2025年九年级数学中考二轮复习专题二次函数中含参数分类讨论最值问题（含答案）

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2025年九年级数学中考二轮复习专题二次函数中含参数分类讨论最值问题
1．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“最值差函数”．
（1）函数①；②y＝x+1；③y＝x2．其中函数　 　 是在1≤x≤2上的“最值差函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）．
①当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值．
2．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）．
（1）求b，c的值．
（2）求当﹣5≤x≤﹣3时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值．
（3）现将该二次函数y＝x2+bx+c的图象沿着x轴的正方向平移k（k＞0）个单位长度得到新的二次函数图象，当2≤x≤4时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
3．已知二次函数y＝x2+2tx+t﹣3（t为常数）的图象经过y＝﹣x2+2x的图象顶点．
（1）求t的值．
（2）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值．
（3）若二次函数y＝x2+2tx+t﹣3在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，求m的取值范围．
4．已知二次函数y＝2x2+bx+c，经过点A（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知点O（0，0），B（0，﹣5），连结OB，将OB向上平移5个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好与y＝2x2+bx+c的图象有交点，求m的取值范围；
（3）当n≤x≤n+2时，二次函数y＝2x2+bx+c的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2﹣2ax+3（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点C（c，﹣12）是抛物线上，且c＞1，求证：点C在AB所在的直线上；
（3）点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点（m≠n），记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若h＝3，求t的值．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+1（a，b为常数且a≠0）．
（1）若a＝1，b＝4，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知4a2+b＝0．A（x1，y1）和B（5a，y2）是抛物线上的两点．对于3≤x1≤4都有y1＜y2，求a的取值范围．
7．已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
①当函数图象过点A（1，2）时，求该二次函数的关系式；
②当m≤x≤m+2时，函数的最小值为﹣2，求m的最大值．
（2）若当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，且该二次函数图象经过B（﹣3，y1），C（t，y2）两点，y1＜y2，求t的取值的范围．
8．如图，抛物线L：（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若0≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），（1，0）．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）若﹣x2+bx+c＝t无实数解，求t的取值范围；
（3）将抛物线沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度，当时，它的函数最大值是3，求m的值．
10．已知，抛物线，直线y2＝mx+m（m＜0）．
（1）当m＝2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）直线是否可能经过抛物线的顶点，如果可能，请求出m的值，如果不可能，请说明理由；
（3）记S＝|y2|﹣|y1|，当﹣1 x m+3时，求S的最大值．
11．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（Ⅰ）若点A坐标为（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使CNP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值（直接写出答案即可）．
12．已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数）．
（1）当二次函数y＝x2﹣2bx+5的图象经过点A（1，0）时，求二次函数的表达式；
（2）当x≥﹣1时，y的最小值为1，求b的值；
（3）当b＝1时，把抛物线y＝x2﹣2bx+5向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线过点B（m，0），且﹣1＜m＜2，请求出n的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2024，2024） 都是“平衡点”．
（1）直接写出函数y＝x2图象上的“平衡点”坐标 　 　 ．
（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“平衡点”，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．
（3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且BC＝2AB，求m，n的值．
14．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）．
（1）若该函数经过点（1，﹣6），求该函数解析式；
（2）在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值；
