第四单元长方体（二）（知识梳理+拔高训练）一-2024-2025学年五年级数学下学期培优检测卷（北师大版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第四单元长方体（二）（知识梳理+拔高训练）一
知识梳理
知识点01：体积与容积的概念
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。(从外部测量)容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。(从内部测量)
注意:
①同一个容器，体积大于容积;当容器壁很薄时，容积近等于体积如果容器壁忽略不计时，容积等于体积
②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变( 它们占空间的大小没有发生变化 )
知识点02：体积单位
认识体积、容积单位
常用的体积单位：立方米(米3)、 立方分米(分米3)、立方米(厘米3）。
常用的容积单位：升、毫升、1升=1分米3、1毫升=1厘米3
感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义
①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用厘米3作单位。
②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用分米3作单位。
③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位。
④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用升作单位。
⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
知识点03：长方体的体积
长方体、正方体体积的计算方法
①长方体的体积=长×宽×高，长用a表示，宽用b表示，高用h 表示，体积用V表示，体积可表示为V=abh。
②正方体的体积=棱长×棱长×棱长，如果棱长用a表示，体积可表示为V=a3=a×a×a。
长方体(正方体)的体积=底面积×高，V=Sh。
补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长。
能利用长方体(正方体)的体积及其他两个条件求出问题，如：长方体的高=体积÷长÷宽，长=体积÷高÷宽，宽=体积÷高÷长。注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不样，单位不同，无法比较大小。
知识点04：体积单位的换算
常用的体积单位有：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3) 、立方米(m3)。
常用的容积单位有：升(L)、毫升(mL)。
体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为1000；1米3=1000分米3、1分米3=1000 厘米3、1升=1分米3、1毫升=1厘米3、1升=1000毫升。
体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算由高级单位化成低级单位乘进率，由低级单位化成高级单位除以进率。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）下面图形都是用的正方体搭成的。图①的体积是( )，图②的体积是( )。
2．（2分）下面这个无盖长方体铁皮水槽最多可以盛( )L水。（单位：dm）
3．（2分）如图是一个装有水的长方体玻璃缸，水所占空间的大小，是水的( )，玻璃缸所能容纳水的体积，是玻璃缸的( )。（均选填“体积”或“容积”）
4．（2分）如图，一个长方体的底面是边长是4cm的正方形，它的表面积是，它的高是( )cm，体积是( ) cm3。
5．（2分）科学课上，为了制作火山爆发的模型，李老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物600毫升。将这些混合物倒入8个同样的玻璃瓶后还剩下24毫升。每个玻璃瓶里倒入了( )毫升的混合物。
6．（2分）如图，几个棱长是1分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米，体积一共是( )立方分米。

7．（2分）一个长方体容器，长是2分米，宽是1.5分米，放入一个铁块后（铁块完全没入水中）水面升高了0.3分米（水没有溢出），这个铁块的体积是( )立方分米。
8．（2分）在一个从里面量长12cm，宽9cm，高7cm的长方体木箱中，放入棱长为3cm的小正方体木块，最多能放( )块。
9．（2分）如图一包抽纸是一个长方体，它的长是16厘米，宽是10厘米，高是7厘米，它的表面积是( )平方厘米，它的体积是( )立方厘米。
10．（2分）一个长方体的长、宽、高都是质数，且它前面与上面的面积之和是2004平方厘米，则这个长方体的体积是( )立方厘米。
二、判断题（共10分）
