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第一章 直角三角形的边角关系
2. 30°、45°、60°角的三角函数值
广东省深圳市翠园中学 黎安丽
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
过程与方法：
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
情感态度与价值观：
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
教学难点：三角函数值的应用
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、小结与拓展、作业布置。
第一环节 复习巩固
活动内容：如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
B （1）a、b、c三者之间的关系是 ，
∠A+∠B= 。
c a （2）sinA= ，cosA= ，
A b C
tanA= 。
sinB= ，cosB= ，tanB= 。
（3）若A=30°，则= 。
活动目的：复习巩固上一节课的内容
第二环节 活动探究
活动内容：
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗
活动目的：引出课题，激发学生的学习积极性
第三环节 讲解新课
活动内容：探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
② sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
③cos30°等于多少 tan30°呢
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
3．请学生完成下表
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢
（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑
a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。
b若对于锐角有sin=,则= .
4.例题讲解(多媒体演示),
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
活动目的：探索30°、45°、60°角的三角函数值，并能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
第四环节 知识运用
活动内容：1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
第五环节 小结与拓展
活动内容：1）直角三角形三边的关系.
2）直角三角形两锐角的关系.
3）直角三角形边与角之间的关系.
4）特殊角30°、45°、60°角的三角函数值.
5）互余两角之间的三角函数关系.
6）同角之间的三角函数关系
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想
第六环节 作业布置
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）若∠A=30°，则sinA= ，cosA= ，tanA= 。
（2）若sinA=，则∠A= ，∠B= 。
（3）若tanA=1，则∠A= 。
2．在 △ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA＝
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则∠C =
4．计算
(1)3sin60°-cos30°
(2)sin30°tan60°
(3)2sin30°-3tan45°+4cos60°
5．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°。问河宽是多少？
B
C A
四、教学反思
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力。另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
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三角函数符号最早的使用
sine（正弦）一词创始于阿拉伯人，最早使用的是雷基奥蒙坦（1436－1476年）。雷基奥蒙坦是15世纪西欧数学的领导人物，他在1464年完成了他的主要著作《论各种三角形》，这是一本纯粹的三角学，但一直到1533年才开始印行。由于他的这本著作，三角学从此脱离天文学，独立成为一门数学分科。
cosin（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔（1626年逝世）创用，最早是在1620年伦敦出版的他所著的一本《炮兵测量学》中出现的。
secant（正割）及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·芬克（1561－1646年）所创用。最早见于他的《圆几何学》一书。
cosecant（余割）一词为锐梯卡斯（1514－1567年）所创用，最早见于他1596年出版的《宫廷乐曲》一书。
1626年，阿贝尔特·格洛德（1590－1624年）最早将“sine”、“tangent”、“secant”简写为“sin”、“tan”、“sec”。1675年，英国人奥曲特最早将“cosine”、“cotangent”、“cosecant”简写为“cos”、“cot”、“csc”。但这些符号一直到1748年，经过欧拉的应用后，才逐渐通用。
解放后，由于受苏联教材的影响，我国数学书籍中曾将“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。
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可以替代的一些素材
在活动探究环节中，测量大树的高度可以用测量教室墙面的高度来代替，效果比前者好，更容易操作。
另外，例题中荡秋千的问题，教师还可以用一条绑了重物的绳子的摆动模拟实际情境。
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最原始的三角知识
三角函数的概念最早见于公元前1850年左右古老的数学文献“纸草书”中。“纸草”是一种生长在尼罗河三角洲的水生植物，形状像芦苇。那时，埃及人把“纸草”的茎逐层撕开，剖成长条，整齐地排在一起，并把它们联合成片，压平晒干，用削尖的芦苇杆蘸着颜料在纸草上书写。
“纸草书”中记载着这样的计算问题：埃及金字塔是正四棱锥形，四条侧棱与底面所成的角都相等，四个侧面与底面所成的角也都相等。在进行金字塔体积等有关计算时，用到侧棱与底面正方形对角线所成的角的余弦，即cos A，还用到了侧面与底面夹角（测定为52°）的正切，即tan B。当然，当时还没有cos、tan这些符号，但已经包含了这样的意思。这可以说是所见资料中最早的三角知识了。
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如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）a、b、c三者之间的关系是 ，
∠A+∠B= 。
（2）sinA= ，
cosA= ，
tanA= 。
sinB= ，
cosB= ，
tanB= 。
（3）若A=30°，则= 。
B
C
A
a
c
b
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：
①含30°和60°两个锐角的三角尺；
②皮尺.
请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度和BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
tan30°=
则CD=a·tan30°
你能求出30°角的三个三角函数值吗
探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
┌
┌
300
600
450
450
② sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
③cos30°等于多少 tan30°呢
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
三角函数
锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
300
450
600
例1 计算:
(1)sin300+cos450;
(2) sin2600+cos2600+tan450.
老师提示:
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.
怎样解答
解: (1)sin300+cos450
(2) sin2600+cos2600-tan450
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
老师提示:将实际问题数学化.
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
D
A
C
O
B
┌
●
2.5
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∠AOD OD=2.5m,
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
D
A
C
O
B
┌
●
2.5
(1)sin600-cos450;
(2)cos600+tan600;
怎样做？
计算:
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼间的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
精确到0.1 m，其中
≈1.41，
≈1.73
看图说话:
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系.
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角300,450,600角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
b
A
B
C
a
┌
c
┌
┌
300
600
450
450
