2025年九年级数学中考二轮专题复习二次函数中的角度问题（含答案）

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2025年九年级数学中考二轮专题复习二次函数中的角度问题
1．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PB，则的最小值为　 　 ．
（3）连接BC，M是抛物线上的一点，且满足∠MAB＝2∠OCB，求点M的坐标．
2．如图，二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点E，且5EQ＝3BQ．
（1）请直接写出A，B两点的坐标：A 　 　 ，B 　 　 ；
（2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE．
①求此时抛物线的函数表达式；
②在抛物线的对称轴上存在点F，使∠BEF＝2∠OBE，请直接写出点F的坐标．
3．已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝60°，求点P的横坐标；
②如图2，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写出点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），顶点为D．点M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接CM，CN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M、N都在第一象限时，∠OCM+∠OCN＝180°，求m的值；
（3）设此抛物线点M与点N之间的部分（包括点M、N）的最高点与最低点的纵坐标的差为S，
①求S关于m的函数解析式；
②当S随m增大而增大时，直接写出m的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出A、B、D三点坐标．
（2）如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A，B，C三点，点A（﹣1，0），点B（4，0），点C在y轴的正半轴上，连接AC，BC，AC⊥BC，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接BD，CD，并延长CD交抛物线于点E，连接BE．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△BCE的面积；
（3）若点K在抛物线上，且满足∠BDK＝∠CBD，求点K的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线ybx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AP、BP，当S△ABP时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使∠OBM＝∠BAO？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线以及直线BC的函数解析式．
（2）若M是抛物线的顶点，求点M到直线BC的距离．
（3）已知P是抛物线上的一动点，是否存在点P，使得∠PAB＝∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点Q是线段BC上一动点，过Q点作MQ⊥x轴交抛物线于点M，当MQ最大值时，求点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD，请直接写出P点的坐标．
10．如图，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的右侧），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在抛物线上，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的横坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）点P是直线AB下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交AB于点E，过点P作AB的垂线，垂足为点F，求EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠OBQ＝∠BAO？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，4），点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（﹣2，6）时，求四边形AOCP的面积；
（3）若∠PBA＝45°，求点P的坐标．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB＝∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图所示，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，0）是x轴正半轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连结PB，BC．
①当点E在线段OA上时，若△PBD与△ABC相似，求点E的坐标；
②若∠PBD+∠CBO＝45°，求出m的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
将点A，点C的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）P为y轴上的一个动点，如图1，过P作PH⊥AC于H，过B作BH′⊥AC于H′，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴，
∴，
当B、P、H共线且BH⊥AC时取等号，此时H与H′重合，最小值为BH′的长，
∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A，B两点，
当y＝0时，得：y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），