11．（2分）至少要用8个完全相同的小正方体才能拼成一个稍大的正方体。( )
12．（2分）计量水、油、饮料等液体的多少。通常用升作单位，升可以用字母“mL”表示。( )
13．（2分）如果一个长方体的宽扩大为原来的2倍，长和高不变，那么这个长方体的体积扩大为原来的2倍。( )
14．（2分）把一个长方体的橡皮泥捏成一个球，体积没有变化。( )
15．（2分）一个油桶能装50升的柴油，现在有51升的柴油，装这些柴油至少需要11个油桶。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）一个长方体容器从里面量长30厘米，宽20厘米，高15厘米，里面装了7厘米深的水。将一块钢材放入其中沉没（水未溢出），这时水深11厘米。这块钢材的体积是（ ）立方厘米。
A．2400 B．1800 C．3600 D．1200
17．（2分）一个长9分米，宽6分米，高为5分米的长方体盒子里，最多可以摆放（ ）个棱长为2分米的正方体木块。
A．33 B．24 C．30 D．22
18．（2分）一本数学书的长为21厘米，宽为15厘米，高为0.8厘米。现需将一批数学书装入纸箱内打包，纸箱内侧的长为21厘米，宽为30厘米，高为4厘米。这个纸箱最多能放（ ）本数学书。
A．16 B．14 C．12 D．10
19．（2分）明明家有一个长6分米、宽4.5分米的长方体玻璃缸，缸内水深3.6分米，明明把爸爸买的西瓜放到里面以后（完全浸没），水深4分米（水未溢出），这个西瓜的体积是（ ）立方分米。
A．9.6 B．10.2 C．10.8 D．12.8
20．（2分）在一个长12厘米，宽和高都是5厘米的长方体上截下一个最大的正方体，剩下的体积是（ ）立方厘米。
A．300 B．125 C．250 D．175
四、计算题（共6分）
21．（6分）（1）求长方体的体积。
（2）求几何体的表面积和体积。（单位：厘米）
五、解答题（共54分）
22．（6分）如下图，在一个长，宽，水面高度为的长方体容器中，放入一个西红柿后（完全浸没），水面高度上升到（没有溢出）。西红柿的体积是多少？
23．（6分）用纸皮做一个长15分米、宽40厘米、高50厘米的长方体箱子用来存放同学们收集的可回收废品。
（1）至少要用多少平方分米的纸皮？
（2）这个箱子最多能装多少立方分米的东西？
24．（6分）有一种长方体形状的饮料，广告宣传其净含量为240mL，乐乐从外面量了量，长为6cm，宽为5cm，高为8cm。请你通过计算判断这个广告宣传的真伪。
25．（6分）奥运会游泳池国际标准尺寸一般是平面尺寸为25m×50m，水深为1.8m。这种游泳池最多可容纳多少升水？
26．（6分）在一个长25厘米、宽12厘米、高20厘米的长方体玻璃缸中装入一个棱长为8厘米的正方体铅块，然后往缸里放一些水，使它完全淹没这个正方体铅块，当铅块从缸中取出时，缸中的水会下降多少厘米？
27．（6分）一个长方体水箱，长4分米，宽2.5分米，高是3分米，水深24厘米。如果把一个棱长为2分米的正方体铁块放入水箱中，水箱里的水会溢出多少升？
28．（6分）一个密封的正方体，如图所示，前面有一个洞，这个水箱现在能装水多少升？如果洞口向上，能装水多少升？
29．（6分）乐乐准备在母亲节为妈妈准备份礼物，用如图所示的一张硬纸折成一个无盖的长方体包装盒，折成的长方体包装盒的体积是多少？
30．（6分）要把一块长36厘米、宽20厘米的长方形铁皮做成一个无盖铁盒。
（1）请在上图中用虚线表示小张切割铁皮的方法。
（2）请用计算说明哪一种方法制作的铁盒装的物品多。
参考答案
1．18 8
【分析】数一数组成图形①和②有多少个正方体，就有多少个1立方厘米。据此解答。
【详解】图形①：3×3×2
＝9×2
＝18（个）
图形①的体积：18立方厘米。
图形②：2＋4＋2＝8（个）
图形②的体积：8立方厘米
【点睛】图形都是用的正方体搭成的，数一数各图形中分别有多少个正方体，就是多少立方厘米。
2．120
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】15×4×2
＝60×2
＝120（dm3）
120 dm3＝120L
这个水槽最多可以盛120L水。
【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。
3． 体积 容积
【分析】物体所占空间的大小叫做这个物体的体积；一个容器所能容纳的物体所占的体积叫做容积。据此解答。
【详解】如图是一个装有水的长方体玻璃缸，水所占空间的大小，是水的（体积），玻璃缸所能容纳水的体积，是玻璃缸的（容积）。
4． 6 96
【分析】已知底面是边长为5的正方形，结合正方形的面积公式及长方体表面积可求出侧面积；
根据“长方体的侧面积＝底面周长×高”，易求出长方体的高；
接下来直接根据长方体的体积公式：V＝abh计算即可。
【详解】（128－4×4×2）÷（4×4）
＝（128－16×2）÷16
＝（128－32）÷16
＝96÷16
＝6（cm）
4×4×6
＝16×6
＝96（cm3）
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体的表面积、体积公式及应用，关键是熟记公式。
5．72
