模块05 立体几何与空间向量
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·安徽合肥·三模）设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.
【详解】由于，，由平面平行的性质定理可得：，
所以是的充分条件；
但当，，并不能推出，也有可能相交，
所以是的不必要条件；
故选:A.
2．（24-25高三上·重庆·期末）如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图及空间向量加减法可得答案.
【详解】由图可得：
.
故选：C
3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知是空间中的两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线.下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的判定定理分析判断；对于C：根据线面平面的判定定理分析判断；对于D：根据平行关系可知，再结合线面垂直的性质分析判断.
【详解】对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：需保证m，n相交，故A错误；
对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误；
对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证，故C错误；
对于选项D：若，则，
且，所以，故D正确；
故选：D.
4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
【答案】D
【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.
【详解】如图可知，
四边形的周长为，四边形的面积为.
故选:D.
5．（24-25高三上·天津红桥·期末）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球的半径，可求表面积.
【详解】令外接圆的半径为，球的半径为，
由，得，
所以为直角三角形，则，即，
因为球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，
所以，解得，所以球的表面积为.
故选：A.
6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由且，得到，E，A，C四点共面，即点E在平面上，从而的最小值为点D到平面的距离求解.
【详解】由题意得，，
∴，即，
由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上，
则的最小值为点D到平面的距离．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
则，取，
D到平面的距离，
即的最小值为．
故选：B
7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知三棱锥的四个顶点满足：，分别是圆柱的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先应用到平面的距离相等，再应用三棱锥体积公式计算结合不等关系计算圆柱体积即可.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，
设点到平面的距离为，因为是的中点，所以到平面的距离也为，
故，
所以圆柱的体积为.
故选:C.
8．（24-25高二下·福建南平·期末）如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为.
则，，，，，.
所以，，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，可得.
又，设直线与平面所成的角为，则
，
从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】BC
【分析】由线面平行的判定定理和性质定理可得A错误，B正确；由线面垂直的的性质可得C正确，D错误；
【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，因为，，，所以，故B正确；
选项C中，因为，，所以，又，所以，故C正确；
选项D中，因为，，，所以，故D错误.
故选：BC.
10．（24-25高三上·河北廊坊·期末）如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点到平面的距离是到平面的距离的倍
B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．若线段 ，则的最小值是
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A；利用坐标法，列出关于异面直线所成角的余弦值的式子，即可判断B；利用坐标法，求三棱锥的外接球的球心坐标和半径，即可判断C；利用坐标法，表示两点间的距离，转化为平面几何问题，即可求最值.
【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，，
所以，点到平面的距离为，
点到平面的距离为，所以，，故A正确；
对于B选项，设点，，，
若与所成角是，
则，
整理为，为双曲线方程，
所以点的轨迹是双曲线，故B错误；
对于C选项，、、、，
设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为，
则,方程组中前个式子和后个式子相减，
得，得，再回代方程组得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；
对于D选项， 由，可设点，即，，
，
，
上式的意义可以理解为平面直角坐标系中，
动点到定点和的距离和的倍，
显然，动点到定点和的距离和的最小值是两定点和间的距离，
距离为，
所以的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的使用，不仅可以表示角，距离，还可以求解轨迹方程，球心坐标等问题.
11．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为
C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
D．点到直线距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D.
【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，，，，
，即，
而平面，因此平面，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，
因此三棱锥的体积是定值，C正确；
对于D，，则点到直线的距离
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为 ．
【答案】/-0.5
【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.
【详解】
根据题意ABCD为正四面体，
，，两两成角，,
由，
，
所以
．
故答案为：
13．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 .
【答案】
【分析】利用圆台的体积公式，得到，求解答案即可.
【详解】由已知结合圆台的体积公式即可求解．
因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，
则两个圆台的体积之比．
故答案为：．
14．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值.
【详解】
如图，过作交底面圆锥于点，连接，
因为，则为异面直线与所成角，
所以，
又，所以，即，
因为，函数在上单调递减，所以，
故异面直线与所成角的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，得到，再由为的中点，得到，结合，列出方程求得，得到为的中点，进而证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解.
（2）根据题意，求得，得到，进而得到，结合，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面.
【详解】（1）证明：设，则，
所以，
因为为的中点，则，所以，
又因为，则，
因为，
则
，解得，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为分别为的中点，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为分别为的中点，所以，
所以，
因为，
所以，所以，所以，
因为，则，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
16．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.
(1)证明：；
(2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求的面积；
（ii）求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）由空间向量的运算可得，，再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（2）（i）由余弦定理求，根据同角的平方关系求出，再由三角形面积公式即可求解；
（ii）由（i）得即为与平面所成角，根据及即可求解.
【详解】（1）因为E为边AB的中点，所以.
又，即，即.
，
所以.
又因为，所以，即.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）（i）由余弦定理可得，
所以，
所以.
（ii）由（1）可知，平面，
所以即为与平面所成角.
因为，所以，，
所以，得.
设到平面的距离为，点到直线的距离为，
则
.
因为，
又，所以.
17．（24-25高三上·天津北辰·期末）如图，在四棱柱中，平面，其中是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）求出平面的法向量，结合（1）中的信息，利用面面角的向量求法计算可得结果；
（3）利用空间中点到平面距离公式计算即可得解.
【详解】（1）
平面，平面，平面，
,又，
以A为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，不妨设，得
所以平面的一个法向量为，
，有，故.
又平面，所以平面．
（2）由（1）可知，
设平面的一个法向量为，
则，不妨设，得，
所以平面的一个法向量为，
于是，
所以，平面与平面的夹角余弦值为.
（3）由，平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
18．（24-25高三上·天津红桥·期末）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）连接交于点，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由已知可证得，且，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解；
（3）利用空间向量中的距离公式可求点到平面的距离.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，
则平面；
（2）直线平面平面，
所以，且，
则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系；
，，
所以，
设平面的法向量为，
由，得，
令，得，且，
所以，
直线与平面夹角的正弦值为；
（3）因为，
且平面的法向量为，
则点到平面的距离.
19．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值；
(3)求点到直线的距离的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取的中点F，可得，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）取的中点O，由面面垂直、线面垂直的性质定理得，，以O为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法求出可得答案；
（3）设，，求出点到直线的距离，分、、可得答案.
【详解】（1）取的中点F，连接，，
又，点F是的中点，
所以，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）取的中点O，连接，，如图所示，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以，，
又，得，所以以O为坐标原点，直线，，
分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
设，，
所以，
又，设平面的法向量为，
所以，
令，解得，，
所以平面的法向量.
又，，
设平面的法向量为，所以，
令，解得，，
所以平面的法向量.
设平面与平面的夹角为，
所以
，
解得，所以；
（3）设，，
所以，
又，所以点到直线的距离
，
当时，；
当时，，
而，当时，取最小值，
此时.
综上，点到直线的距离的最小值为.
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·安徽合肥·三模）设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·重庆·期末）如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知是空间中的两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线.下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
5．（24-25高三上·天津红桥·期末）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知三棱锥的四个顶点满足：，分别是圆柱的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·福建南平·期末）如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
10．（24-25高三上·河北廊坊·期末）如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点到平面的距离是到平面的距离的倍
B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．若线段 ，则的最小值是
11．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为
C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
D．点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为 ．
13．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 .
14．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
16．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.
(1)证明：；
(2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求的面积；
（ii）求三棱锥的体积.
17．（24-25高三上·天津北辰·期末）如图，在四棱柱中，平面，其中是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．（24-25高三上·天津红桥·期末）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离；
19．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值；
(3)求点到直线的距离的最小值.
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