（3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．
15．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式；
（2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）对于①，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于②y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：②；
（2）①当a＝1时，二次函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），
为y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2，
当x＝t时，，
当x＝t+1时，，
当x＝2时，y3＝﹣1，
若t＞2，则y2﹣y1＝1，
∴t2﹣2t﹣（t2﹣4t+3）＝1，
解得t＝2（舍去）；
若，则y2﹣y3＝1，
∴t2﹣2t﹣（﹣1）＝1，
解得t＝0（舍去），t＝2；
若，则y1﹣y3＝1，
∴t2﹣4t+3﹣（﹣1）＝1，
解得t＝1，t＝3（舍去）；
若t＜1，则y1﹣y2＝1，
∴t2﹣4t+3﹣（t2﹣2t）＝1，
解得t＝1（舍去），
综上所述，t＝1或t＝2；
②∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴2＜m+2≤x≤2m+1，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）的对称轴为直线x＝2，
∴当2＜m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2 m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴，
∴m，k为整数，且m＞1，
∴m的值为3，
∴k＝3．
2．【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）代入，
得，
解得，
∴b，c的值分别是﹣2，﹣8；
（2）∵二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∵1＞0，
∴二次函数图象的开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣5≤x≤﹣3，
∴当x＝﹣5时，二次函数y＝x2+bx+c有最大值，最大值为y＝（﹣5﹣1）2﹣9＝36﹣9＝27；
（3）平移后新的二次函数的表达式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣9，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1+k．
分三种情况讨论：
①当1+k≤2，即0＜k≤1时，2≤x≤4在对称轴的右侧，
∴二次函数在x＝2取得最小值，
∴（2﹣1﹣k）2﹣9＝7，
解得k＝5或k＝﹣3，不符合题意；
②当2＜1+k＜4，即1＜k＜3时，二次函数在x＝1+k取得最小值，
此时最小值为﹣9，不符合题意；
③当1+k≥4，即k≥3时，2≤x≤4在对称轴的左侧，
∴二次函数在x＝4时取得最小值，
∴（4﹣1﹣k）2﹣9＝7，
解得k＝7或k＝﹣1（舍去），
此时二次函数的表达式为y＝（x﹣1﹣7）2﹣9＝（x﹣8）2﹣9，
即y＝x2﹣16x+55；
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为y＝x2﹣16x+55．
3．【解答】解：（1）根据y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，可得其顶点坐标为（1，1），
把（1，1）代入二次函数y＝x2+2tx+t﹣3中，可得1＝1+2t+t﹣3，
解得t＝1．
（2）由（1）知t＝1，故二次函数y＝x2+2x﹣2，
又因为y＝x2+2x﹣2图象经过点（m+1，n+1），
∴n+1＝（m+1）2+2（m+1）﹣2，整理可得n＝m2+4m＝（m+2）2﹣4，
故n是m的二次函数，n的最小值为﹣4．
（3）对于二次函数y＝x2+2x﹣2，其对称轴为直线x＝﹣1，
顶点坐标为（﹣1，﹣3），
令y＝﹣3，此时可得x2+2x﹣2＝﹣3，解得x1＝x2＝﹣1；
令y＝1，此时可得x2+2x﹣2＝1，解得x1＝﹣3，x2＝1，
画出大致图象如下图所示：
由于在﹣3≤x≤m时，﹣3≤y≤1，
故m的取值范围为﹣1≤m≤1．
4．【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c，经过点A（0，﹣1），对称轴为直线x＝1，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式y＝2x2﹣4x﹣1；
（2）∵点O（0，0），B（0，﹣5），连结OB，将OB向上平移5个单位长度，
设平移后的点O的对应点为O′，点B的对应点为B′，
∴平移后的O′B′＝5，点O′（0，5），B′（0，0），
令y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，
∴x，
∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1与x轴的交点为（，0）和（，0）．
∵将OB再向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好与y＝2x2+bx+c的图象有交点，
∴m．
令y＝5，则2x2﹣4x﹣1＝5，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵OB的长度为5，
∴m≤3．
综上，m的取值范围为m≤3．
（3）∵二次函数y＝2x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，2＞0，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．
①当n+2≤1时，即n≤﹣1时，
当n≤x≤n+2时，二次函数y＝2x2+bx+c的最大值为2n2﹣4n﹣1，最小值为2（n+2）2﹣4（n+2）﹣1＝2n2+4n﹣1，
∴2n2﹣4n﹣1﹣（2n2+4n﹣1），
∴n（不合题意，舍去）．
②当﹣1＜n≤1时，
当n≤x≤n+2时，二次函数y＝2x2+bx+c的最大值为2n2﹣4n﹣1，最小值为﹣3，或最大值为2（n+2）2﹣4（n+2）﹣1＝2n2+4n﹣1，最小值为﹣3，
∴2n2﹣4n﹣1﹣（﹣3）或2n2+4n﹣1﹣（﹣3），
∴n或n（不合题意，舍去），n或n（不合题意，舍去）．