【分析】根据题意可得等量关系：每个玻璃瓶里混合物的量×8＋剩下的混合物的量＝混合物的总量，设每个玻璃瓶里倒入x毫升的混合物，8个同样的玻璃瓶倒入8x毫升，列方程：8x＋24＝600，解方程，即可解答。
【详解】解：设每个玻璃瓶里倒入x毫升的混合物。
8x＋24＝600
8x＝600－24
8x＝576
x＝576÷8
x＝72
科学课上，为了制作火山爆发的模型，李老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物600毫升。将这些混合物倒入8个同样的玻璃瓶后还剩下24毫升。每个玻璃瓶里倒入了72毫升。
【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。
6． 12 6
【分析】从正面看有3个面露在外面，从上面看有5个面露在外面，从右边看有4个面露在外面，一共有（3＋5＋4）个面露在外面，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据求出正方体一个面的面积，再乘12，即可求出露在外面面的面积；
这个组合体一共有6个小正方体组成，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，再乘6，即可求出这个组合体的体积。
【详解】3＋5＋4
＝8＋4
＝12（个）
1×1×12
＝1×12
＝12（平方分米）
1×1×1×6
＝1×1×6
＝1×6
＝6（立方分米）
如图，几个棱长是1分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是12平方分米，体积一共是6立方分米。
【点睛】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数以及这个组合体有几个小正方体组成。
7．0.9
【分析】根据题意可知，水面上高部分的体积就是这个铁块的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】2×1.5×0.3
＝3×0.3
＝0.9（立方分米）
一个长方体容器，长是2分米，宽是1.5分米，放入一个铁块后（铁块完全没入水中）水面升高了0.3分米（水没有溢出），这个铁块的体积是0.9立方分米。
【点睛】本题考查不规则物体的体积计算，关键明确水面升高的部分体积等于这个铁块的体积。
8．24
【分析】在这个长方体纸盒中，沿着这个长方体纸盒的长来放，能放：12÷3＝4（块），沿着宽放，能放：9÷3＝3（块），沿着高放，能放：7÷3＝2（块）……1（厘米），用沿着长方的个数×沿着宽放的个数×沿着高放的个数即可求解。
【详解】12÷3＝4（块）
9÷3＝3（块）
7÷3＝2（块）……1（厘米）
4×3×2＝24（块）
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，要注意不能用长方体的体积除以正方体的体积。
9． 684 1120
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算。
【详解】（16×10＋16×7＋10×7）×2
＝（160＋112＋70）×2
＝342×2
＝684（平方厘米）
16×10×7＝1120（立方厘米）
则它的表面积是684平方厘米，它的体积是1120立方厘米。
【点睛】掌握长方体的表面积和体积公式是解题的关键。
10．5845
【分析】一个长方体前面的面积＝长×高，上面的面积＝长×宽，则长×高＋长×宽＝长×（高＋宽）＝2004，将2004分解质因数，2004＝2×2×3×167，则长是167。剩下的2×2×3＝12，则12是高和宽的和，分成两个质数相加。12＝5＋7，则宽和高分别是5和7。长方体的体积＝长×宽×高。
【详解】长、宽、高都是质数，
2004＝2×2×3×167＝12×167＝（5＋7）×167
长、宽、高分别是167厘米、5厘米、7厘米
167×5×7＝5845（立方厘米）
这个长方体的体积是5845立方厘米。
11．√
【分析】根据正方体的特征，12条棱都相等；那么拼成的大正方体的棱长最少由2个同样的小正方体的棱长组成，根据正方体体积V＝a3可以求出至少需要同样的小正方体的个数。
【详解】如图：
2×2×2＝8
至少要用8个完全相同的小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查正方体的特征以及正方体体积公式的运用。
12．×
【分析】在计量液体，且量比较少的情况下，通常用升作单位，量更少用毫升作单位，所以计量水、油、饮料等液体的多少，通常用升作单位，升可以用字母“L”表示。由此解答即可。
【详解】计量水、油、饮料等液体的多少。通常用升作单位，升可以用字母“L”表示，因此，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】此题主查考查升、毫升计量单位的意义及应用，明确升和毫升的字母表示方法，是解答此题的关键。
13．√
