2025年九年级数学中考二轮复习专题相似三角形之一线三等角模型（含答案）

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2025年九年级数学中考二轮复习专题相似三角形之一线三等角模型
1．在△ABC中，点D为BC上一点，点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B
（1）如图1，若AB＝AC，求证：；
（2）如图2，若AD＝AE，求证：；
（3）在（2）的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，sin，直接写出线段AB的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC边长的动点（不与B，C重合），点E是AC上的某点并且满足∠ADE＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD的长为x，请用含x的代数式表示AE的长；
（3）当（2）中的AE最短时，求△ADE的面积．
3．如图1，在矩形ABCD中，AB＝nBC，点E为射线BC上的一个动点，过点E作EF⊥AE，连接AF，使∠EAF＝∠BAC，连接CF．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）如图2，若n，AC＝5，连接DF．
①若∠CDF＝45°，求BE；
②当E点在射线BC上运动时，则DFAE的最小值为　 　 ．
4．在△ABC中，D为BC上一点．
（1）点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B．
①如图1，若AB＝AC，求证：AB：BD＝CD：CE；
②如图2，若CA＝CB，CF∥AB交DE的延长线于点F，点H在BC的延长线上，且FC＝FH，求证：BD＝CH．
（2）如图3，若△ABD∽△FAC，且AB＝CD＝2BD，直接写出的值．
5．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，求的值（含n的式子表示）：
（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且，直接写出n的值为　 　 ．
6．在△ABC中，点P为边BC上一点，∠APD＝∠B，PD交边AC于点D．
（1）若△ABC为等边三角形．
①如图1，求证：；
②如图2，点E在边AC上，BE交AP于点F，且∠AFE＝60°，AF＝6PF，求的值；
（2）如图3，若∠APD＝45°，且∠PAD＝90°，AB＝2，CD，直接写出△APC的面积　 　 ．
7．矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC边上一点，EF⊥AE，且EF＝AE
（1）如图①，当F在CD边上时，求BE的长
（2）如图②，若DF⊥EF，求的值
（3）如图③，Q为AF的中点，直接写出CQ的最小值为 　 　
8．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长；
（3）在（2）的条件下，连接BE，求sin∠AEB的值．
9．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：AC BF＝AD BD；
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中．AB＝2，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE，则CD的长为 　 　 ．
【拓展提高】（3）如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM∥BC交AC于M，在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H；若∠FHC＝∠ABC，问：DF BC是否为定值？若是请求出，若不是，请说明理由．
10．在矩形ABCD中，M为AB边上一点，把△ADM沿DM翻折，使点A恰好落在BC边上的点N处．
（1）求证：△MBN∽△NCD；
（2）若tan∠DMN＝3，求；
（3）若DM＝AB+BM，直接写出tan∠CDN+tan∠MDN的值．
11．如图1，矩形ABCD中，AB＝nAD，点E，F分别在边AB，AD上且不与A，B，D重合，∠AEF＝∠BCE．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）如图2，若G为EF中点，GH⊥CD，D是垂足，若EF＝EC，GH＝GE，求n的值；
（3）在（2）的条件下，在线段BC上找一点Q，使得△HGQ是等腰三角形，求CQ：CE．
12．△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，E是AC边上一点，∠ADE＝45°．
（1）如图1，若∠ACB＝45°，求证：△ABD∽△DCE；
（2）①如图2，若AD⊥AC，AE＝CE，求证：CD＝5BD；
