专题04 指数函数、对数函数及幂函数
目 录
题型一：指数运算及指数函数
易错点01 对根式性质理解不到位出错
易错点02 忽略底数对指数函数性质的影响
题型二 对数运算及对数函数
易错点03 忽视对数式成立的条件而出错
易错点04 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错点05 利用换元法求值域遗忘范围
题型三 幂函数
易错点06 错判幂函数的性质
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题型一：指数运算及指数函数
易错点01：对根式性质理解不到位出错
典例 （24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（ ）
①49的平方根为7；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49的平方根是，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，故④错误．
故选:A．
【易错剖析】
本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为，成立而误选C.
【避错攻略】
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一·全国·课后作业）（ ）
A． B．
C． D．当为奇数时，；当为偶数时，
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24高一上·北京延庆·期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式有意义，则 ．
8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）的值为 ．
易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响
典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.
【避错攻略】
1 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
2底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.
1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 .
2．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在区间上的最小值是，则的值是 .
1．函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值；
7．（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值.
8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值为，求的值.
9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
题型二 对数运算及对数函数
易错点03：忽略对数式成立的条件而出错
典例 （24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，解得，
故答案为：.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果，且，那么：
；
；
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知，求的值；
2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ．
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 .
9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数，令，即，解得或，
所以的定义域为，
又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故选：C
【易错剖析】
本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函
数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【避错攻略】
1.复合型函数单调性规律
若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想.
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ．
1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．的定义域为 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．在区间单调递增
D．在区间单调递减
7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 .
8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数.
(1)证明：是周期函数；
(2)求的单调递增区间.
9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且.
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若函数的最小值为，求的值.
易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围
典例 （24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
又，，故，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D.
【易错剖析】
本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.
【避错攻略】
1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范围变大而出错.
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
2．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
3．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 .
5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ．
6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ．
7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ．
8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 .
9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值域；
(3)讨论的定义域．
题型三 幂函数
易错点06：错判幂函数的性质
典例 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可.
【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称，
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【易错剖析】
对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
【避错攻略】
1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
1．（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．不等式的解集为
7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ．
8．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点.
(1)确定m的值；
(2)求满足条件的实数a的取值范围.
10．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 指数函数、对数函数及幂函数
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题型一：指数运算及指数函数
易错点01 对根式性质理解不到位出错
易错点02 忽略底数对指数函数性质的影响
题型二 对数运算及对数函数
易错点03 忽视对数式成立的条件而出错
易错点04 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
易错点05 利用换元法求值域遗忘范围
题型三 幂函数
易错点05 错判幂函数的性质
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型一：指数运算及指数函数
易错点01：对根式性质理解不到位出错
典例 （24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（ ）
①49的平方根为7；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49的平方根是，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，故④错误．
故选:A．
【易错剖析】
本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为，成立而误选C.
【避错攻略】
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定
负分数指数幂 规定
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值范围不同，如中当为奇数时,为偶数时,，另外根式的化简结果也不同；
分数指数幂中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．
1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【详解】由，，可知，
.
故选：B
2．（2025高一·全国·课后作业）（ ）
A． B．
C． D．当为奇数时，；当为偶数时，
【答案】D
【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解.
【详解】当为奇数时，；
当为偶数时，.
故选：D
3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】对于A选项：，，故A错误；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.
故选：C
1．（23-24高一上·北京延庆·期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.
【详解】将写成分数指数幂的形式为.
故选：B.
3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案．
【详解】对于A选项，，故A错误；
对于B选项， ，故B错误；
对于C选项，当时，，当时，，故C错误；
对于D选项，，故D正确．
故选：D．
4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】BD
【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得.
【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误；
对B：，故，故B正确；
对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：BD.
6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可.
【详解】，故A错误.
指数幂性质，知道，B正确；
对数运算性质，知道，C错误；
换底公式逆用，知道,D正确.
故选：BD.
7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式有意义，则 ．
【答案】1
【分析】由二次根式有意义得到的取值范围，化简所求代数值，由的取值范围去掉绝对值符号即可得到解.
【详解】由题意可知：，∴
∴
故答案为：1
8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）的值为 ．
【答案】
【分析】利用根式的性质进行化简求值即可.
【详解】.
故答案为：.
易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响
典例 （2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.
【避错攻略】
1 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
2底数对指数函数图像与性质的影响
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.
1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 .
【答案】
【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值.
【详解】当时，在上为增函数，
则，解得；
当时，在上为减函数，
则，解得（舍去）；
于是函数，显然在上为增函数，
故当 时，.
故答案为：.
2．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又，解得．
故选：C．
3．函数在区间上的最小值是，则的值是 .
【答案】或
【详解】令，则，其对称轴为，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得.
综上，所以或.
故答案为：或
1．函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
【答案】C
【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.
