．
34．已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为 ．
35．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
36．如图，已知四边形中，为的垂直平分线，，，，点E是边上一点，若，则线段 ．
37．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
38．如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为 ．
二、分式方程
39．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A．15 B．14 C．8 D．7
三、相交线与平行线
40．如图，，，若，，则点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
四、四边形
41．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
五、不等式与不等式组
42．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
六、一次函数
43．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能+”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从剭房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．慧慧比聪聪晚出发15秒
B．慧慧提速后的速度为30厘米/秒
C．
D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为
七、平面直角坐标系
44．在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
46．如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为 ．

八、旋转
47．如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ）
A． B． C． D．
48．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ．
49．如图，在四边形中，，且，，，．则边的长是 ．
九、一元一次不等式
50．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有 人．
十、几何图形（角平分线、平移）
51．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB,AC于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE的周长是 ．
52．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为 ．
参考答案
题号 1 4 6 8 10 12 13 15 18 19
答案 B A C C B D B B D D
题号 21 24 27 29 31 32 35 37 39 40
答案 B B D A C C C C D B
题号 41 42 43 44 45 47
答案 C B D C C A
1．B
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
【详解】解：在 ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在 ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
当CG⊥AE时，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力．
2．9
【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．
根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：取的中点H，连接、，如图：
∵是由绕C点旋转得到，
∴，，，
设，则
在四边形中，
在中，，，，
在中，，
∵是中位线，
而，
∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：9．
3．
【分析】过点作交的延长线于点．由旋转的性质，得，，．所以，．所以．在Rt中，根据勾股定理，求得的长．在和中，求得和的长．再根据求解即可．
【详解】解：如解图，过点作交的延长线于点．

由旋转的性质，得，，．
所以，．
所以．
在中，根据勾股定理，得
．
在中，，
∴
在中，，
∴
由勾股定理得，即，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形，或角的直角三角形得性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：第一次折叠，如图②，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质，，
∴，
第二次折叠，如图③，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
5．18
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
是等腰直角三角形，，，
，
，
，
又，
，
，
将边绕点逆时针旋转至，
，
又，
，
，
，
（负值舍去），
∴，
故选：C．
7．
【分析】选择A．如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、，由翻折可得，再证得，即可推出，利用三角形三边关系可得，由于当点与点重合时，，此时的值最小，故的值也最小，运用勾股定理即可求得答案．
选择B．连接，，过作，交于，延长至，使，连接，可得，可证，从而，再证，可求，由当、、三点共线时，最小，即可求解．
【详解】选择A．解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接交于点，连接、、，
四边形是正方形，
，，
，
垂直平分，
，
由翻折得，，
，
，
，
由翻折知，
又，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
的值也最小，
，，，
，
的最小值是．
故答案为：．
选择B．解：如图，连接，，过作，交于，延长至，使，连接，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，，
由折叠得：，，，，
，，
，
即：，
在和中
，
()，
；
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
；
当、、三点共线时，最小，
当时最小，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了以折叠为背景的线段最小值问题，折叠的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，作出辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】如图，根据题意可知E点的运动轨迹为直线l,当BE⊥l时，BE取得最小值，此时l经过AB的中点Q．连接AE,CQ,BE．易证△CQE≌△CBD，得出∠EQB＝60°, 求得，即可求出AD的长.
【详解】如图，根据题意可知E点的运动轨迹为直线l,当BE⊥l时，BE取得最小值．
l经过AB的中点Q．连接AE,CQ,BE．
∵∠ACB＝90°,Q为AB中点，
∴CQ=BQ=AQ,
∵∠BAC＝30°，∴∠ABC=60°，
∴△BCQ为等边三角形，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE,
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CB，
又∠QCE=∠BCD
∴△CQE≌△CBD．
∠CQE＝∠CBD＝120°,
∴∠EQB＝60°,
∴AD＝5．选C．
【点睛】此题主要考查等边三角形的判断与性质，解题的关键是熟知线段旋转的性质.
9．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质于判定，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为．
【详解】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接，
∴分别是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知三点共线，
点在上运动，
∴当时，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴当点G与点重合时，最小，
设交于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
10．B
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，③错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11．/
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．先证明，通过角的换算，得出，根据勾股定理列式，得出，结合角平分线的性质，得，然后因为面积关系，进行列式化简，即可作答．
【详解】解：如图，连接，作于，于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵平分于于N，
∴，
∵
∵
故答案为：．
12．D
【分析】由“”可证，可得可由绕点旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，故③正确；通过证明，可得，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．
【详解】解：①为的角平分线，
，
在和中，
，
，
可由绕点旋转而得到，
故①正确；
②，
，
，
故②正确；
③，，，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，
是上的点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．B
【分析】将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，
，，，
，
，
随着点的运动，总有，，
，即、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
在中，，，，
，
点为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；将 绕点 顺时针旋转得 连接 则是正三角形，得出，进而勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：
∴是等边三角形，
则，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转得 连接 则是正三角形，
，
，
，
又∵
∴,
∴
故答案为：．
15．B
【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中
∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质．过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，由等边三角形可证明也是等边三角形，通过证明求解的长，即可求得等边三角形的边长，由等边三角形的性质可得的长，利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
为等边三角形，
，，
∵，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得，
，
解得，
故答案为：．
17．
【分析】过点F作，交于G点，交于H，过A点作于N点，证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出、的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
如图，过点F作，交于G点，交于H，过A点作于N点
∵等边的边长为6，D是的中点，
，，．
，
，．
是等边三角形．
，
．
是等边三角形，
，
，
．
又，，
，
，．
，
．
又中，，，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．
18．D
【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：连接，

∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴点O是的外心，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
19．D
【分析】证明由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，取的中点，连接、，则，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案．
【详解】解：如图，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．2.8
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H ，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
四边形ABCD是菱形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8-x，
在Rt△EHB中，BH=x，EH=x ，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6-x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为2.8．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
21．B
【分析】先求出，由，得到，又由，得到，由，得到，在中，由勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，

由题意得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．
22．9
【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有.
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键.
23．
【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
∵H是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点，分别是，的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
24．B
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质．过点作交的延长线于点，过点作于点，根据，，得出，推出的长，在中根据斜边上的中线等于等边的一半推出，再根据证明，得出，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点是斜边的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：B．
25．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长交于，过点作于，由等腰三角形的性质可得，，求出为等腰直角三角形，得出，求出为等腰直角三角形得出，由角平分线的性质定理得出，结合，计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于，过点作于，
， ，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
26．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理；过点作于点，连接交于点，先根据折叠的得出，进而勾股定理求得，在中，得出，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，连接交于点，
∵是等边三角形，将沿折叠，点的对应点为，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴
∵已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且，
∴
在中，，则
∴，
∴
在中，
∵折叠，
∴，
∵
∴，
解得：
在中，，则
∴
即，
∴
故答案为：．
27．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时最小，即此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，，
同理可得，则，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故选：D．
28．
【分析】连接、，可证明，得，由，点P是的中点，得，，则，根据勾股定理求得，由，且，得，可证明当点M在上时，最短，则最短，此时，于是得到问题的答案．
【详解】如图1，连接、，
∵是等边三角形，
∴，，
由旋转得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴当点M在上时，，此时最短，则最短，
如图2，点M在上时，则，
∴当的长是时，最短，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
29．A
【分析】过点作，交于点，于点，过点作于点，易证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，于点，过点作于点，
∵等边的边长为6，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．
30．
【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题、垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及三角形的面积，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作 于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示，
∵，是的平分线，
∴垂直平分，，
∴，，
由勾股定理得：，
∵ ，
∴，即的最小值是，
故答案为：．
31．C
【分析】根据角的平分线性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可．
本题考查了角的平分线性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】∵，平分，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，
故选C．
32．C
【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME=MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD=2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；
【详解】解：延长EM交CD的延长线于G，如图，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠AEM=∠G
∵CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵MN垂直平分CE，
∴ME=MC
∴∠MEC=∠MCE
∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90°
∴∠DCM=∠G
∴∠AEM=∠DCM
故①正确；
∵∠DCM=∠G
∴MC=MG
∴ME=MG
∵∠AME=∠DMG
∴△AME≌△DMG（ASA）
∴AM=DM
故②正确；
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC
∵CE⊥AB，MN⊥CE
∴AB∥MN∥CD
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形
∴MN=AB
∵AM=MD=AD，AD=2AB
∴MD=CD=MN=NC
∴四边形CDMN是菱形
∴∠BCD=2∠DCM，
故③正确；
设菱形ABNM的高为h，则S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON=（BE+ON）×h= ON×h
∵OM=（AE+CD）
∴CD＜OM＜AB
∴ON＜CD
∴S四边形BEON＜CD×h=S菱形CDMN，
故④不一定成立；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
33．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件的确定方法是解题的关键：延长交的延长线于F，证明，推出，再证明，得到，由此得到．
【详解】解：延长交的延长线于F，如下图所示：
∵平分交的延长线于E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
34．/73度
【分析】根据等边三角形的性质，先证明，得到，得到．结合，得到，，，继而得到，根据三角形外角性质计算即可．