②如图3，若AD⊥AC，CE＝3BD＝3，则CD的长度为　 　 ．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上的点，且∠ADE＝∠B．
（1）如图1，若∠B＝∠C，求证：AB CE＝BD CD；
（2）若AB＝8，BC＝10，∠B＝2∠C．
①如图2，当AD＝DE时，求BD的长；
②如图3，当BD＝CE时，直接写出BD的长是　 　 ．
14．问题情境
如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AE⊥EF．则①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE（结论不需要证明）．
初步探究
（1）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE与直线CD交于点F．请证明：①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE．
结论运用
（2）在（1）的条件下，
①如图3，当AB＝2，AD平分∠EAF时，求AF的长；
②如图4，若EF与矩形外角∠DCC′的平分线交于点G，当A，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值．
15．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴．
（2）证明：如图2中，作CH∥AD交DE的延长线于H．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵AD∥CH，
∴∠H＝∠ADE，
∵∠AED＝∠CEH，
∴∠H＝∠CEH，
∴CE＝CH，
∵∠ADE＝∠B，∠ADE＝∠H，
∴∠B＝∠H，
∵∠HDC＝∠BAD，
∴△BAD∽△HDC，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，作CH∥AD交DE的延长线于H，作CG⊥EH于G．
∵∠DAC＝90°，AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠H＝∠CEH＝45°，
∴EC＝CH＝4，∠ECH＝90°，
∵CG⊥EH，
∴EH＝4，EG＝CG＝GH＝2，
∵sin∠CDE，
∴CD＝2，DG4，
∴DE＝EG＝2，DH＝6，
∴AD＝DE＝2，
∵△BAD∽△HDC，
∴，
∴，
∴AB．
2．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CEx（6﹣x），
∴AE＝5x（6﹣x）x2x+5．
（3）∵AEx2x+5（x﹣3）2，
∵0，
∴x＝3时，AE的值最小，此时BD＝CD＝3，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴AD4，
∴S△ADCAD×CD＝6，
∵此时AE，EC＝5，
∴AE：EC＝16：9，
∴S△ADE＝6．
3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△ABC∽AEF，
∴∠ACB＝∠AFE，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠ACF＝∠AEF＝90°，
∴∠ACF＝∠ABE，
∵BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF．
（2）①解：如图2中，过点F作FH⊥CD于H．
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，ABBC，
∴可以假设AB＝3k，BC＝4k，
则有（3k）2+（4k）2＝5，
∴k＝1，
∴AB＝3，BC＝4，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠ACF＝∠B＝90°，，设BE＝3m，则CF＝5m，
∵∠BCD＝∠ACF＝90°，
∴∠DCF＝∠ACB，
∵FH⊥CD，
∴∠FHC＝∠B＝90°，
∴△CHF∽△CBA，
∴，
∴，
∴CH＝4m，FH＝3m，
∵∠CDF＝45°，∠DHF＝90°，
∴∠DFH＝∠HDF＝45°，
∴DH＝FH＝3m，
∴CD＝CH+DH＝7m＝3，
∴m，
∴BE＝3m．
②如图3中，延长AC到A′，使得CA′＝CA，连接A′D，A′F，过点A′作A′H⊥DC交DC的延长线于H．
∵△ABE∽△ACF，
∴∠B＝∠ACF＝90°，，
∴AFAE，CF⊥AC，
∴A，A′关于CF对称，
∴DFAE＝DF+AF＝DF+FA′≥A′D，
∴当D，F，A′共线时，DFAE的值最小，最小值为线段DA′的长，
∵AC＝CA′，∠ACD＝∠A′CH，∠ADC＝∠H＝90°，
∴△ADC≌△A′HC（AAS），
∴AD＝A′H＝4，DC＝CH＝3，
∴DH＝6，
∴DA′2，
∴DFAE的最小值为2．
故答案为2．
4．【解答】（1）①证明：如图1．∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴．
②证明：如图2，连结AF.