③当n＞1时，
当n≤x≤n+2时，二次函数y＝2x2+bx+c的最小值为2n2﹣4n﹣1，最大值为2（n+2）2﹣4（n+2）﹣1＝2n2+4n﹣1，
∴（2n2+4n﹣1）﹣（2n2﹣4n﹣1），
∴n（不合题意，舍去）．
综上，n的值为．
5．【解答】（1）解：∵y＝﹣x2﹣2ax+3＝﹣（x+a）2+3+a2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣a＝1，
解得a＝﹣1；
（2）证明：由（1）知a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（0，3），B（1，0），
设经过点A，B的直线的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，
∵点C（c，﹣12）是抛物线的点，代入抛物线y＝﹣x2+2x+3得：
﹣c2+2c+3＝﹣12，
解得c＝5或c＝﹣3（不合题意，舍去），
∴C（5，﹣12），
把x＝5代入直线y＝﹣3x+3，得：
当x＝5时，y＝﹣3×5+3＝﹣12，
∴点C在直线AB上；
（3）解：由（1）知a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点，
∴m＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+3＝﹣t2+4t，n＝﹣t2+2t+3，
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴分以下三种情况：
①当P，Q均在对称轴左侧，即t≤1时，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴h＝n﹣m＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t2+4t）＝﹣2t+3＝3，
解得t＝0；
②当点P，Q在对称轴两侧，则t﹣1＜1＜t，即1＜t＜2，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为﹣12+2×1+3＝4，
∵m≠n，
∴当点P与对称轴的距离小于点Q与对称轴的距离时，则1﹣（t﹣1）＜t﹣1，即，
∴，此时点Q的纵坐标最小，
∴h＝4﹣n＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离时，
则1﹣（t﹣1）＞t﹣1，
即，
∴，此时点P的纵坐标最小，
∴h＝4﹣m＝4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣4t+4＝3，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
③当P，Q均在对称轴的右侧，则t﹣1≥1，即t≥2时，y随x的增大而减小，
此时点P的纵坐标最大，点Q的纵坐标最小，
∴h＝m﹣n＝﹣t2+4t﹣（﹣t2+2t+3）＝2t﹣3＝3，
解得t＝3；
综上所述，t的值为0或3．
6．【解答】解：（1）a＝1，b＝4时，抛物线解析式为y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3，
∴抛物线顶点为（﹣2，﹣3）；
（2）∵4a2+b＝0，
∴b＝﹣4a2，
∴抛物线对称轴为直线，
①当a＞0时，5a＞2a，
则B（5a，y2）在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为（﹣a，y2），
∵开口向上，
∴在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当3≤x1≤4，有y1＜y2时，可得，
解得；
②当a＜0时，5a＜2a，
则B（5a，y2）在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为（﹣a，y2），
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当3≤x1≤4有y1＜y2时，可得4＜5a或3＞﹣a，
解得﹣3＜a＜0．
综上所述，或﹣3＜a＜0．
7．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则b＝2，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x+c，
①将点A的坐标代入上式得：2＝1+2+c，则c＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣1；
②y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，顶点为（1，c﹣1），
当m+2≤﹣1时，即m≤﹣3，
此时x＝m+2时，取得最小值，即（m+2+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+3）2+c＝﹣1；
当m≥﹣1时，
同理可得，此时x＝m时，取得最小值，即（m+1）2+c﹣1＝﹣2，即（m+1）2+c＝﹣1；
当﹣3＜m＜﹣1时，
抛物线在顶点时取得最小值，即c﹣1＝﹣2，则c＝﹣1，
即c＝﹣1时，抛物线取得最小值﹣2，
故m≤﹣1≤m+2，
解得：﹣3≤m≤﹣1，
即m的最大值为﹣1；
（2）当y＜h时，x取值范围是k﹣5＜x＜1﹣k，则抛物线的对称轴为直线x（k﹣5+1﹣k）＝﹣2，
∵y1＜y2，即|t+2|＞|﹣3+2|，
解得：t＞﹣1或t＜﹣3．
8．【解答】（1）证明：在中，
当y＝0时，得：，
∵，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点，
设的根分别为x1，x2，
∵x1 x2＝﹣12＜0，
∴该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标为；理由如下：
∵抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m），
∴抛物线L的对称轴为直线，
∴，
∴L1的函数表达式为，
当x＝1时，，
∴抛物线L的顶点坐标为，
当y＝0时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②∵与y轴交于点D（0，﹣3），
则点D关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），
∵抛物线L的开口向上，
∴当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是﹣3，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
