2025年九年级中考数学二轮专题复习二次函数图象与系数的关系练习（含答案）

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2025年九年级中考数学二轮专题复习二次函数图象与系数的关系练习
一、选择题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＜0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②；③4a+2b+c＞0；④a+b＜m（am+b），（m≠﹣1的实数）．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论：
①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（　　）
A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤
二、填空题
4．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，有以下结论：
①4ac﹣b2＞0；
②若是图象上的两点，则y1＞y2；
③a+b+c＜0；
④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；
⑤3a+c＜0．
其中结论正确的是 　 　 ．
5．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③抛物线上两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若有x1＜x2且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；④直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x3与x4，则x3+x4+x3 x4＝﹣5．其中结论正确的是 　 　 ．
三、解答题
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝2时，
①求该抛物线的对称轴；
②点A（﹣1，m）和B（3，n）是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系；
（2）如果点M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，且对于x1＝3a，5≤x2≤6，都有y1＜y2，求a的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝　 　 ；
（2）当a＝1，y1＝y2时，求b的值；
（3）若对于﹣2＜b＜﹣1，都有y1＜y2，求a的取值范围．
8．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若二次函数图象过点（﹣1，s），其中a，b，c都是整数，且s为偶数，求证：a+b+c是偶数．
（2）若二次函数图象过点（﹣2，3），（2，7），求abc的取值范围．
（3）若二次函数图象过点（m，﹣m），（n，﹣n），且m≠n，，设点P（x0，y0）是抛物线的顶点，求证；．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3）．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），求该抛物线的函数表达式．
（3）当1＜x＜3时，对于每一个x的值，y＜x始终成立，试求a的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2．
11．已知二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．设该函数图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝0，求t的值．
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
（3）若t＞0，在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，求m的值．
12．已知二次函数y＝x2﹣2ax+1．
（1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）当﹣2≤x≤a﹣2时，二次函数的最小值为﹣4，求此时二次函数的解析式；
（3）已知点A（4，1），B（3，2），线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点，直接写出a的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝4a，﹣4≤x2≤﹣3，都有y1＜y2，求a的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）．
（1）若c＝2，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式．
（2）当c＝b﹣2时，判断函数y＝x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由．
（3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值．
15．已知二次函数y＝x2﹣2ax+1．
（1）用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤a﹣2时，二次函数的最小值是﹣4，求此时二次函数的解析式；
（3）已知点A（5，0），B（4，1），线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点，直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：根据对称轴为x＝1，即1，2a+b＝0，①正确；
x＝﹣2时，y＜0，4a﹣2b+c＜0，②正确；
开口向下，a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，ac＜0，③正确；
由图象可知x＜﹣1或x＞3中，y＜0，④不正确．
故选：C．
2．【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴abc2＝a 2a （﹣3a）2＝18a4＞0，故①正确；
∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即2a＜2，
∴b＜2，故②正确；
由图象得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x1，
由图象得，a＞0，当x＝﹣1时，y取最小值，y＝a﹣b+c，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，
∴a﹣b＜m（am+b），
故④错误．
故选：B．
3．【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝2与x＝0的函数值相等，即：4a+2b+c＝c＞0，故②正确；
∵点（﹣1，0）关于x＝1的对称点为（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；故③正确；
∵图象过点（﹣1，0），b＝﹣2a，
∴，
∴2c﹣3b＝0；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当x＝1时，函数值最大，
即：a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b）；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
二、填空题
4．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故结论①不正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵（，y1），（，y2）是图象上的两点，
∴y1＞y2，故结论②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，且对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时a+b+c＜0，故结论③正确．
∵y＝ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，故结论④正确．
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，故3a+c＜0，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
5．【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，经过（1，0），
∴1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵抛物线上两点A（x1，y1）与B（x2，y2），x1＜x2且x1+x2＜﹣2，
∴1，
∵点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2，故③正确；
令2x+2＝ax2+bx+c，则整理得ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x3，x4，
∴x3+x4，x3x4
∴x3+x4+x3 x45，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题
6．【解答】解：（1）①当a＝2时，y＝ax2﹣2a2x＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2；
②y＝2x2﹣8x的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵A（﹣1，m）关于直线x＝2的对称点为（5，m），且5＞3，
∴m＞n；
（2）∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，x1＝5a，
∴y1﹣y2＝（2a2x1）﹣（2a2x2）＝a（3a﹣x2）（a+x2），
又∵y1＜y2，
∴a（3a﹣x2）（a+x2）＜0，
当a＞0时，
又∵5≤x2≤6，
∴a+x2＞0，
∴3a﹣x2＜0，
∴a，
又∵5≤x2≤6，
∴a，
∴0＜a，
当a＜0时，
又∵5≤x2≤6，
∴3a﹣x2＜0，
∴a+x2＜0，
∴a＜﹣x2，
又∵5≤x2≤6，
∴a＜﹣6，
综上所述，a的取值范围是0＜a或a＜﹣6．
7．【解答】解：（1）由题意得，y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
故答案为：1．
（2）由题意，∵当a＝1，y1＝y2时，
∴对称轴是直线x1．
∴b＝0．
（3）由题意，∵y＝a（x﹣1）2﹣a，
∴y1＝a3﹣a，y2＝a（b﹣1）2﹣a．
∴y1﹣y2＝a3﹣a﹣a（b﹣1）2+a
＝a[a2﹣（b﹣1）2]
＝a（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
①当a＜0时，
∵﹣2＜b＜﹣1，
∴﹣3＜b﹣1＜﹣2．
∴a+b﹣1＜0．
又∵y1﹣y2＝a（a+b﹣1）（a﹣b+1）＜0，
∴a﹣b+1＜0．
∴a＜b﹣1．
又∵﹣3＜b﹣1＜﹣2，
∴a≤﹣3．
②当a＞0时，
∵﹣3＜b﹣1＜﹣2，
∴2＜﹣（b﹣1）＜3．
∴a﹣b+1＞0．
又∵y1﹣y2＝a（a+b﹣1）（a﹣b+1）＜0，
∴a+b﹣1＜0．
∴a＜﹣（b﹣1）．
又∵2＜﹣（b﹣1）＜3，
∴0＜a≤2．
综上，a≤﹣3或0＜a≤2．
8．【解答】（1）证明：由条件可得s＝a﹣b+c，
∴a+b+c＝s+2b，
∵s为偶数，2b为偶数，
∴a+b+c为偶数；
（2）解：由条件可得，
两式相减可得4＝4b，解得b＝1，
两式相加可得10＝8a+2c，则c＝5﹣4a，
∴abc＝a×1×（5﹣4a）＝﹣4a2+5a，
当时，abc取最大值，为，
∴；
（3）证明：点（m，﹣m），（n，﹣n）在直线y＝﹣x上，
若二次函数图象过点（m，﹣m），（n，﹣n），
则直线y＝﹣x与抛物线有两个交点，
列方程﹣x＝ax2+bx+c，
即ax2+（b+1）x+c＝0，
∴，
∵，
∴，
即，
，
，
∵，
∴．
9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3），
∴，
②﹣①得3a﹣3b＝﹣3，即a﹣b＝﹣1，
∴b＝a+1；