∵CF∥AB，
∴∠FCE＝∠CAB，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE∽△FCE，
∴，
∴，
∵∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠FAC＝∠FDH；
∵FC＝FH，
∴∠FCH＝∠H，
∵∠FCH＝∠B＝∠CAB＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠H，
∴△ACF≌△DHF（AAS），
∴CA＝HD，
∴CB＝HD，
∴CB﹣CD＝HD﹣CD，
∴BD＝CH．
（2）如图3，作∠AFE＝∠CAB，FE交BA的延长线于点E，设BD＝a，则AB＝CD＝2a，BC＝3a．
∵△ABD∽△FAC，
∴，
∴2；
∵∠ABC＝∠FAC，∠ABC+∠CAB+∠ACB＝180°，
∴∠FAC+∠CAB+∠ACB＝180°，
∵∠FAC+∠CAB+∠FAE＝180°，
∴∠FAE＝∠ACB，
∴△EFA∽△BAC，
∴，
∴EF＝2AB＝4a，AE＝2BC＝6a，
∴BE＝2a+6a＝8a；
∵2，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ABD，
∴△BEF∽△ABD，
∴4．
5．【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵BD＝nCD，n＝1，
∴BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB＝45°，AD＝DB＝DC，
∵∠EDF＝2∠ABC＝90°，
∴∠BDA＝∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠B＝∠DAF，BD＝AD，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE＝DF．
（2）解：在射线BA上取一点T，使得DB＝DT．
∵DB＝DT，
∴∠B＝∠T，
∴∠TDC＝∠B+∠T＝2∠B，
∵∠EDF＝2∠B，
∴∠EDF＝∠TDC，
∴∠EDT＝∠FDC，
∵∠BAC+2∠B＝180°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴∠TED+∠AFD＝180°，
∵∠DFC+∠AFD＝180°，
∴∠TED＝∠DFC，
∴△TED∽△FDC，
∴n．
（3）如图3中，作ET⊥BC于T，FH⊥BC于H．
∵EF∥BC，ET∥FH，
∴四边形EFHT是平行四边形，
∵∠ETH＝90°，
∴四边形EFHT是矩形，
∴ET＝FH，EF＝TH，
∵EF：BC＝5：8，设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，
∵tanB＝1，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ETB＝∠FHC＝90°，
∴ET＝BT＝FH＝CH＝1.5k，设DT＝x，则DH＝5k﹣x，
∵∠EDF＝2∠B＝90°，∠ETD＝∠FHD＝90°，
∴∠EDT+∠FDH＝90°，∠TED+∠EDT＝90°，
∴∠TED＝∠FDH，
∴△ETD∽△DHF，
∴，
∴，
∴5kx﹣x2＝2.25k2，
解得x＝0.5k或4.5k，
∴BD＝2k或6k，
∴BD：DC＝2k：6k＝1：3或BD：DC＝6k：2k＝3：1．
∴n＝3或．
6．【解答】（1）①证明：在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB＝180°，
∵∠APD＝∠B＝∠C，
∴∠APD+∠BAP+∠APB＝180°，
∵∠APB+∠APD+∠CPD＝180°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴；
②解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
延长BE至点M，使FM＝AF，连接AM，CM．
∵∠AFE＝60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴AF＝AM，∠FAM＝60°＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAP＝∠FAM﹣∠CAP，
∴△ABF≌△ACM（SAS），
∴BF＝CM，∠AFB＝∠AMC＝120°，
∵∠AMF＝60°，
∴∠BMC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BMC＝∠AFM，
∴FP∥CM，
∴△BPF∽△BCM，
∴，
∵AF＝6PF，
∴设PF＝a，AF＝6a，则FM＝6a．设BF＝x，则CM＝x，
∴，
∴x＝3a或x＝﹣2a（舍），
∴；
（2）面积为5，
解：过D作∠DNP＝45°，
在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB＝180°，
∵∠B＝∠APD，
∴∠APD+∠BAP+∠APB＝180°，
∵∠APB+∠APD+∠DPN＝180°，
∴∠BAP＝∠DPN，
∴△ABP∽△PND，
∵∠APD＝45°，∠PAD＝90°，
∴∠ADP＝90°﹣∠APD＝45°，
∴AP＝AD，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴，
∴PN＝4，
∵∠APB＝∠PDN，
∴∠DPC+∠APD＝∠CDN+∠ADP，
∴∠DPC＝∠CDN，
∴△CDN∽△CPD，
∴，
∴CN＝1，
∴PC＝1+4＝5，
在Rt△APD中，由勾股定理可得AP，
∴AD，
∴S5，
故答案为：5．
7．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵EF＝AE，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE＝AB＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2；
（2）如图，延长EC，DF交于点P，