∴OB＝1，
在Rt△ABH′中，AB＝OA+OB＝4，∠OAC＝45°，∠AH′B＝90°，
∴，
即的最小值为，
故答案为：2；
（3）在OC上截取CD＝BD，连接BD，如图2，
则∠OCB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠OCB+∠CBD＝2∠OCB＝∠MAB，
设CD＝BD＝t，则OD＝OC﹣CD＝3﹣t，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+OB2＝BD2，
∴（3﹣t）2+12＝t2，
解得，
∴，
∴，
设M（m，﹣m2﹣2m+3），
当点M在x轴的上方时，如图2，过M作MN⊥x轴于点N，
则MN＝﹣m2﹣2m+3，AN＝m+3，
由得，
解得或m＝﹣3（舍去），
∴，
∴；
当点M在x轴的下方时，如图3，过M作MN⊥x轴于点N，
则MN＝m2+2m﹣3，AN＝m+3，
由得，
解得或m＝﹣3，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
2．【解答】解：（1）y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c，
∴抛物线对称轴是：直线x＝3，
∴OD＝3，
如图1所示，
∵DQ∥y轴，则OD：BD＝EQ：BQ，
∵5EQ＝3BQ，
∴EQ：BQ＝3：5＝OD：BD，
则BD＝5，
∴B（8，0），
由对称性得：A（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0），（8，0）；
（2）①如图1，
将点A（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2﹣6ax+c中得：4a+12a+c＝0，
∴c＝﹣16a，
∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c，
∴P（3，﹣9a+c），
∵顶点P与点Q关于x轴对称，
∴Q（3，9a﹣c），即Q（3，25a），
∵S△QCE．
∴，
∴EC，
由点B、Q的坐标得，直线BQ的表达式为：y＝﹣5ax+40a，
∴E（0，40a），
∵C（0，c），即（0，﹣16a），
∴﹣16a﹣40a，
解得：a＝﹣0.1，
∴c＝﹣16×（﹣0.1），
∴此时抛物线的函数表达式为：yx2x；
②如图2，当点F在BE的下方时，连接PB，
∵顶点P与点Q关于x轴对称，
∴∠PBD＝∠QBD，
∵∠BEF＝2∠OBE，
∴∠BEF＝∠PBQ，
∴PB∥EF，
由①知：a＝﹣0.1
∴P（3，2.5），
同理得：PB的解析式为：yx+4，
∴设EF的解析式为：yx+n，
∵E（0，﹣4），
∴n＝﹣4，
则F（3，）；
②如图：
当点F在BE的上方时，连接DE，
设F（3，m），
∵D（3，0），
∴BD＝5，
∵D（3，0）E（0，﹣4），OD＝3，OE＝4，
由勾股定理得ED＝5，
∴DE＝BD，
∴∠DEB＝∠OBE，
∵∠FEB＝2∠OBE，
∴∠FEB＝2∠DEB，
∴EQ：EF＝DQ：FD，
∵BE4，
又∵5EQ＝3BQ，
∴EQBQ，
∴EQ+BQ＝BE，
∴EQ，
∵DQ＝2.5，
FD＝m，
则EQ：EF＝DQ：FD，
∴EFm，
过F作FD⊥y轴，垂足为N，
在直角三角形中，EF，
∴m，
解得m或（舍去），
综上所述，F（3，）或F（3，）．
3．【解答】解：（1）已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）①PD⊥x轴，垂足为D，如图1，设直线PC交x轴于E，
∴∠OCE＝∠CPD＝60°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝30°，
∴CE＝2OC＝6，
∴，
∴点，
∴直线PC的解析式为，
由得：，x2＝0（舍去），
即点P的横坐标为；
②点P的坐标为或．理由如下：
如图2，
令，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（﹣4，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，
分以下两种情况：
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴ PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴m1＝0（舍去），，
∴；
当点P在第二象限时，
同理可得：，
解得：m3＝0（舍去），，
∴；
综上所述，点P的坐标为或．
4．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过M作ME⊥OC于E，过N作NF⊥OC于F，则∠MEC＝∠NFC＝90°，
∵点M、N都在第一象限，M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m，
∴ME＝m，OE＝﹣m2+2m+3，NF＝2m，OF＝﹣4m2+4m+3，
∴EF＝3m2﹣2m，
∵∠OCM+∠OCN＝180°，∠OCM+∠ECM＝180°，
∴∠OCN＝∠ECM，
又∵∠MEC＝∠NFC＝90°，
∴△MEC∽△NFC，
∴，
∴，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∵OC＝OF+CF，
∴，
解得，
∴m的值为；
（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点为D（1，4），
∵点M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），
∴M（m，﹣m2+2m+3），N（2m，﹣4m2+4m+3），
如图2，
当点M、N都在顶点D左侧时，，M为最低点，N为最高点，
则S＝﹣4m2+4m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝﹣3m2+2m；
如图3，
当点M在点D左侧，N在顶点D右侧时，，M为最低点，D为最高点，
则S＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1；
如图4，
当点M在点D左侧，N在顶点D右侧时，，N为最低点，D为最高点，
则S＝4﹣（﹣4m2+4m+3）＝4m2﹣4m+1；