（2）∵该抛物线关于y轴对称后的图象经过点（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣3，0），（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1），
代入（﹣2，﹣3），得﹣3＝﹣3a，
解得a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1），即该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（﹣2，﹣3），
∴，
解得b＝a+1，c＝﹣2a﹣1，
∴y＝ax2+（a+1）x+（﹣2a﹣1），
在直线y＝x上，x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝3，
∴x＝3时，y≤3，
∴9a+3a+3﹣2a﹣1≤3，
解得a，
∴a．
10．【解答】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2，
∵当x＝1时，y＝1，
∴1＝2+b+2，
∴b＝﹣3，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a）2，
∴a2+b2．
11．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），m＝0，
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴y＝﹣2x2+2x，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴t；
（2）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），点B（2，n）．且mn＜0，
∴m＜0，n＞0或m＜0，n＞0，
∴或，
解得2＜b＜4；
（3）∵二次函数y＝﹣2x2+bx的图象经过点A（1，m），
∴m＝﹣2+b，
∴b＝m+2，
∴y＝﹣2x2+（m+2）x，
∵t＞0，
∴，
∴m＞﹣2，
∵在0≤x≤4范围内，该函数有最大值16，
∴当t≥4时，此时m≥14，则x＝4时，有最大值，
∴﹣2×42+4（m+2）＝16，解得m＝10（舍），
当0＜t＜4时，则x时，有最大值，
∴﹣2×（）2+（m+2） 16，解得m，
∵m＞﹣2，
∴m＝8，
综上，m的值为8．
12．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+1，
∴对称轴为直线xa，
当x＝a时，y＝﹣a2+1，
∴顶点坐标为 （a，﹣a2+1）；
（2）∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线x＝a，
∴﹣2≤x≤a﹣2在对称轴的左侧，
∴当x＝a﹣2时，y最小为﹣4，
∴（a﹣2）2﹣2a（a﹣2）+1＝﹣4，
∴a＝±3，
又∵a﹣2＞﹣2，
∴a＝3
∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+1；
（3）把A（4，1）代入y＝x2﹣2ax+1得，1＝16﹣8a+1，
解得a＝2，
把B（3，2）代入y＝x2﹣2ax+1得，2＝9﹣6a+1，
解得a，
∴线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点时，a的取值范围是a≤2．
13．【解答】解：（1）将抛物线配方得y＝a（x﹣a）2﹣a3，
∴抛物线对称轴为直线．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝a，
∴①若a＞0，则x≥a时，y随x的增大而增大；当x＜a时，y随x的增大而减小．
设抛物线上的点M（x1，y1）关于直线x＝a的对称点为M′（﹣2a，y1），
∵对于x1＝4a，﹣4≤x2≤﹣3，都有y1＜y2，
∴x2＜﹣2a，
∵﹣4≤x2≤﹣3，
∴﹣3＜﹣2a，
∴，
∵a＞0，
∴；
②当a＜0时，当x≥a时，y随x的增大而减小；当x＜a时，y随x的增大而增大．
∵对于x1＝4a，﹣4≤x2≤﹣3，都有y1＜y2，
∴，
∴a＜﹣1．
综上，或a＜﹣1．
14．【解答】解：（1）把c＝2代入得，y＝x2+bx+2，
∵当x＝﹣1时，y＝4，
∴4＝1﹣b+2，
∴b＝﹣1，
∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2；
（2）∵c＝b﹣2，
∴Δ＝b2﹣4c
＝b2﹣4（b﹣2）
＝b2﹣4b+8＝（b﹣2）2+4＞0，
∴函数y＝x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）∵的对称轴为直线：，
当时，
∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8，
函数最小值为y＝m2+m+2，
∴8﹣m2﹣m﹣2＝5，即m2+m﹣1＝0，
解得：（舍去），
∴；
当时，
∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8，
函数最小值为，
∴，不符合题意；
当m≤﹣3时，
∴函数最大值为：y＝m2+m+2，
函数最小值为，
∴，即，
∴（两个都不符合题意，舍去）；
∴m的值为．
15．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2ax+1，
∴对称轴为直线xa，
当x＝a时，y＝﹣a2+1，
∴顶点坐标为 （a，﹣a2+1）；
（2）∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线x＝a，
∴﹣2≤x≤a﹣2在对称轴的左侧，
∴当x＝a﹣2时，y最小为﹣4，
∴（a﹣2）2﹣2a（a﹣2）+1＝﹣4，
∴a＝±3，
又∵a﹣2＞﹣2，
∴a＝3
∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+1；
（3）把B（4，1）代入y＝x2﹣2ax+1得，1＝16﹣8a+1，
解得a＝2，
把A（5，0）代入y＝x2﹣2ax+1得，0＝25﹣10a+1，
解得a，
∴线段AB与二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象有公共点时，a的取值范围是．
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