∵DF⊥EF，EF⊥AE，
∴AE∥DF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PE＝AD＝8，
∴S AEPD＝PE CD＝AE EF即8×6＝AE2，
∴AE2＝48，
在Rt△ABE中，BE2，
∴；
（3）如图，连接BQ，EQ，过点Q作QT⊥BQ交BC的延长线于点T，
∵△AEF是等腰直角三角形，Q是AF的中点，
∴∠AQE＝∠AQB+∠BQE＝90°，AQ＝EQ，
∵BQ⊥QT，
∴∠BQT＝∠BQE+∠EQT＝90°，
∴∠AQB＝∠EQT，
∵∠ABC＝90°，∠AQE＝90°，
∴∠BAQ+∠BEQ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BEQ+∠QET＝180°，
∴∠BAQ＝∠QET，
∴△ABQ≌△ETQ（ASA），
∴∠ABQ＝∠QTB，BQ＝TQ，
∴∠QBT＝∠QTB，
∴∠ABQ＝∠QBT，
即点Q在∠ABC的角平分线上，
∴当CQ⊥BQ时，CQ取最小值，此时点T与点C重合，
∴△BCQ为等腰直角三角形，
∴CQ＝BQ4，
故答案为4．
8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠知，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠CFE＝90°，
∴∠BAF＝∠CFE，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，DE＝EF，
由折叠知，AF＝AD＝10，
在Rt△ABF中，AB＝8，
根据勾股定理得，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
∴EF＝8﹣x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即EC的长为3；
（3）解：如图，
过点A作AH⊥BE于H，则∠AHE＝90°，
由（2）知，CE＝3，∴DE＝5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE，
∴S△ABEBE AHAB AD，
∴AH，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AE5，
在RtAHE中，sin∠AEB．
9．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠A+∠ACD＝∠CDF+∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∴AC BF＝AD BD；
（2）解：如图，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，
∵∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴，
∵DEAD，AB＝2，
∴DFAB＝4，
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∵EC，
∴EC2＝FC CD＝FC×（4+FC），
∴5＝FC×（4+FC），
∴FC＝1，
∴CD＝5，
故答案为：5；
（3）解：是，理由如下：
如图，延长FD，CE交于点G，
∵AB＝AC，DM∥BC，
∴∠ADM＝∠AMD，
又∵∠ABC＝∠FHC，
∴∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠ECB，
∴∠ABF＝∠ECB，
∴∠BDM＝∠CMD，
又∵DF∥BC，
∴∠G＝∠ECB，∠G＝∠ABF，
∴△GMC∽△BDF，
∴，
∴DF GM＝MC DB＝3×3＝9，
又∵GD∥BC，DE＝1，BE＝2，
∴△GED∽△CEB，
∴，
同理，
∴GM＝GD+DM，
∴DF，
∴DF BC＝12，
∴DF BC是定值12．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折知，∠A＝∠MND＝90°，
∴∠MNB+∠DNC＝90°，∠MNB+∠BMN＝90°，
∴∠BMN＝∠DNC，
∴△MBN∽△NCD；
（2）解：∵tan∠DMN＝3，
设AM＝MN＝a，BM＝b，AB＝CD＝a+b，AD＝DN＝BC＝3a，
∵△MBN∽△NCD，
∴，
∴CN＝3BM＝3b，BN＝BC﹣CN＝3（a﹣b），CD＝2BN，
∴a+b＝9（a﹣b），
∴，
∴；
（3）解：∵△MBN∽△NCD，
∴，
∴tan∠CDN+tan∠MDN，
设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，AM＝x，
∴DM＝AB+BM＝a+（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝DN＝b，AM＝MN＝x，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴CN，BN，
∵AM2+AD2＝DM2，
∴x2+b2＝（2a﹣x）2，
∴a，
∵△MBN∽△NCD，
∴，
∴，
∴a，
∴，
整理得：16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴，
∴tan∠CDN+tan∠MDN．
11．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠AEF＝∠BCE，
∴△AEF∽△BCE；
（2）延长HG交AE于点P，
在△AEF与△BCE中，
∴△AEF≌△BCE（AAS）
设BC＝AE＝y，
则BE＝AF＝（n﹣1）y，PEAEy
∴由题意知：GE＝GF＝GH，
∴由中位线的性质可知：GPAFy，
∴GE＝GH＝yyy，
∴Rt△PGE中，由勾股定理可知：（）2＝（）2+（）2，
解得n；
（3）由（2）知ABAD，即，
设AB＝7x，AD＝4x，
则AE＝BC＝4x，BE＝AB﹣AE＝3x，PEAE＝2x，
∴BP＝5x，
∴EF＝EC5x，
∵点G是EF中点，且GH＝GE，∠A＝90°，
∴GE＝GF＝GHx，
作GH的垂直平分线，垂足为M，交BC于点Q，