【分析】设长方体的长为a，宽为b，高为h，宽扩大到原来的2倍，长和高不变；则扩大后的长方体的长为a，宽为2b，高为h；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出扩大后长方体的体积和原来长方体的体积，再用扩大后长方体的体积除以原来长方体的体积，即可解答。
【详解】设长方体的长为a，宽为b，高为h，则扩大后，长方体的长为a，宽为2b，高为h。
（a×2b×h）÷（abh）
＝（2abh）÷（abh）
＝2
如果一个长方体的宽扩大为原来的2倍，长和高不变，那么这个长方体的体积扩大为原来的2倍。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。
14．√
【分析】物体所占空间的大小，叫做物体的体积，把一个长方体的橡皮泥捏成一个球，只是橡皮泥的形状改变了，体积并没有变化；据此判断。
【详解】由分析可知：
把一个长方体的橡皮泥捏成一个球，只是橡皮泥的形状改变了，体积没有变化。
故答案为：√
【点睛】本题考查体积的意义，学生需理解体积的意义。
15．×
【分析】一个油桶能装50升柴油，51升柴油一个油桶装不下，2个油桶可以装50×2＝100升，大于51升，所以至少需要2个油桶，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，一个油桶能装50升的柴油，现在有51升的柴油，装这些柴油至少需要2个油桶，原说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生对升的认识。
16．A
【分析】将一块钢材放入水中沉没（水未溢出），则上升的水的体积等于这块钢材的体积。长方体容器中上升的水的体积＝长×宽×上升的高，据此代入数据计算。
【详解】30×20×（11－7）
＝30×20×4
＝2400（立方厘米）
这块钢材的体积是2400立方厘米。
故答案为：A
【点睛】本题考查不规则物体的体积计算。明确“水未溢出，则上升的水的体积等于这块钢材的体积”是解题的关键。
17．B
【分析】分别用长方体的长、宽、高除以正方体的棱长，求出每排放几个、每层放几排及放几层，再相乘即可。
【详解】9÷2＝4（个）…1（分米）
6÷2＝3（个）
5÷2＝2（个）…1（分米）
4×3×2
＝12×2
＝24（个）
一个长9分米，宽6分米，高为5分米的长方体盒子里，最多可以摆放24个棱长为2分米的正方形木块。
故答案为：B
【点睛】解答时注意不能用大长方体的体积除以小正方体的体积来计算，因为要考虑到沿长、宽、高摆放时，是否能正好放满。计算时如果有余数，应用“去尾法”保留整数。
18．D
【分析】根据题意可知，沿纸箱的长把数学书长着放一本，沿纸箱的宽可以放2本，沿纸箱的高可以放4÷0.8＝5层，然后根据乘法的意义来解答。
【详解】21÷21×（30÷15）×（4÷0.8）
＝1×2×5
＝10（本）
故答案为：D
【点睛】此题考查的目的是理解掌握“包含”除法的意义、长方体体积公式的应用。
19．C
【分析】根据题意，玻璃缸内放入西瓜后，上升部分水的体积等于这个西瓜的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】6×4.5×（4－3.6）
＝27×0.4
＝10.8（立方分米）
这个西瓜的体积是10.8立方分米。
故答案为：C
【点睛】此题考查的目的是理解掌握不规则图形体积的计算方法及应用，一般利用排水法，把不规则物体放入有水的容器中，上升部分水的体积就是不规则物体的体积。
20．D
【分析】由题意可知：截下的最大的正方体的棱长为5厘米，将数据代入正方体体积公式：V＝a3，长方体体积公式：V＝abh，求出长方体、正方体的体积，最后求差即可。
【详解】12×5×5－5×5×5
＝60×5－25×5
＝300－125
＝175（立方厘米）
剩下部分的体积是175立方厘米。
故答案为：D。
【点睛】本题主要考查长方体、正方体体积公式。
21．（1）100立方分米
（2）表面积：392平方厘米；体积：504立方厘米
【分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可；
（2）观察图形可知，几何体的表面积＝大正方体的表面积＋切去部分两个面的面积，几何体的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【详解】（1）1米＝10分米
10×10＝100（立方分米）
（2）表面积：8×8×6＋2×2×2
＝384＋8
＝392（平方厘米）
体积：8×8×8－2×2×2
＝512－8
＝504（立方厘米）
22．
【分析】“不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度”，据此解答即可。
【详解】15×10×（12－10）
＝150×2
＝300（立方厘米）
答：西红柿的体积是300。
【点睛】明确西红柿的体积就是上升的水面的体积是解答本题关键。
23．（1）310平方分米；（2）300立方分米
【分析】（1）求要用多少平方分米的纸皮就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积公式求解；
（2）这个箱子最多能装多少立方分米的东西，这是求这个长方体的容积，纸皮的厚度不计，也就是求这个长方体的体积，根据体积公式求解。