如图5，
当点M、N都在顶点D右侧时，m＞1，N为最低点，M为最高点，
则S＝﹣m2+2m+3﹣（﹣4m2+4m+3）＝3m2﹣2m；
综上所述，；
②m的取值范围为或；理由如下：
当S＝﹣3m2+2m时，抛物线的对称轴为直线，
∵﹣3＜0，
∴当时，S随m增大而增大，
又∵，
∴；
当S＝m2﹣2m+1时，抛物线的对称轴为直线m＝1，
∵1＞0，
∴当m＞1时，S随m增大而增大，
∵，
∴此种情况不存在；
当S＝4m2﹣4m+1时，抛物线的对称轴为直线，
∵4＞0，
∴当时，S随m增大而增大，
∵，
∴；
当S＝3m2﹣2m时，抛物线的对称轴为直线，
∵3＞0，
∴当，S随m增大而增大，
∵m＞1，
∴m＞1；
综上，当S随m增大而增大时，m的取值范围为或．
5．【解答】解：（1）点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，﹣4）；理由如下：
∵在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
当x＝0时，得y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）设ME⊥x轴于点E，设M（m，m2﹣2m﹣3），如图1，
设直线BC的解析式为y＝kBCx+bBC，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，
∴N（m，m﹣3），
∴，
∵﹣1＜0，
∴当时，线段MN的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）设直线BD的解析式为y＝kBDx+bBD，将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣6，
①如图2，
∵∠PCB＝∠CBD，
∴PC∥BD，
设直线PC的解析式为y＝2x+bPC，将点C的坐标代入得：bPC＝﹣3，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为（4，5）；
②如图3，设CP交BD于点G，作射线OG交BC于点F，
∵∠PCB＝∠CBD，
∴GC＝GB，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，
∴OG垂直平分BC，
∴点F是BC的中点，
∴点F的坐标是，即，
设直线OG的解析式为y＝kOGx，过点，
∴，
∴kOG＝﹣1，
∴直线OG的解析式为y＝﹣x，
∵直线OG：y＝﹣x与直线BD：y＝2x﹣6交于点G，
联立，
解得：，
∴G（2，﹣2），
设直线CG的解析式为y＝kCGx+bCG，将点C，点G的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线CG的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为（4，5）或．
6．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
故∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠CBO＝90°，
∴∠ACO＝∠OCB，
∴tan∠ACO＝tan∠OCB，即OA：CO＝OC：BO，
则OC2＝AO OB＝4，则CO＝2，即c＝2，
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，则a，
故抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，则点D（，），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+2，
联立上式和抛物线的表达式得：x+2x2x+2，
解得：x＝0（舍去）或，则点E（，），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，
作EH∥y轴交CB于点H，则点H（，），则DH，
则△BCE的面积EH×OB；
（3）当点K在BC的左侧时，
设DK交BC于点H，
∵∠BDK＝∠CBD，则HD＝HB，
设点H（m，m+2），
则（m）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+2）2，
解得：x，则点H（，），
由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝﹣2（x），
联立上式和抛物线的表达式得：﹣2（x）x2x+2，
解得：x（不合题意的值已舍去），
即点K（，）；
当点K在BC的右侧时，
∵∠BDK＝∠CBD，则DK∥BC，
则直线DK的表达式为：y（x），
联立上式和抛物线的表达式得：（x）x2x+2，
解得：x（不合题意的值已舍去），
则点K（，），
综上，点K的坐标为：（，）或（，）．
7．【解答】解：（1）∵直线yx﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得：x＝4，
∴A（0，﹣3），B（4，0），
把A（0，﹣3），B（4，0）代入ybx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的表达式为yx﹣3；
（2）设P（t，t2t﹣3），过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，如图，
则E（t，t﹣3），
∴PEt2t﹣3﹣（t﹣3）t2﹣3t，
∵A（0，﹣3），B（4，0），
∴S△AOBOA×OB3×4＝6，
S△ABP＝S△APE﹣S△BPE（t2﹣3t）×[t﹣（t﹣4）]t2﹣6t，
∵S△ABP，
∴36S△ABP＝13S△AOB，
即36（t2﹣6t）＝13×6，
解得：t1（舍去），t2，
此时yP（）23，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线BM交y轴于点N，
∵∠AOB＝∠BON＝90°，∠OBM＝∠BAO，
∴△ABO∽△BNO，
∴，即，
∴ON，
∴N1（0，），N2（0，），
∴直线BM的解析式为yx或yx，
联立得或，
解得：，（舍去），，
∴点M的坐标为（，）或（，）．
8．【解答】解：（1）将点A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得
