2025年九年级数学中考三轮冲刺训练正方形中的相似三角形综合问题（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练正方形中的相似三角形综合问题
1．如图，E，F是正方形ABCD边AB，BC上点，∠EDF＝45°．
（1）在图（1）中，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，求证：△ADE≌△CDG；
（2）在图（2）中，若∠BFE＝45°，求tan∠ADE值；
（3）在图（1）中，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求的值．
2．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、G．
（1）如图①，求证：EG＝CG；
（2）如图②，若F为MN的中点，求证：∠MDN＝90°；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接ND并延长，分别交CE、BC于点P、Q，求的值．
3．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
4．正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F．
（1）如图1，若CE＝1，求CF的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC＝∠EBC，设CE＝x，GB＝y，试探究y与x的函数关系．
5．在正方形ABCD，E，F分别是射线BC，CD上的点，AE⊥BF于点G．如图，若点E是BC边上的点．延长BF交AD的延长线于点H，连结CH．
（1）求证：△BEF∽△BCH；
（2）连结ED，若AB＝4，BE＝3，直接写出tan∠BHC的值 　 　 ；
（3）延长BF交射线AD于点H，连结CG，CH，若，求的值（用含k的代数式表示）．
6．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BFE＝90°．
①求证：△BDE∽△BCF；②线段DE与CF的数量关系是 　 　 ；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在DE的延长线上时，EF与BC相交于点G，
①如图2，当点G是BC的中点时，若，求线段CF的长；
②如图3，当点G不是BC的中点时，设DE的中点为H，连接AH，判断线段AH，FH的关系，并说明理由．
7．已知点E为正方形ABCD内一点，∠AED＝90°．
（1）过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F；
①如图1，求证：AF＝DE；
②如图2，连接CE，CF，若CE＝4，求四边形CDEF的面积；
（2）连接BE，CE，延长BE交AD于点G，若CE＝CB，则　 　 ．
8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝5，M为对角线BD上的一点（不与点B，D重合），N为边AB上一点，连接CM，MN，且MN＝CM．
（1）求证：MN⊥MC；
（2）若∠DCM＝30°，求的值；
（3）如图2，连接NC交BD于点G，若，求BN的长．
9．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 　 　 ；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．
（1）若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．
①如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△AEF∽△DCE；
②如图2，当tan∠FCE时，求AF的长；
（2）如图3，延长CF，DA交于点G，当GE＝DE，sin∠FCE时，求证：AE＝AF．
11．如图，E为平面内一点，以正方形ABCD的顶点A为旋转中心，将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF．
（1）如图（1），当点E在边CD上时，求证：DE＝BF；
（2）如图（2），当点E在对角线BD上时，连接EF，若AB＝4，BE＝3DE，求EF的长；
（3）如图（3），当点E在线段DF上时，连接CF，若BE＝3DE，直接写出的值．
12．如图，正方形ABCD的边长是3，E为CD上一动点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF（点D的对应点为点B），连接EF．
（1）如图1，当DE＝1时，直接写出EF的长是 　 　 ；
（2）如图2，连接BD交EF于点M，
①求证：M为EF的中点；
②直接写出的值是 　 　 ．
（3）如图3，将△ADE沿AE翻折至△AQE，点D的对应点为点Q，延长EQ交BC于点P，在点E运动过程中，FP的最小值是 　 　 ．
13．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）连接AC，则的值为 　 　 ；