【详解】函数（且）的值域为，
又由指数函数的单调性可知，
当时，函数在上单调递减，值域是
所以有，即 ，解得；
当时，函数在上单调递增，值域是
所以有，即 ，解得.
综上所述，或.
故选：C.
2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
【答案】D
【分析】按照与1的大小进行分类讨论，求出函数在上的最值，从而可得的值.
【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数.
∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为，
∴，解得，符合题意.
②当时，函数在上是增函数，在上是减函数.
∵，
∴函数的最大值为，而，，
当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解；
当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
故选：D
3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可.
【详解】当时，单调递减，
所以，，即，解得（负根已舍弃）；
当时，单调递增，
所以，，即，解得（不符合条件的根已舍弃）.
综上，实数的值为或.
故选：BD
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值；
【答案】或.
【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得.
【分析】当时，函数在上单调递减，，因此；
当时，函数在上单调递增，，因此，
所以实数的值为或2.
7．（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值.
【答案】3或
【分析】令，讨论或，求出t的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，
.
∴或(舍去).
综上可得或.
8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值为，求的值.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解；
（2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值.
【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称，
，
所以为奇函数，故.
（2），
若，则单调递减，单调递增，
可得为减函数，
当时，，
解得：，符合题意；
若，则单调递增，单调递减，
可得为增函数，
当时，
解得：，符合题意，
综上所述：的值为或.
9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值；
（2）换元令，可得恒成立，结合运算求解.
【详解】（1）若，则，
令，
故原式化为，
若时，可知在上单调递增，
可知在上单调递增，可知；
若时，可知在上单调递减，
可知在上单调递减，可知；
综上所述：，
可知当时，取到最小值为1.
（2）因为，
设，
由题意得即恒成立，即恒成立，
且，则，解得，
所以实数的取值范围为.
题型二 对数运算及对数函数
易错点03：忽略对数式成立的条件而出错
典例 （24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，解得，
故答案为：.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
5．对数运算性质
如果，且，那么：
；
；
．
【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且a≠1,真数N>0，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知，求的值；
【答案】4
【分析】根据方程可得，并结合对数的定义取舍；
【详解】（1）因为，可得，解得或，
又因为且，可得且，
综上所述：；
2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围.
【详解】，解得，
故实数x的取值范围为.
故答案为：
3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解两个不等式，分别得到和，根据真包含关系，得到是的充分不必要条件.
【详解】，故，解得，
，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
1．（2025·广东·模拟预测）若，则（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.
【详解】因为，所以，
故得，化简得，
所以，故，故D正确.
故选：D.
2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质化简集合，即可由并集的定义求解.
【详解】由，则，所以，
所以，
故选：C
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数及运算性质可得，，再由基本不等式即可求解.
【详解】，所以，且，
所以，即，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：.
4．（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断.
【详解】因为在上单调递增，
由可得，即，所以，
但无法保证，故不一定成立，充分性不满足；
由可得，所以一定成立，故必要性满足；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知为定义在上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
可知为定义在上的奇函数，
且当，则在内单调递增，
可知在内单调递增，所以在上单调递增，
因为，则，
可得，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B.
6．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立，
结合二次不等式恒成立求解即可.
【详解】由题意，，且对任意，
，①
且，②
对于①，，结合，得.
若，由②知对任意，矛盾；
若，由②知对任意，即，
则，得，
综上，当时，对任意，①②同时成立.
故选：C
7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可；
【详解】因为，所以函数为减函数，
又，
所以，解得，
故答案为：.
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算法则计算可得.
【详解】由方程，可得，
，解得.
故答案为：
9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先求出函数的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
则，
即，
则.
（2）由（1）知，，
由，解得，即函数的定义域为，
由，，
即，
即，
即，
则，解得，
又，则，
即x的取值范围为.
易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域
典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数，令，即，解得或，
所以的定义域为，
又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故选：C
【易错剖析】
本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函
数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【避错攻略】
1.复合型函数单调性规律
若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
2.复合型函数单调性判断步骤
第一步：求函数的定义域
第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性
第三步：画出外函数的图象并确定其单调性
第四步：利用结论同增异减判断.
易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想.
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数，因为，解得．
所以函数的定义域为，且，．
因为函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减,
故选：A
2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围.
【详解】令，
则，∵，∴在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，在单调递减，
∴，则，
∴
故选：D
3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间.
【详解】由，解得或，
所以的定义域为.
函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.
故答案为：
1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．的定义域为 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.
【详解】函数，则，即，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
又，
所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确；
因为，又在上单调递增，
在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.
故选：B
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由函数在上单调递增，得，解得，
充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立，
必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立，
则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解．
【详解】解：由，可得，
则函数的定义域为，
又，在上单调递减，
在上单调递减，
则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为．
故选：A．
4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】在单调递减，时，, 即,
另外，时，单调递减，在单调递增，
综上所述，的取值范围是.
故选：A
5．（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由题意知在上只能是单调递增，
所以在上单调递增，所以
得.