解得
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
令x＝0，解得y＝3，
∴点C（0，3）．
设直线BC的函数解析式为y＝kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0＝3k+3，则k＝﹣1，
则BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点M（2，﹣1），
作MH∥y轴交CB于点H，作MT⊥BC于点T，
当x＝2时，y＝﹣x+3＝1，
则点H（2，1），
则∠MHT＝∠OCB＝45°，
则MH＝2，
则MT＝MH cos45°；
（3）存在，理由：
作AN⊥CB于点N，
在△ABC中，OB＝OC，则∠CBA＝45°，
由点A、B、C的坐标得，BC＝3，AB＝2，
则NBABAN，则CN＝BC﹣BN＝2，
则tan∠ACB，
∵∠PAB＝∠ACB，则tan∠PAB＝tan∠ACB，
则PA的表达式为：y＝±（x﹣1），
联立上式和抛物线的表达式得：（x﹣1）＝x2﹣4x+3或（x﹣1）＝x2﹣4x+3，
解得：x或，
则点P（，）或（，）．
9．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
则点D（1，4）；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点M（x，﹣x2+2x+3），则点Q（x，﹣x+3），
则MQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣（x）2，
当MQ取得最大值时，x，则点M（，）；
（3）当点P在BC左侧时，
∵∠PCB＝∠CBD，则PC∥BD，
由B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝﹣2（x﹣3），
则直线PC的表达式为：y＝﹣2x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣2x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝0（舍去）或4，即点P（4，﹣5），
当点P在BC的右侧时，
同理可得，直线PC的表达式为：yx+3，
联立上式和抛物线的表达式得：x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝0（舍去）或2.5，即点P（，），
综上，P（4，﹣5）或（，）．
10．【解答】解：（1）由已知得25+b×5＝0，b，
∴yx2x．
（2）作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F．
当x＝1时，
m121＝2，
点B坐标为（1，2）．
设AB解析式为：y＝kx+b，
，
解得．
∴y．
∵，
∴．
∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
∴CE∥DF，
∴，
设E点坐标为（m，0），
∴点C坐标为（m，），
点F坐标为（m，0），
点D坐标为（m，）．
∵点D在抛物线上，
∴（m）2m，
∴9m2﹣30m+25＝0，
m1＝m2．
∴点D坐标为（3，3）．
（3）作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N，
∵∠OPA＝45°，
∴∠AMO＝90°，
∵OM＝AM，OA＝5，
又∵MN⊥OA，
∴ON＝AN＝MN＝2.5，
∴点M坐标为（2.5，﹣2.5），
∴AM＝OM，
∴PM，
设点P坐标为（x，y），
∴（x﹣2.5）2+（y+2，5）2＝（）2，
∴x2﹣5x+y2+5y＝0，
∵yx2x．
∴y2+3y＝0，
∴y1＝0，（不合题意舍去），y2＝﹣3．
∴y＝﹣3，
∴﹣3x2x，
∴x1＝﹣1，x2＝6，
∴点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）．
11．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣4），OB＝4，
∵OA＝OB，
∴OA＝4，
∴A（4，0），
将点A的坐标（4，0）代入抛物线中得：
4b﹣4＝0，
∴b，
∴抛物线的表达式为：yx2x﹣4；
（2）当y＝0时，x2x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
分两种情况：
①如图1，在OA上取一点C'，使OC＝OC'＝3，作射线BC'交抛物线于点P，
∴∠CBO＝∠C'BO，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠PBA+∠C'BO＝∠CBO+∠PBA＝45°，点P满足条件，
∵点B的坐标为（0，﹣4），
∴设BP的解析式为：y＝kx﹣4，
把点C'的坐标为（3，0）代入得：3k﹣4＝0，
∴k，
∴BP的解析式为：yx﹣4，
∴x2x﹣4x﹣4，
解得：x1＝0（舍），x2＝5，
∴点P的横坐标为5；
②如图2，当BC⊥BP时，∠CBO+∠PBA＝90°﹣45°＝45°，点P满足条件，
过点P作PM⊥OB于M，
∴∠PBM+∠CBO＝∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠PBM＝∠BCO，
∴tan∠PBM＝tan∠BCO，
∴，
设点P的坐标为（t，t2t﹣4），
∴，
∴t1＝0（舍），t2，
∴点P的横坐标为；
综上，点P的横坐标为5或．
12．【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B．
由知，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
∴OA＝3，
当y＝0时，，
整理得：（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴．
（2）设AB解析式为y＝kx+b，把A，B代入得：
，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
又∵PE∥y轴，
∴∠PEF＝∠OAB，
又∵PF⊥AB1
∴∠PFE＝∠BOA＝90°，
∴△PEF∽△BAO，
∴，
在Rt△AOB中，
，
∴，
∴，
∴当m＝2时，EF有最大值为，
∴P的纵坐标：，
∴．