（3）连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．
14．已知：正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点△FBE和△ABE关于直线BE对称，点F是点A的对称点，
（1）如图，BF，AC相交于G，求证：CG EG＝BG FG；
（2）当BF∥AC时，求的值；
（3）直线BF，BE分别与边CD，AD交于点P，Q，当DP＝2CP时，求的值．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的一点，BE＝DF，连接AE，AF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）如图，连接BF交AE于点G，连接DG，若BF⊥AE，求的值；
（3）如图，过点F作FM⊥AE于点M，若EM＝2，FM＝5，直接写出AB的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：如图1，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCG＝90°，
又∵CG＝AE，
∴△ADE≌△CDG（SAS）；
（2）解：如图2，截取AH＝AE，
∴∠AEH＝∠AHE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD＝DC＝AB＝BC，
又∵∠BFE＝45°，
∴BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF，即AE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
又∵∠EDF＝45°，
∴，
∴DE＝DF，
∴，
∴∠HED＝180°﹣∠AEH﹣∠DEF﹣∠BEF＝22.5°，
∴∠HED＝∠ADE，
∴HE＝DH，
设AE＝x，
则在Rt△AHE中，AE2+AH2＝HE2，
∴，
∴；
（3）如图3，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，连接AC分别交DE，DF于点M，N，连接EN．
由（1）可知△ADE≌△CDG，
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∵四边形ABCD是正方形，∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠GDF＝∠CDF+∠CDG＝45°，
∴∠GDF＝∠EDF，
又∵DF＝DF，
∴△DEF≌△DFG（SAS），
∴∠DFE＝∠DFC，
又∵∠MDN＝∠EAN＝45°，
∴A、E、N、D四点共圆，
∴∠DEN＝∠DAC＝45°，
∴∠DEF＝∠DCE，
∴△DEN∽△DAC，
∴△END为等腰直角三角形，
∴，
又∵∠FCN＝∠EDF＝45°，∠DMN＝∠CMF（对顶角相等），
∴△CNF∽△DNM．
∴∠DMN＝∠DFC，
∴∠DFE＝∠DMN，
又∵∠DEF＝∠DEF，
∴△DFE∽△DNM．
∴．
2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠GEC＝∠BCE，
∵四边形ABCE沿直线CE折叠，
∴∠BCE＝∠GCE，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴EG＝CG；
（2）证明：如图1，
连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠CDF＝90°，BC＝CD，
∵四边形ABCE沿直线CE折叠，
∴CM＝BC，∠CMF＝∠B＝90°，
∴∠CMF＝∠CDDF＝90°，CM＝CD，
∵CF＝CF，
∴△CMF≌△CDF（HL），
∴DF＝FM，
∴∠FDM＝∠FMD，
∵F是MN的中点，
∴FN＝FM，
∴FN＝FD，
∴∠FNF＝∠FDN，
∵∠FMD+∠FND+（∠FDN+∠FDM）＝180°，
∴2∠FDN+2∠FDM＝180°，
∴∠FDN+∠FDM＝90°，
∴∠MDN＝90°；
（3）解：如图2，连接CF，交DM于O，
设DF＝FN＝FM＝a，则CD＝CM＝BC＝MN＝2a，
设FG＝x，
∵∠GMF＝∠CDG＝90°，∠G＝∠G，
∴△GMF∽△GDC，
∴，
∴CG＝2FG＝2x，
∴DG＝x+a，CG＝2x，CD＝2a，
在Rt△CDG中，CD2+DG2＝CG2，
∴（2a）2+（x+a）2＝（2x）2，
∴x＝﹣a（舍去）或xa，
∴CG＝2xa，DG＝x+aa，
由（1）知，EG＝CGa，
∴DE＝EG﹣DGaaa，
∵CM＝CD，DF＝FM，
∴DM⊥CF，
∴∠FOM＝90°，
由（2）知，∠MDN＝90°，
∴∠MDN＝∠FOM，
∴CF∥DQ，
∵DF∥CB，
∴四边形DQCF是平行四边形，
∴CQ＝DF＝a，
∴．
3．【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．【解答】解：（1）由题意得：AB∥CE，AB＝BC＝3，
