模块04 数列与平面向量
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.
【详解】当时，是等差数列，不是等比数列，
当既是等差数列又是等比数列，则，
故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
3．（24-25高三上·辽宁·期末）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列前和公式与等差中项得到，判断A选项；由得到，结合等差中项，得到与0的大小关系，然后由的结果判断B选项；由与的大小关系得到数列的增减性，再对进行放缩得到结论，判断C选项；由与的正负情况建立不等式组，求得的范围，判断D选项.
【详解】因为，所以A不正确；
，所以，
又因为，所以，则，所以B不正确；
由，知，即为递增数列，
所以，所以C不正确；
由，得，所以D正确.
故选：D.
4．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（ ）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【答案】A
【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【详解】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
5．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出的值，再代入向量的模长公式求解.
【详解】已知，两边同时平方可得：.
展开得到：.
因，则，上式化为：，即.
.
故选：A.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【分析】对方程中的进行赋值得，，进而转化为关于等比数列基本量的方程，求解即可.
【详解】由题意得，当时，，即
当时，，即
联立，解得，则．
故选：C.
7．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为数列是“”数列，则，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
故选：B
8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分情况求数列的通项公式，进而求和.
【详解】当为奇数时，，则，即，
所以当为奇数时，，
又，
当为偶数时，，则，即，
所以当为偶数时，，
综上所述，
所以
，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断.
【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确；
D.由向量相等的定义知D正确；
故选：BCD.
10．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据向量平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D.
【详解】对A，，，，所以，故A错误；
对B，，，当时，，即，故B正确；
对C，，由可得，即，故C正确；
对D，在的投影向量为，故D错误.
故选：BC
11．（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用已知求得，可判断A；，可得，判断BC，进而求得，判断D.
【详解】由，
当，解得，故A正确；
当，可得，
所以，所以，
即，而，故C正确，B不正确；
因，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：
13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案.
【详解】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.
故答案为：.
14．（24-25高三上·上海奉贤·期中）意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和
【答案】4048
【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解.
【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即，
因此，,
因此,
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·全国·专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N： 的任一条直径，求的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为19；最小值为 ．
【分析】（1）设 ，则，根据已知向量等式化简可得，用坐标表示，化简即可求得答案；
（2）根据向量的数量积的运算表示出，继而用P点坐标表示，利用点P在椭圆上，将的表达式转化为关于y的二次函数，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】（1）设 ，则，
由·=0，得，
即
化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
（2）因为EF为圆N： 的任一条直径，故，且，
所以，
P是椭圆上的任一点，则
又 ，
所以，
因为P点在椭圆上，故，
所以当 时，取得最大值20，故·的最大值为19；
当 时，取得最小值为（此时x=0），故·的最小值为．
16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.
(1)求数列，{}的通项公式；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.
【答案】(1)，.
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；
（2）可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；
（3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，.
由等比数列性质可得，又，，
所以，
所以，解之得或，
当时，，则，，
即与矛盾，故舍去；
当时，，则，，
所以,，满足题意；
所以，.
（2）设，
，
设，
则，，
两式相减得，
所以，即.
（3）证明：，
，
，
因为，易知随着的增大而增大，
所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：
求数列前项和常见的方法：
公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.
通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.
17．（24-25高三上·福建龙岩·期中）阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由极化恒等式知，代入即可得出答案.
（2）因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，解两个方程求出，再因为，代入即可得出答案.
【详解】（1）由极化恒等式知．
（2）设，，
因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，所以
解得m=2，n=3，
所以．
18．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，数列满足，求证：；
(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案；
（2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论；
（3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）由，得，即，解得．
若，则；
若，则由得，
两式相减得，
化简得，
所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此，
当时，也满足上式，故
（2）因为，所以，则，
因此
．
又因为，且，故，
因此，．
（3）由（1）得，则，即，
令（，），
因为对任意正整数n都有成立，所以，
因为，所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
又，且，，，
所以，因此，解得．
19．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件得到，再利用题设定义的运算，即可求出结果；
（2）任取，，得到，设的第个分量之和为，结合，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
①，
②因为，，所以.
（2）任取，，计算内积，设这些内积之和为，
则，设的第个分量之和为，
又因为，故，所以
又，
所以，即，所以.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，任取，，根据条件得到，再利用来解决问题.
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·辽宁·期末）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（ ）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
5．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知平面向量满足：，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
7．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线
D．若，，则
10．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．在上的投影向量的坐标为
11．（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
14．（24-25高三上·上海奉贤·期中）意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·全国·专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N： 的任一条直径，求的最值．
16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.
(1)求数列，{}的通项公式；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.
17．（24-25高三上·福建龙岩·期中）阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．
18．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，数列满足，求证：；
(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．
19．（23-24高三下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
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