（3）设，过Q点作QP⊥x轴，垂足为P，
∵在Rt△AOB中，，
而∠OAB＝∠OBQ，
∴，
在Rt△BPQ中，，
∴，
①当Q点在x轴下方时，，
解得：，a2＝4（不合题意，舍去），
∴，
∴，
②当Q点在x轴上方时，，
解得：，a2＝4（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴或．
13．【解答】解：（1）将点B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+4，
得﹣1+b+4＝0，
解得b＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图所示，过点P作PT⊥AB于T，
∵P（﹣2，6），A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝4，OT＝2，OC＝4 PT＝6，
∴AT＝2，
∴S四边形AOCP＝S△APT+S梯形OCPT
＝16；
（3）如图所示，取H1（﹣4，5），连接AH1，BH1，
∵A（﹣4，0）、B（1，0），H1（﹣4，5），
∴AH1＝5，AB＝5，AH1⊥AB，
∴∠ABH1＝45°，
∴线段BH1与抛物线的交点P1即为所求；
设直线BH1的解析式为y＝kx+b1，
∴，
∴，
∴直线BH1的解析式为y＝﹣x+1，
联立，解得或（舍去），
∴P1（﹣3，4）；
如图所示，取H2（﹣4，﹣5），连接AH2，BH2，
同理可得∠ABH2＝45°，
∴直线BH2与抛物线的交点P2即为所求；
同理可知直线BH2的解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得或（舍去），
∴P2（﹣5，﹣6）；
综上所述，符合题意的点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣5，﹣6）．
14．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点M的横坐标为t，
∵点M在BC下方的二次函数图象上，
∴点M的纵坐标为：t2﹣2t﹣3，
∵MH⊥x轴交BC于点N，
∴点N的横坐标为t，
∴点N的纵坐标为：t﹣3，
∴，
∴当时，MN为最大，
当时，，
∴点M的坐标为．
（3）存在，点Q的坐标为或．
理由如下：
设直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，
将点B（3，0），M（3/2，﹣15/4）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：，
当∠QCB＝∠CBM时，有以下两种情况：
①当点Q在直线BC上方时，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴CQ∥BM，
设直线CQ的解析式为：y＝k3x+b3，
则，b3＝﹣3，
∴直线CQ的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为；
②当点Q在直线BC的下方时，
设CQ与BM交于点R，连接OR，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴RB＝RC，
又点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴OR为BC的垂直平分线，且为∠BOC的平分线，
由（2）知：点N的横坐标为，
∴，
∴，
∴H为OB的中点，
∵NH∥OC，
∴点N为BC的中点，
∴OR经过点N，
∵OR为∠BOC的平分线，
∴直线OR的解析式为：y＝﹣x，
解方程组，得：，
∴点R的坐标为，
设直线CR的解析式为：y＝k4x+b4，
将C（0，﹣3），代入y＝k4x+b4，
得：，解得：，
∴直线CR的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为．
综上所述：点Q的坐标为或．
15．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，将点A的坐标代入得：
﹣3+n＝0，
解得：n＝3，
故y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，把点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式的为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴C（﹣1，0），
又∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，AC＝4，，
又∵PE⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠OAB＝∠ADE＝45°，
∴∠PDB＝∠BAC＝45°，
∵E（m，0），
∴P（m，﹣m2+2m+3），D（m，﹣m+3），
∴，
当△PDB∽△BAC，即时，，
解得：m＝0（舍去）或，
故；
当△PDB∽△CAB，即时，，
解得：m＝0（舍去）或，
故，
综上所述，或．
②∵点C（﹣1，0），B（0，3），
设直线CB的解析式为y＝kx+3，
则0＝﹣k+3，
解得：k＝3，
∴直线CB的解析式为y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴ON＝9，
∴N（9，0），
设直线BP的解析式为：y＝ax+3，则0＝9a+3，
解得：，
∴直线BP的解析式为：，
∴，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如图2：
∵∠OBA＝45°，∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠CBO＝∠FBO，
∵OB＝OB，∠COB＝∠BOF，
∴△BOF≌△BOC（ASA），
∴OC＝OF＝1，
∴F（1，0），
设直线BP的解析式为：y＝k′x+3，则0＝k′+3，
解得：k′＝﹣3，
∴直线BP的解析式为y＝﹣3x+3，
∴﹣3m+3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝5，m＝0（舍去）；
综上所述，m的值为：或5．
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