∴，
∴，
即：，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：m＝1；
（3）由（1）得：，
即：，
解得：，
∵∠GAC＝∠EBC，∠ACG＝∠BCF，
∴△ACG∽△BCF，
∴，
即：，
∴，
整理得：，
∵y≥0，
∴9﹣3x≥0，x≤3，
又x≥0，
∴0≤x≤3，
故：（0≤x≤3）．
5．【解答】．（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，且AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠BAE＝∠FBC，
∵∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴，
∴，
又∵∠FBE＝∠HBC，
∴△BEF∽△BCH；
（2）解：∵AB＝4，BE＝3，
在Rt△ABE 中，AE5，
如图2，过点C作CK⊥BH交于点K，
∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠KBC，
∵∠ABE＝∠BKC，
∴△ABE∽△BKC，
∴，
∵AB＝BC＝4，
∴BK，KC，
∵cos∠ABH＝cos∠AEB，
∴BH，
∴KH＝HB﹣BK，
∴tan∠BHC，
故答案为；
（3）分两种情况：
①点E在线段BC上，如图3，
由（1）得△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，则∠GEC＝∠HFC，
∴BE＝CF，则CE＝DF，
∵AH∥BC，
∴∠AHB＝∠HBC，
∵∠BGE＝∠HDF＝90°，
∴△BGE∽△HDF，
∴，
∴，
∵∠GEC＝∠HFC，
∴△GEC∽△CFH，
∴k，
设CE＝DF＝a，则FH＝ak，
在Rt△DHF中，DH＝a，
∵∠HDF＝∠DCB，∠DFH＝∠BFC，
∴△DFH∽△CFB，
设BC＝CD＝1，则CF＝1﹣a，
∴，
∴a＝1，
∴BE，
∴；
②点E在点C右侧，如图4，
同（1）可证得△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，
∴BE＝CF，则CE＝DF，
∵∠FDH＝∠EBG＝90°，
∴△BGE∽△HDF，
∴，
∴，
∵∠GEC＝∠HFC，
∴△GEC∽△CFH，
∴k，
设CE＝DF＝a，则FH＝ak，
在Rt△DHF中，DH＝a，
∵∠HDF＝∠DCB，∠DFH＝∠BFC，
∴△DFH∽△CFB，
设BC＝CD＝1，则CF＝1+a，
∴，
∴a，
∴BE，
∴1，
综上所述，1或1．
6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE＝90°，
∴，
∴，∠CBD＝∠EBF＝45°，
∴∠DBE＝∠CBF，
∴△BDE∽△BCF；
②∵△BDE∽△BCF，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠DCG＝∠BFG＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴，
在Rt△CDG中，由勾股定理得，
∵∠DGC＝∠BGF，
∴△DGC∽△BGF，
∴，即，
∴BF＝2，
∴EF＝BF＝2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，
∴EG＝EF﹣FG＝1，
∴DE＝DG﹣EG＝4，
∴；
②AH＝FH，AH⊥FH，理由如下：
如图所示，连接AF，AE，
∵∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴∠BFD+∠BAD＝180°
∴A、B、F、D四点共圆，
∴∠AFB＝∠ADB＝45°，∠AFD＝∠ABD＝45°，
∴AF平分∠BFE，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴AF垂直平分BE，
∴AE＝AB，
由正方形的性质可得AB＝AD，
∴AD＝AE，
∵点H为DE的中点，
∴AH⊥DE，
∴△AHF是等腰直角三角形，
∴AH＝HF，AH⊥HF．
7．【解答】（1）①证明：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵∠AED＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠1，
∵BF⊥AE，
∴∠F＝∠AED＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
②解：如图：过C作CH⊥ED．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠4+∠5＝∠ADC＝90°，DC＝AD，
∵CH⊥ED，
∴∠6+∠5＝90°，
∴∠6＝∠4，
∵∠DHC＝∠AED＝90°，
∴△CDH≌△DAE（AAS），
即△CDH≌△ABF，
∴设EH＝x，HD＝y，ED＝HC＝AF＝x+y，
∴AE＝HD＝y，EF＝AF﹣AE＝（x+y）﹣y＝x，
