四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

彭山第一中学高2026届四月考数学试题
一．选择题（共8小题）
1．已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．设函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x﹣3，则＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣3
3．在等比数列{an}中，a2，a98是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，则a50的值为（　　）
A．10 B．16 C．±4 D．4
4．下列求导运算不正确的是（　　）
A．（ex sinx）'＝（cosx+sinx）ex B．
C． D．
5．若{an}是等差数列，Sn表示{an}的前n项和，a3+a8＞0，S9＜0，则{Sn}中最小的项是（　　）
A．S5 B．S4 C．S6 D．S7
6．函数y＝f（x）的导函数y＝f '（x）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（　　）
A．1666 B．1678 C．1472 D．1460
8．若函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣x在区间存在单调递减区间，则a的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
二．多选题
9设Sn是数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是（　　）
A.若等差数列的项数为2n+1，S奇为所有奇数项的和，S偶为所有偶数项的和，则S奇﹣S偶＝an+1
B．若{an}是等差数列，则是与的等差中项
C．若{an}是等比数列，则S8﹣S4是S4与S12﹣S8的等比中项
D．若数列a1，a2﹣a1， ，an﹣an﹣1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是
10．下列说法正确的是（　　）
A．已知{an}为等差数列，若m+n＝p+q （其中m，n，p，q∈N*），则am+an＝ap+aq
B．若等比数列{an}的公比为q，则其前n项和为
C．若f（x）+f（1﹣x）＝2，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝n+1
D．若数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn，且Sn＝a1+22a2+…+n2an，则an＝
11．已知函数f（x）＝x3﹣在其定义域（0，+∞）内既有极大值也有极小值，则实数a可能取值为（　　）
A． 1 B． C．e D．
三．填空题（共3小题）
12．如图，函数F（x）＝f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是
y＝﹣x+8，则f（5）+f '（5）＝　 　 ．
13．函数y＝x2（x＞0）的图像在点（an，）处的切线与x轴交点的横坐标为an+1（n∈N*），且a1＝32，则a2+a4+a6＝　 　 ．
14．已知函数，函数g（x）＝f 2（x）﹣（a+2）f（x）+2a，若函数g（x）恰有三个零点，则a的取值范围是 　 ．
15．已知函数f（x）＝x3﹣4x+4
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，4）处的切线方程
（2）若x∈[﹣3，3]，求函数f（x）的最大值与最小值．
16．在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝﹣5，{an}的前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值；
（3）设Tn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Tn．
17．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足：a1＝b1＝3，a10﹣12＝b2，3a4＝b3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn；
（3）记cn＝an bn，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．
18．已知函数f（x）＝alnx+x+（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝2x2﹣mex（e＝2.718…为自然对数的底数），当a＝﹣e时，对任意x1∈[1，4]，
存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），求实数m的取值范围．
19．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，则存在x0∈（a，b），使得．已知函数f（x）＝x2﹣2x，数列{an}满足，且a1＝2．
（1）求a2，a3；
（2）证明：数列{an+1}为等比数列；
（3）若数列{bn}的前n项和为Sn，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意n∈N*，总有成立？
四月考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B B B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BC BD
三．填空题（共3小题）
12．﹣5 13 21 14·（﹣，0）∪（0，）．
四．解答题
15解：（1）函数f（x）＝x3﹣4x+4的导数为：f′（x）＝x2﹣4，
f（0）＝4，f′（0）＝﹣4，故切线的斜率为k＝﹣4，
故切点为（0，4），斜率是﹣4的切线方程为y﹣4＝﹣4x， 即为y＝﹣4x+4；
（2）∵f′（x）＝x2﹣4＝0， 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，
∴f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，3]递增；
∴f（x）极大值＝f（﹣2），f（x）极小值＝f（2），
由f（2）＝﹣，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝7，f（3）＝1，
可得f（x）在[﹣3，3]上的最大值为，最小值为﹣．
16.解：（1）在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝﹣5，{an}的前n项和为Sn． 设公差为d，
则a9﹣a3＝6d＝﹣12，解得d＝﹣2，则a1＝a3﹣2d＝11，
故an＝a1+（n﹣1）d＝13﹣2n；
（2）前n项和， 当n＝6时，Sn取最大值36；
（3）an＝13﹣2n，当n≤6时，有an＞0，n≥7时有an＜0，
当n≤6时，，
当n≥7时，Tn＝a1+a2+...+a6﹣a7﹣...﹣an＝2（a1+a2+...+a6）﹣（a1+a2+a3+...+an）
＝，
综上所述．
17解：（1）设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0；
由a1＝b1＝3，a10﹣12＝b2，3a4＝b3可得，
解得q＝3或q＝﹣2（舍），则d＝2；
所以an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，；
可得数列{an}的通项公式为，{bn}的通项公式为；
（2）由（1）可得，
所以Tn＝a1+b1+a2+b2+ +an+bn＝（a1+a2+ +an）+（b1+b2+ +bn）
＝＝，
即可得；
（3）易知，
则，
；
两式相减可得
＝；
所以数列{cn}的前n项和为．
18 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝+﹣＝＝，
①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞2a，即f（x）的单调递增区间是（2a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2a，即单调递减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞﹣6a，即f（x）的单调递增区间是（﹣6a，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜﹣6a，即单调递减区间是（0，﹣6a）．
（2）当a＝﹣e时，由（1）知，函数f（x）在（﹣6a，+∞）上递增，在（0，﹣6a）上递减，
即当x＝﹣6a＝e∈（1，3）时，函数取得极小值，同时也是最小值f（e）＝alne+e+＝﹣e+e+e＝e．
若对任意x1∈[1，4]，存在x2∈（1，3），使g（x1）≥f（x2），即等价为g（x1）≥e即可，
由2x2﹣mex≥e得2x2﹣e≥mex， 即m≤，
设h（x）＝，则h′（x）＝＝＝，
由h′（x）＝0，得x＝1+，或x＝1﹣（舍），
即当1＜x＜1+时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，
当1+＜x＜4时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，
则当x＝时，h（x）取得极大值同时也是最大值，
∵h（1）＝＝﹣，h（4）＝＝﹣，
∴h（1）＜h（4）， 即函数h（x）的最小值为h（1）＝﹣， 则m≤﹣．
19解：（1）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x，则f'（x）＝2x﹣2，
由，可得，
即，化简为an+1＝3an+2，
由a1＝2，所以a2＝3×2+2＝8，a3＝3×8+2＝26．
（2）证明：由an+1＝3an+2，可得an+1+1＝3（an+1），
即，所以数列{an+1}为首项为3，公比为3的等比数列；
（3）由（2）可得，则，
所以，
则Sn＝[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（+）]
＝，
所以存在实数，q＝﹣6，满足题意．