黄山市2025届高三毕业班质量检测
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ）
A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7
5. 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A. B. C. D. 10
8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ）
A. 当船的航行时间最短时，
B. 当船的航行距离最短时，
C. 当时，船的航行时间为6分钟
D. 当时，船的航行距离为
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A. 的最小值为4
B. 以线段为直径的圆与直线相切
C. 当时，则
D.
11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法．
14. 已知，都是锐角，，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
每周体育锻炼的时间（小时）
人数 3 4 8 11 41 20 8 5
用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；
（2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若，则，，．
16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值．
17. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成角的余弦值．
18. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，判断函数在区间上的单调性；
（2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，．
19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
（1）若（是正整数），求，，的值；
（2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；
（3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）黄山市2025届高三毕业班质量检测
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，或，
所以.
故选：D
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【详解】由题设，则.
故选：A
3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】此陀螺圆柱体积，
设此陀螺圆柱的底面半径为，则，
∴此陀螺圆柱的底面面积.
故选：C.
4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ）
A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7
【答案】A
【详解】由题意及，则，可得吨.
故选：A
5. 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意，，而，
因，故得.
故选：B.
6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为，则，解得，
所以
设第9项起依次成的等比数列的公比为，则，即.
所以.
故选：B.
7. 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】C
【详解】由题设，，则，而，
所以，则，
由，，则，而，
又，
所以，则，
由
.
故选：C
8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】根据题意，求导得，
由即解得，所以函数的“新驻点”.
同理，求导得，则即，
设函数，易知函数在定义域上单调递增，
且，
根据零点存在定理可知，的根.
由求导得，则即，
设函数，则，
所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.
因为，
根据零点存在定理，可知的根.
综上，.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ）
A. 当船的航行时间最短时，
B. 当船的航行距离最短时，
C. 当时，船的航行时间为6分钟
D. 当时，船的航行距离为
【答案】AC
【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度，
河宽，则渡河时间 ，
当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，
则，所以，故B错误；
对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度，
船的航行时间，即6分钟，故C正确；
对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则，
当时，，
所以，
因为船垂直河岸方向的分速度，
所以船的航行时间，
所以船的航行距离为，故D错误.
故选：AC.
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A. 的最小值为4
B. 以线段为直径的圆与直线相切
C. 当时，则
D.
【答案】BCD
【详解】由题设，则，，
可设，联立抛物线得，显然，
所以，，则
，当且仅当时等号成立，A错；
由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，
所以的中点与直线的距离为，即为的一半，
所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；
若，且，则，而，
所以，则，
所以，则，C对；
由，D对.
故选：BCD
11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
【答案】ACD
【详解】令，而是定义在上的奇函数，则，
，即在R上也是奇函数，
而，当时，，
所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减，
综上，时，时，，故，
显然时，故时，时，
所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对；
由，显然在上单调递增，且，
在上单调递减，在上单调递增，且周期为，，
所以在上不一定单调，B错.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
【答案】0
【详解】由，可得.
故答案为：0.
13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法．
【答案】1280
【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.
所以，总共有种不同的安排方法.
故答案为：1280.
14. 已知，都是锐角，，，则________．
【答案】##
【详解】由，可得，故，
因，代入解得，
可将看成方程的两根，解得 或，
因，都是锐角，且，由，解得，
而，故，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
每周体育锻炼的时间（小时）
人数 3 4 8 11 41 20 8 5
用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；
（2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若，则，，．
【答案】（1）个学生；
（2）分布列见解析，均值为.
【小问1详解】
由题设，且，
所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，
由，
所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上；
【小问2详解】
由（1）知，
则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布，
所以，，
，，
所以分布列如下，
0 1 2 3
.
16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【小问1详解】
设到定直线的距离为，
依题意，可得，化简得，
即曲线的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：，
则圆的圆心到直线的距离，即 ①
由消去，可得，
由，可得，
设，则，
则
，
将①式代入，化简得：，
因点到直线的距离为，
则的面积为，
设，则，，
因，当且仅当时取等号，
此时， 的面积的最大值为.
17. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）0.
【小问1详解】
如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，为的中点，
，，故，故为的三等分点，
，为的三等分点，即F为的中点，
又为的中点，，即
平面，平面，
平面.
【小问2详解】
由题意，，，则是等边三角形，
所以，，，.
在中，，
根据余弦定理，，
故，即，
，故，
又在等边中，为的中点，，
，，平面，平面,
平面.
平面，，
又，，平面，平面，
平面.
在中，,
.
由题意，，所以梯形是等腰梯形，则，所以，
又，.
以点为坐标原点，以分别为轴、轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示坐标系.
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，所以
设平面和平面的夹角为,
则，
所以平面和平面的夹角余弦值为0.
18. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，判断函数在区间上的单调性；
（2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）函数在区间上的单调递减；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
由题设，则，
当，有，则，
所以在区间上的单调递减；
【小问2详解】
由题设，则，
所以上，即在上有解，
令且，则，
所以在上单调递增，故，即；
【小问3详解】
由，只需证恒成立，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，故，
所以，恒成立.
19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
（1）若（是正整数），求，，的值；
（2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；
（3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1），，；
（2）证明见解析； （3）存在，最小k为7.
【小问1详解】
由题设，且，
所以，即，，
，即，，
，即，，
所以，，；
【小问2详解】
由题设，则，
所以，，则，
所以，，，
所以，故，即数列是等差数列；
【小问3详解】
当为奇数时，，则，
由，即，，则；
当为偶数时，，则，
由，即，，则；
所以且，则且，
而，
要使，则，
当且，则，
所以，则，可得；
当且，则，
所以，则，显然不成立；
综上，时最小值为7.