在Rt△EHC中，EC2＝EH2+CH2＝x2+（x+y）2＝2x2+2xy+y2＝16，
∴，
∴四边形CDEF的面积
＝8；
（2）解：如图所示：延长AE交BC于点M．
∵点E为正方形ABCD内一点，∠AED＝90°，
∴点E的轨迹为以AD的中点为圆心，的长为半径，且在正方形ABCD内，
∵CE＝CB，
∴点E的轨迹为以点C为圆心，BC的长为半径，且在正方形ABCD内，
即点E的位置如图所示：
过C作CH⊥ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠4+∠5＝∠ADC＝90°，DC＝AD，
∵CB＝CE，CB＝DC，
∴CE＝CD，
∵CH⊥ED，
∴∠6+∠5＝90°，
∴∠6＝∠4，
∵∠DHC＝∠AED＝90°，
∴△CDH≌△DAE（AAS），
∵CE＝CB，
∴，
则设AE＝x，ED＝2x，
∴，
∴，
∵∠BAM+∠DAM＝∠DAM+∠ADE＝90°，
∴∠BAM＝∠ADE，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABM中，，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△MEB，
∴，
即，
∴，
∴．
8．【解答】（1）证明：如图1.1，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MA＝MC，∠MAN＝∠MCF，
∵MN＝MC，
∴MA＝MN，
∴∠MAN＝∠MNA，
∴∠MNA＝∠MCF，
∴∠MNA+∠BNM＝∠MCF+∠BNM＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CMN＝90°，
即MN⊥MC；
（2）解：如图1，过点M作ME⊥CD于点E，MF⊥BC于点F，
∴四边形MFCE是矩形，
∴EC＝MF，
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
设DE＝ME＝a，则DMa，
∵∠DCM＝30°，
∴CE＝MFa，BMa，
∴；
（3）解：由（2）知△CMN是等腰直角三角形，
∴∠MCN＝45°，
又∵∠ABD＝45°，
∴∠MCG＝∠NBG，
又∵∠CGM＝∠BGN，
∴△BGN∽△CGM，
∴，
又∵CM＝NM，，
∴，
设BN＝x，则CM＝MN＝3x，
∴CN＝3x，
∵BC＝AB＝5，BN2+BC2＝CN2，
∴x2+52，
∴x或（舍去），
∴BN．
9．【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形．
故答案为：矩形；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C．
又∵AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG．
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG＝DF，
∴EG＝DG．
②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，
∴四边形CDHG为矩形，
∴CG＝DH．
由①知EG＝DG，
∴DH＝EH．
由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG，
∴AB﹣AF＝BC﹣CG，
即BF＝BG，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°．
又∵∠EFG＝90°，
∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝CG，
∴AE＝EH＝DH，
∴BC＝3AE，BG＝2AE．
∵BC＝n BG，
∴．
∵BC＝nBG，
∴；
（3）如图2，过点D作 DF⊥AC，垂足为F，
∵四边形CEDF 为矩形，，
∴AC＝2CB．
在Rt△ABC中，，
∴AC2+BC2＝AB2，即 （2BC）2+CB2＝20，
∴AC＝4，BC＝2，
∵四边形ACBD为垂等四边形，
∴．
①当△ACB∽△BED时，，
设 DE＝x，则 BE＝2x，
∴CE＝2+2x．
在 Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，
即 （2+2x）2+x2＝20
解得 ， （舍去），
∴，，
∴；
5，
②当△ACB∽△DEB 时，，
设 BE＝y，则 DE＝2y，
∴CE＝2+y．
∴（2+y）2+（2y）2＝20
解得 ， （舍去），
∴，，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB
，
综上所述，四边形ACBD的面积为或 ．
10．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD，
∴△AEF∽△DCE；
②解：如图2中，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴，
∵CD＝2，AE＝ED＝1，
∴GH＝2HE，
设EH＝m，GH＝2m．
∵CE，
∴CH＝m，