【详解】∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴，
过点N分别作，垂足分别为F，P，Q，
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键．
35．C
【分析】如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于，于，
∵绕点逆时针旋转得到，，，
∴点的对应点是点，，
，，
又∵点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：，
当点与重合时，的值最大，最大值为：，
∴线段长度的最大值与最小值的差是：．
故选：C．
36．
【分析】过点D作于点M，理由垂直平分线的性质以及勾股定理，，，利用三角形的面积公式可得的面积，进而得出，进而求出的面积，从而得出的面积，据此可得的长，根据，可得E为的中点，由此可得的长，进而得出的长，然后根据勾股定理解答可得的长．
【详解】解：过点D作于点M，
∵为的垂直平分线， ，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵于O，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
∵
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴E为的中点，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积，正确作出辅助线并掌握勾股定理是解答本题的关键．
37．C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
38．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．过作于，过作于，通过判定，即可得到，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过作于，过作于，则，
又，
，，
，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
在中，，
故答案为：．
39．D
【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可.
【详解】
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故选：D
【点睛】本题考查解不等式组求整数解、解分式方程、正确解不等式组是关键，利用不等式组的解集求参数是中考的常考题型.
40．B
【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
点到的距离是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
41．C
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
42．B
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，可得到的范围是解本题的关键．
【详解】解：解不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解有3个，
∴得到整数解为，，，
∴m的范围为．
故选：B．
43．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，根据图象信息求出运动速度进而判断A，B，C，分别求得以及个各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项，进而即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．
根据函数图象段是，则慧慧比聪聪晚出发15秒，故A选项正确；
∵当时，；当时，,
故慧慧提速前的速度是，
∵慧慧发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴慧慧提速后速度为，故B正确；
故提速后慧慧行走所用时间为：，
∴，
∴
则聪聪的速度为
∴，故C选项正确
设段对应的函数表达式为，
∵、在上，
∴，解得，
∴；
设段对应的函数表达式为，
∵在上，
∴，解得，
∴，
当时最大距离为
当时最大距离为
当时，
根据函数图象，当最大值为
当时，设解析式为
∵，代入得，
解得：
∴
∴
当时，取得最大值，最大值为
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为，故D选项错误，
故选：D．
44．C
【分析】本题主要考查最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质，勾股定理．
作关于轴的对称点 ，再过作轴且，连接交轴于点，过作交轴于点，得到四边形为平行四边形，故可知最短等于的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】作关于轴的对称点，
过作轴且，则，
连接交轴与点,
过作交轴于点，
四边形为平行四边形，
此时最短等于的长，
即
故选：C．
45．C
【分析】按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点 ，点，
，则，
由旋转的性质可得，
第一次；
如图所示：
，
，则由旋转的性质可得，
第二次，
如图所示：
，
，则由旋转的性质可得，
第三次，
如图所示：
，
，则由旋转性质可得，
第四次，
…
数形结合，发现点的位置4次一个循环，，
∵，
的纵坐标与相同为，横坐标为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．
46．
【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标
【详解】如图，过点D，作于点E
∵、，四边形是菱形
∴,
∴
∵在和中
∴
∵
∴,
∴
∵点D在第二象限
∴点D的坐标为
【点睛】本题考查坐标系内点的坐标的求法，菱形的性质，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理求出对应线段的长是关键
47．A
【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断．
【详解】解：在和中，，，，
∴，
∴.
如图，连接，
根据旋转的性质可知是等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，.
∴面积为，
作于，则，
∴，
∴等边面积为，
∴四边形的面积为，
∵，
∴四边形的面积的面积的面积，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
48．
【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，

∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
49．
【分析】将绕点逆时针旋转，得到，交于点，则，得出，进而证明，勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
将绕点逆时针旋转，得到，交于点，则
∵，
∴点旋转后与点重合，
则
∴，，，
∴是等腰直角三角形，则，
设
∴，
在中，
在中，，
在中，
∴
设，则
∴
解得：
∴
在中，
∴
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质化简，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
50．6
【分析】设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，由题意列方程，由最后一人就分不到3本，可知或，代入求解即可．
【详解】解：设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，
根据题意可知，，
整理得，，
∵，
∴或，
当时，，
当时，（舍去），
∴共有6人．
故答案为：6．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，准确理解“最后一人就分不到3本”是解题的关键．
51．7
【详解】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO，
同理OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7．
故答案为7．
“点睛”本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
52．8
【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质．
根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
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