则四边形HMQC是矩形，
∴CQ＝HMGHx，
此时△HGQ是等腰三角形，
∴．
12．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAD＝∠ADC，
∴∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∵ABC＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）①证明：如图2，过点D作DF⊥BC交AB于点F，
设AE＝CE＝a，则AC＝AE+CE＝2a，
∵AD⊥AC，∠ADE＝45°，
∴AD＝AE＝a，
∴在Rt△ACD中，CDa，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF＝90°，又∠ABC＝45°，∠AFD＝∠ABC+∠BDF，
∴∠AFD＝135°，
同理∠DEC＝135°，
∴∠AFD＝∠DEC，又由（1）知∠BAD＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴，即，
∴DFa，又CDa
∴CD＝5DF，
∵∠FDB＝90°，∠ABC＝45°，
∴BD＝DF，
∴CD＝5BD；
②解：如图3，过D作DG⊥BC交AB于点G，则BD＝DG＝1，
设AD＝x，则AC＝x+3，DEx，
由①可知，△ADG∽△DCE，
∴，即，
解得，CD＝3x，
在Rt△ACD中，AD2+AC2＝CD2，即x2+（x+3）2＝（3x）2，
解得，x1，x2（舍去），
则CD＝3x，
故答案为：．
13．【解答】解：（1）在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠BDE+∠BAD＝180°，
∵∠BDE+∠CDE＝180°，
∴∠BAD＝∠CDE，
又∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴AB CE＝BD CD；
（2）①如图1，作CE的垂直平分线交DC于F，
∴EF＝FC，
∴∠EFD＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠EFD，
又∵AD＝DE，
∴△ABD≌△DFE（AAS），
∴BD＝EF＝FC，DF＝AB，
∵AB＝8，BC＝10，
∴BC＝BD+DF+FC＝BD+AB+BD，
∴10＝BD+8+BD，
∴BD＝1；
②如图2，延长CB到G，使BG＝AB＝8，
则∠G＝∠C，
∴AG＝AC，
作AH⊥BC于H，
∴GH＝HC（BG+BC）＝9，
∴BH＝GH﹣BG＝1，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得，AH，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得，AC12，
∴cos∠C，
作EC中垂线NP交BC于N，EC于P，
则设BD＝EC＝x，PCx，
∴NCx，
∴△ABD∽△DNE，
∴，
∴，
解得x，
经检验，x是方式方程的解，且满足题意，
∴BD，
故答案为．
14．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE与直线CD交于点F，
∴∠B＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF；
②∵EF⊥AE与直线CD交于点F，
∴∠AEF＝∠B＝∠C＝90°，
∵由①得∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
在矩形ABCD中，E是BC的中点，
设AB＝x、BE＝CE＝y、AE＝a，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴且∠AEF＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△ABE；
（2）解：①∵AD平分∠EAF，
∴∠FAD＝∠DAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠FAD＝∠AEB，
∵∠FDA＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△FDA，
设BE＝EC＝x，则AD＝2x，
∴，
∴∠AFE＝30°，
由（1）得△AEF∽△ABE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴∠AFE＝∠AEB＝30°，
∴AE＝2AB＝4，
∴，
∴AF＝8．
②；理由如下：
∵∠ECF＝∠GDF＝90°，∠CFE＝∠DFG，
∴△ECF∽△GDF，
设AB＝CD＝x，BE＝EC＝y，
∵CG平分∠DCC′，
∴∠DCG＝∠GCC′＝45°，
∵AG∥BC′，
∴∠DGC＝∠GCC′＝45°，
∴DG＝DC＝x，
∴．
∵由（1）得△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴xy＝x2﹣y2，
∴，
设，
∴t＝1﹣t2，
解得：，（t2＜0，舍去），
∴．
15．【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴DP＝CP1，
设EP＝AE＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得x，
∴EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣AE，
∵△EDP∽△PCH，
∴，即，
∴PH，
∵PG＝AB＝2，
∴GH＝PG﹣PH．
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴HPPMy，
在Rt△PCH中，CHy，
∴BC＝2CHy，
∴AD＝BCy，
在Rt△APD中，APy，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
∴，
∴BGy，
∴，
∴ABBG．
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