∵tan∠ECF，
∴，
∴m，
∴EH，GH，
∴EG，
∴AG＝EG﹣AE1，DG＝EG+DE1，
∵AF∥CD，
∴，
∴，
∴AF；
（3）证明：如图3中，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H．
设AD＝CD＝a，GE＝DE＝t，EH＝x，GH＝y，CE＝n，
∵∠H＝∠D＝90°，∠GEH＝∠CED，
∴△GEH∽△CED，
∴
∴，
∴x，y，
在Rt△CGH中，sin∠ECF，
∴CG＝3GH，CH＝2GH，
∴，
∴2y＝x+n，
∴2n，
∴2at＝t2+n2，
在Rt△CDE中，n2＝t2+a2，
∴2at＝2t2+a2，
∴at，
∵AF∥CD，
∴，
∴，
∴AFaa﹣t，
∵AE＝a﹣t，
∴AE＝AF．
解法二：设AE＝x，则DE＝EG＝1﹣x，DG＝2﹣2x，
∴S△CDE＝S△CEG，
∴（1﹣x）×1 ，
解得x＝1（负根已经舍去），
∴AE＝1，
由AF：CD＝AG：DG，可得AF：1＝（1）：，
∴AF＝1．
∴AE＝AF．
11．【解答】（1）证明：∵将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△DAE≌△BAF（SAS），
则DE＝BF．
（2）解：同（1）可证△DAE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠ABF，DE＝BF，
∵点E在对角线BD上，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠ABD＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∵AB＝AD＝4，
∴，
∵BE＝3DE，
∴，，
∴，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，EF2＝BF2+BE2＝2+18＝20，
则．
（3）解：延长FD至M，使ED＝DM，连接MC，如图，
同（1）可证△DAE≌△BAF，则BF＝DE＝DM，∠ABF＝∠ADE，
设∠ADE＝α，则∠CDE＝90°﹣α，
∴∠CDM＝180°﹣∠EDC＝90°+α，∠FBC＝∠ABC+∠ABF＝90°+α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC＝BC，
在△FBC和△MDC中，
，
∴△FBC≌△MDC（SAS），
∴FC＝MC，∠FCB＝∠MCD，
则∠FCM＝∠DCF+∠DCM＝∠DCF+∠BCF＝90°，
故△FCM为等腰直角三角形，
在四边形BCDF中，∠FBC＝90°+α，∠CDE＝90°﹣α，则∠BFD＝90°，
∴△BFE为直角三角形，
设DE＝x，
∵BE＝3DE，
∴BE＝3x，
∴，
则，
∵，
∴，
则．
12．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴AE，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，
∴∠EAF＝90°，AF＝AE，
∴EFAE2，
故答案为：2；
（2）①证明；如图1，
连接AM，
设AE与BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠ADB＝45°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠ADB＝∠AEF，
∵∠AOD＝∠EOM，
∴△AOD∽△MOE，
∴，
∵∠AOM＝∠DOE，
∴△AOM∽△DOE，
∴∠EAM＝∠BDC＝45°，
∵AF＝AE，
∴点M是EF的中点；
②解：如图2，
取CF的中点，连接MW，
∵点M是EF的中点，
∴MW∥CE，MWCE，
∴∠MWB＝∠C＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴BMMW，
∴BMCE，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，
连接AP，作△APF的外接圆O，连接OA，作OV⊥BC于V，
设⊙O的半径为r，
∵△ADE沿AE翻折至△AQE，
∴AQ＝AD＝AB，∠AQP＝∠AQE＝∠D＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠QAE，
∵AP＝AP，
∴Rt△ABP≌Rt△APQ（HL），
∴∠BAP＝∠QAP，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAP＝45°，
∵∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠BAP＝45°，
∴∠PAF＝45°，
∴∠POF＝90°，
∴OVr，PFr，
∵AO+OV≥AB，
∴rr≥3，
∴r≥6﹣3，
∴当A、O、V共线时，r最小，最小值为：6﹣3，
此时PF最小值为：（6﹣3）＝66，
故答案为：6．
13．【解答】解：（1）证明：如图所示，取AB的中点M，并连接ME，
∴AM＝BM，
∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AM＝BM＝BE＝CE，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠MAE+∠AEB＝90°，∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠MAE＝∠CEB，
∵BM＝BE，∠B＝90°
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵正方形外角的平分线为CF，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：如图所示，连接AC，
∵点M，E分别为AB，BC的中点，
∴ME为△ABC的中位线，
∴AC＝2ME，
由（1）得△AME≌△ECF，
∴ME＝CF，
∴AC＝2CF，
∴，
故答案为：；
（3）解：EH＝BE+DH，理由如下：
如图所示，延长CB至点N，使得BN＝DH，连接AN，
由正方形基本性质得：∠ABN＝∠ADH＝90°，AB＝AD，
∴△ABN≌△ADH（SAS），
∴AN＝AH，∠DAH＝∠BAN，
由（1）知，AE＝EF，且∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴∠DAH+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NAE＝∠BAN+∠BAE＝45°，即：∠NAE＝∠HAE＝45°，
在△NAE和△HAE中，
，
∴△NAE≌△HAE（SAS），
∴EN＝EH，
∵EN＝BE+BN，BN＝DH，
∴EN＝BE+DH，
∴EH＝BE+DH．
14．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，对角线AC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵△FBE和△ABE关于直线BE对称，
∴△FBE≌△ABE，
∴∠BFE＝∠BAE，
∵∠FGE＝∠CGB，
∴△FGE∽△CGB，
∴，
∴CG EG＝BG FG．
（2）解：∵△FBE和△ABE关于直线BE对称，
∴△FBE≌△ABE，
∴FB＝AB，FE＝AE，∠FBE＝∠ABE，
∵BF∥AC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴AB＝AE＝BF＝FE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
设AB＝x，则AE＝x，
∴AC，
∴CE＝AC﹣AE＝（）x，
∴．
（3）解：如图，延长CD，BQ交于点H，
设CP＝x，则DP＝2CP＝2x，
∴CD＝3x，
∵正方形ABCD，
∴BC＝CD＝AB＝3x，AB∥CD，
在Rt△BCP中，BP，
∵∠H＝∠HBA，
∴，
∵△FBE和△ABE关于直线BE对称，
∴△FBE≌△ABE，
∴∠HBA＝∠HBP，
∴∠H＝∠HBP，
∴PH＝PB，
∴HD＝PH﹣PD＝（）x，
∴，
∴．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE＝90°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：∵BF⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠GEB+∠GBE＝90°＝∠GEB+∠EAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴CF＝BE，
∴CF＝DF，即点F为CD中点，
如图所示，取AB中点H，连接DH交AG于P，
∴，
∵AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，
∴△ABE≌△DAH（SAS），
∴∠BAE＝∠ADH，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠DPA＝90°，即DH⊥AE，
∴DH∥BF；
取AG中点Q，连接HQ，则HQ是△ABG的中位线，
∴HQ∥BG，
∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，
∴AP＝GP，
∴DH垂直平分AG，
∴DA＝DG，
∴．
答：的值为1．
（3）解：连接EF，如图，
设AM＝x，则AF＝AE＝x+2，
在Rt△AFM中，AF2＝AM2+FM2，
∴（x+2）2＝x2+52，
解得，
∴，，
在Rt△EFM中，，
∵DF＝BE，CD＝BC，
∴CF＝CE，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴，
设BE＝y，则，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴，
整理得，
解得y或（舍去），
∴．
答：AB的长为．
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