【详解】（1）40厘米＝4分米，50厘米＝5分米，
（15×4＋15×5＋4×5）×2
＝155×2
＝310（平方分米）
答：至少要用310平方分米的纸皮。
（2）15×4×5
＝60×5
＝300（立方分米）
答：这个箱子最多能装300立方分米的东西。
【点睛】考查了长方体表面积和容积（体积）的灵活应用，关键是熟记公式。
24．虚假广告
【分析】根据长方体体积公式：长×宽×高，即可求出体积，然后与宣传净含量进行比较，依据一个物体同时有体积和容积时，体积大于容积，即可解答。
【详解】6×5×8
＝30×8
＝240（cm ）
240cm ＝240mL
因为体积大于容积，所以实际容积是无法达到240mL的。
答：通过计算得出这个广告宣传的是虚假广告。
【点睛】此题考查对体积与容积的概念的理解，严格地说，一个物体的体积一定大于它的容积，因为物体都是有一定的厚度。
25．2250000升
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出游泳池的体积，再换算单位，1立方米＝1000升。
【详解】25×50×1.8
＝1250×1.8
＝2250（立方米）
2250立方米＝2250000升
答：这种游泳池最多可容纳2250000升水。
【点睛】此题关键在于考查学生对物体容积的理解与实际应用。
26．1.7厘米
【分析】根据题意可知，水面下降的部分体积等于正方体的铅块体积，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铅块的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
【详解】（8×8×8）÷（25×12）
＝（64×8）÷300
＝512÷300
≈1.7（厘米）
答：缸中的水会下降1.7厘米。
【点睛】解答本题的关键明确正方体的体积等于水面下降部分的体积，再利用正方体体积公式、长方体体积公式进行解答。
27．2升
【分析】根据题意知：用水的体积加铁块的体积，再减去水箱的容积，就是溢出水的体积，据此由长方体体积公式：V＝abh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）；正方体体积公式：V＝a3（a表示棱长）解答即可。
【详解】24厘米＝2.4分米
4×2.5×2.4＋2×2×2－4×2.5×3
＝24＋8－30
＝32－30
＝2（立方分米）
＝2（升）
答：水箱里的水溢出2升。
【点睛】本题的关键是让学生理解：“溢出水的体积＝水的体积＋铁块的体积－水箱的容积”这一数量关系。
28．0.384升；0.512升
【分析】当水的高度达到6厘米的时候，水会溢出，所以现在能装水的量就是长是8厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体体积，再根据1升＝1000立方厘米转换单位；如果洞口向上，那么水不会溢出，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，求出这个正方体的体积，再转换成容积单位即可。
【详解】8×8×6＝384（立方厘米）
384立方厘米＝0.384升
8×8×8＝512（立方厘米）
512立方厘米＝0.512升
答：这个水箱能装水0.384升；如果洞口向上，能装水0.512升。
【点睛】本题主要考查长方体和正方体的体积公式以及体积和容积的单位换算，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
29．288立方厘米
【分析】由长方体的展开图可知：这个长方体纸盒的长是12厘米，宽是8厘米，高是（15－12）厘米，因为折成一个无盖的长方体包装盒，根据体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答即可。
【详解】12×8×（15－12）
＝12×8×3
＝96×3
＝288（立方厘米）
答：折成的长方体包装盒的体积是288立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体体积公式的实际应用，解题的关键是先确定出纸盒的长、宽、高的值。
30．（1）见详解。
（2）见详解。
【分析】（1）以宽20厘米为边长，剪出一个最大的正方形，剩下一个宽为36－20＝16厘米，长是20厘米的长方形，将16厘米的边平均分成4份，沿长剪下，形成4个宽为4厘米，长为20厘米的形状一样的长方形，将长与正方形的边长重合，形成底是边长20厘米正方形，高是4厘米的长方体。
（2）根据长方体容积＝长×宽×高，求得两个铁盒的容积，再比较大小即可。
【详解】（1）
（2）小李的方法：
（36－5×2）×（20－5×2）×5
＝（36－10）×（20－10）×5
＝26×10×5
＝260×5
＝1300（立方厘米）
小张的方法：
（36－4×4）×20×4
＝（36－16）×20×4
＝20×20×4
＝400×4
＝1600（立方厘米）
1600＞1300
答：用小张的方法制作的铁盒装的物品多。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)