又单调递增，所以.
综上得.
故选：C
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数，以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．在区间单调递增
D．在区间单调递减
【答案】BC
【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误；
根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误.
【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为，
为偶函数，故A错误，B正确；
当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增，
函数在单调递增，故C正确，D错误.
故选：BC.
7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可.
【详解】因为在定义域内单调递增，
由题意可得：在上单调递增，且，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数.
(1)证明：是周期函数；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由辅助角公式可得，利用三角函数周期性即可证明得出结论；
（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.
【详解】（1）由可得；
易知，
所以，
即可知是以为周期的周期函数
（2）由复合函数单调性可知求得的单调递增区间即可；
易知恒成立，可得函数的定义域为；
因此只需，解得；
即的单调递增区间为.
9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且.
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若函数的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案；
（2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，解得，
即函数的定义域为，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，
又，所以在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即得的单调递增区间为；
（2）由（1）令，则，，
当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去；
当时，函数在上单调递减，，
所以，解得，符合题意，故.
易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围
典例 （24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
又，，故，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D.
【易错剖析】
本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.
【避错攻略】
1.指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
2.对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范围变大而出错.
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD.
【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，所以，
故函数的值域为，故B正确；
对于CD，因为在R上是减函数，
在上是减函数，在上是增函数，
所以函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：ABD.
2．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
当，即时，取到最小值，且.
故答案为：
3．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解.
【详解】若，则，不满足题意；
若，则，
当，即时，的值域为，满足题意.
故答案为：.
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集.
【详解】由，即，解得或，
所以函数的定义域为集合，则值域为集合，
所以.
故选：D
2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据复合函数的单调性即可求出的值域，即得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，且，所以，
又在上单调递减，且，所以，
即的值域是.
故选：C.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 .
【答案】2
【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答.
【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是．
由于函数.
化简得到，由于，
则，当且仅当，即时取最值．
所以，则的最小值是2．
故答案为：2
5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元的思想，将复合函数转换为二次函数，结合求指数函数及对数函数的值域，来求解复合函数的值域问题．
【详解】解：令，
则，
因为，
则，且的对称轴为，
可知，
所以的值域是．
故答案为：．
6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解．
【详解】设，由得，，
所以，则，
因为在上单调递减，所以，
故答案为：．
7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域.
【详解】，，
令，设，
设，
，
因为，则，，，
即，，
所以函数在上单调递增，又也为增函数，
所以函数在单调递增，，
所以函数的值域为.
8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值域；
(3)讨论的定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）换元法求函数解析式即可；
（2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域；
（3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域.
【详解】（1）令，得，
则，
所以．
（2）若，则，
令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4．
因为为减函数，所以，
故的值域为．
（3）．
当时，，则的定义域为；
当时，，则的定义域为；
当时，由，得或，
则的定义域为．
综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为．
题型三 幂函数
易错点06：错判幂函数的性质
典例 （24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可.
【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称，
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【易错剖析】
对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..
【避错攻略】
1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
2.幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.
1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.
【详解】设幂函数，因为函数图象过点，
则，解得，
则，其定义域为，且在单调递减.
所以由，
可得，解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
【答案】（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减.
故答案为：（不唯一）
3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
【答案】B
【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B
1．（24-25高三上·上海·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数在区间上为减函数；
对于B选项，函数在区间上为减函数；
对于C选项，函数在区间上为增函数；
对于D选项，函数在区间上为减函数.
故选：C.
2．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值.
【详解】因为幂函数的图象与轴无交点，
则，解得.
故选：B.
3．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案.
【详解】由题意可知，，又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合；
当时，若，，A选项符合；
当时，，此时在和上单调递增， B选项符合；
结合选项可知，只有C.选项不可能.
故选：C.
4．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
5．（23-24高一上·浙江·期中）幂函数（）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状.
【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增．
只有B选项符合条件.
答案：B．
6．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．不等式的解集为
【答案】BD
【分析】根据幂函数的性质判断．
【详解】的定义域为，A错误；
的值域为，B正确；
的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，C错误；
不等式，则，解得，D正确.
故选：BD．
7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性求解即可.
【详解】函数的定义域为且在为减函数，
则由，
得或，或,
解得或,
所以不等式的解集为.
故答案为：.
8．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的值为 .
【答案】
【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值.
【详解】因为为幂函数，所以，所以，
当时，，在上单调递增，不符合；
当时，，在上单调递减，符合；
故答案为：.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点.
(1)确定m的值；
(2)求满足条件的实数a的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）代入点的坐标求解即可；
（2）利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为该函数的图象过点，
所以，
所以，所以或，
又，故.
（2）由（1）知，故为上的增函数，又由，
得，解得.
所以满足条件的实数a的取值范围为.
10．（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见详解
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
综上所述：，.
函数为奇函数，理由如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（2）由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
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