北师大八下期中专题04 分式、分式方程、分式应用题（含解析）

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专题04 分式、分式方程、分式应用题
一、单选题
1．若分式中的a，b的值同时扩大到原来的10倍，由此分式的值（ ）
A．是原来的10倍 B．是原来的20倍
C．是原来的 D．不变
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
5．如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．分式的值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
10．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
11．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 ）
A． B． C．2 D．3
12．要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新技术，工作效率提高了一倍，结果总共用了3天就完成了任务．设原来每天能装配机器x台，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若分式的值为零，则x的值为 ．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为
15．若，则代数式的值是 ．
16．已知分式，若把的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 （填数字）．
17．若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是 ．
18．要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
19．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
20．若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
21．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
三、解答题
22．计算：
(1)解分式方程：；
(2)先化简，再求值：，其中，
23．解分式方程：
(1) (2)
24．先化简，再求值：，请从，0，1，2中选一个认为合适的x值，代入求值．
25．解分式方程：
(1)； (2)．
26．先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
27．“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元.
(1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
28．先化简：，再从0，1，，中选取一个合适的数代入求值．
29．解方程：．
30．先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
31．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
32．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
33．先化简，并在，，0，1中选取合适的a代入求值
34．解分式方程：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D C A A A B B
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：
故分式的值不变
故选：D
【点睛】将分式的分子、分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变．掌握该性质是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加减运算法则化简，再由得出，代入计算即可得出答案．
【详解】
故选D．
3．B
【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．
【详解】解：
，
∵分式方程的解为正数，即，
∴，
又∵使分式方程有意义，，
∴，
∴，
综上：且，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．
4．D
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：，
，
解得，
关于的分式方程有增根，
，
，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程以及增根的定义是解题的关键．
5．C
【分析】此题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母是解题关键．根据分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为 ，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为 ，
由题意得：，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为0求解即可．
【详解】解：根据题意得．
解得．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
【详解】解：分式的值为，
且 ，
解得．
故选：B．
10．B
【分析】由分式的值等于0的条件进行计算，即可得到答案
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得；
故选：B
【点睛】本题考查了分式的值等于0的条件，解题的关键是掌握分式的值等于0的条件
11．B
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：方程两边同乘以，得①，
∵原方程有增根，
即．
把代入①，得
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原来每天能装配机器台，则实际每天装台，根据题意，解答即可，正确理解题意，列出等量关系是解题的关键．
【详解】设原来每天能装配机器台，则实际每天装台，
根据题意，
故选C．
13．1
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：因为分式的值为零，
所以，
解得：．
故答案为：1．
14．2
【分析】先确定该方程的增根是，再将该方程化为整式方程后将增根代入进行求解．
【详解】解：解，
得，
即是该方程的增根，
，
两边同时乘以，
得，
将代入，
得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能准确理解增根产生的原因，并进行正确地求解．
15．
【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键．
16．3
【分析】本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【详解】解：将的值都扩大到原来的5倍可得：
，
故答案为：3．
17．且
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
18．
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
19．
【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件：分母不为零是解题的关键．
根据分母不为零的条件得出不等式，求解即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
20．-1
【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m的方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：去分母得：1 （x＋m）＝2（x 2），
去括号得：1 x m＝2x 4，
移项，合并同类项得： 3x＝m 5，
∴．
∵关于x的方程有增根，
∴x=2
∴，
∴m＝ 1．
故答案为： 1．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程的增根，理解分式方程增根的意义解答是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义：分母不等于0，即可作答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
22．(1)
(2)，2
【分析】本题考查的是解分式方程，分式的化简求值，掌握相关运算法则和解法是解题关键．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，检验后即可得到答案；
（2）先将除法转化为乘法，再结合乘法公式约分化简，然后将、的值代入计算求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为；
（2）解：
，
当，时，原式．
23．(1)①；②；(2)①；②无解；(3)；，，，
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解；
（1）①根据提公因式法因式分解，即可求解；
②先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）①两边同乘，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解；
②两边同乘，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）；
②，
，
；
（2）解：①
两边同乘得：
经检验，时，
故为分式方程的解
②
两边同乘得：
解得：
检验： 时，为分式方程的增根
原分式方程无解
（3）解：
由不等式①得：
由不等式②得：
该不等式组的解集为 ，整数解有：，，，
24．，
【分析】先根据分式混合运算法则进行运算，然后将数据代入求值即可．
【详解】
∵，，，
∴，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握使分式有意义的条件，判断出，是解题的关键．
25．(1)；
(2)原分式方程无解．
【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后注意需验根．
（1）先去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验根的情况；
（2）先去分母化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验根的情况．
【详解】（1）解：方程两边同时乘，得
，
化简，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以原方程的解为：；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
26．，4.
【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
【详解】原式
．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4．
【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键.
27．(1)每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元
(2)该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元.
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答：每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元．
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，
解得，
每千克“果冻橙”的利润为（元），
每千克“脐橙”的利润为（元），
设总利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最大值，，此时，．
答：该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元．
28．，8
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可；
【详解】解：原式
当时，原式
29．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得，
故原分式方程的解为．
30．，当时，原式
【分析】先通分，然后化除为乘，根据，，进行约分，然后代值求解即可．
【详解】
；
∵,
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握，，对分式进行化简，注意分式有意义的条件．
31．（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到： ，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
32．（1）A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元；（2）购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
根据题意得，
解得，
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）灵活运用一次函数的性质．
33．；当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
，，，
，2，0，
，
当时，原式．
34．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解以及解分式方程．熟练掌握因式分解与解分式方程的基本步骤是解题的关键．
（1）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为．
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