∴当1≤n≤2时，函数的最大值与最小值的差总为．
9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x1；
（2）∵﹣x2﹣2x+3＝t无实数解，
∴Δ＝4+4×（3﹣t）＝16﹣4t＜0，
∴t＞4，
故t的取值范围为t＞4；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1﹣m）2+4，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝m﹣1，
∵抛物线二次项系数为﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞m﹣1时，y随x的增大而减小；
∵当时，它的函数最大值是3，
①当时，即时，
∴当时，函数最大值是3，
∴，
解得（舍）或（不符合题意，舍去）；
②当时，即时，
∴当x＝m﹣1时，函数最大值是3，
∴4≠3（不符合题意，舍去）；
③当m﹣1＞1时，即m＞2时，
∴当x＝1时，函数最大值是3，
∴﹣（1+1﹣m）2+4＝3，
解得m＝3，或m＝1（不符合题意，舍去）；
综上所述，m的值为3．
10．【解答】解：（1）已知，抛物线，
当m＝2时，得：，
当y1＝0时，得：x2+4x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣1，0）和（﹣3，0）；
（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
将顶点坐标代入y＝mx+m中，得：，
解得m＝0，
∵m≠0，
∴直线不可能经过抛物线的顶点；
（3）令y1＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣（m+1），
当x ﹣1时，
，
|y2|＝﹣mx﹣m．
①当﹣1 m+3＜﹣（m+1），即﹣4 m＜﹣2时，
；
当x＝m+3时，，
∵﹣4 m＜﹣2，
∴0 S＜4；
②当﹣1＜﹣（m+1） m+3，即﹣2 m＜0时，
，
当x＝﹣m﹣1时，，
∵﹣2 m＜0，
∴0＜S 4，
综上所述，S的最大值为4．
11．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴（﹣1）2﹣b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）设点P（1，m），则点N（1，0），C（0，﹣3），
由点P、C、N的坐标得，PN2＝m2，PC2＝1+（m+3）2，CN2＝10，
当PN＝CP时，则m2＝1+（m+3）2，则m，
当PN＝CN或PC＝CN时，同理可得：m2＝10或1+（m+3）2＝10，
则m＝0（舍去）或或﹣6，
综上，点P的坐标为：（1，﹣6）或（1，）或（1，）；
（Ⅲ）①﹣1b≤2，即﹣4≤b≤2时，
则6，
解得b＝2（舍去）或﹣2；
②当b＜﹣4时，x＝2时，y有最小值，
则4+2b﹣3＝﹣6，
解得b（舍去）；
③当1，即b＞2时，x＝﹣1时，y有最小值，
则1﹣b﹣3＝﹣6，
解得b＝4，
综上所述，当b﹣2或b＝4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6．
12．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：1﹣2b+5＝0，则b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝b，
当b≤﹣1时，则x＝﹣1时，y＝1+2b+5＝1，则b＝﹣2.5；
当b＞﹣1时，则x＝b时，y＝b2﹣2b2+5＝1，则b＝﹣2（舍去）或2，
故b＝2或﹣2.5；
（3）当b＝1时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
抛物线向下平移n个单位时，y＝（x﹣1）2+4﹣n，
当抛物线首次和x轴有交点时，即n＝4，此时x＝1，符合题意；
当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝8，即此时m＝﹣1；
当x＝2时，y＝（2﹣1）2+4﹣n＝0，则n＝5，即此时m＝2，
故4≤n＜8．
13．【解答】解：（1）令y＝x2＝x得：x＝0或1，
故“平衡点”坐标为（0，0）或（1，1），
故答案为：（0，0）或（1，1）；
（2）联立y＝x和y＝ax2+4x+c得：x＝ax2+4x+c，
则Δ＝9﹣4ac＝0①，
将（，）代入y＝ax2+4x+c得：a+4c＝0②，
联立①②并解得：a＝﹣1，c，
则y＝ax2+4x+cx2+4x﹣3，
该函数的对称轴为直线x＝2，
当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝1，当x＝m时，y＝﹣m2+4m﹣3，
当m≤2时，则函数在x＝0时取得最小值﹣3，在x＝m时，取得最大值1，
即y＝﹣m2+4m﹣3＝1，
则m＝2；
当m＜2时，
抛物线在x＝2时取得最大值1，在x＝0或m处取得最小值﹣3，
即m﹣2＜2﹣0，即m＜4，
当m＝4时，x＝m和x＝0关于x＝2对称，故m＝4也成立，
即2＜m≤4，
即2≤m≤4；
（3）令y＝x2+m＝x，则Δ＝1﹣4m＝0，则m，
即x2x，则x，即点A（，）；
令y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2＝x，
解得：x＝2或2n+1，
即点B、C的坐标分别为：（2，2）、（2n+1，2n+1），
∵BC＝2AB，则（2n+1﹣2）2+（2n+1﹣2）2＝4[2×（2）2]，
解得：n＝2（不合题意的值已舍去），
故m，n＝2．
14．【解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2﹣x+c经过点（1，﹣6），
∴﹣1﹣1+c＝﹣6，
解得：c＝﹣4，
∴该函数解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4；
（2）①设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”，
则P（m，3m），
∴3m＝﹣m2﹣m﹣4，
解得：m1＝m2＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣6）；
②由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4，
配方得y＝﹣（x）2，
∴抛物线的对称轴为直线x．
当t+1，即t时，y最小值＝﹣（t+2）2﹣（t+2）﹣4＝﹣t2﹣5t﹣10；
当t+1，即t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4；
综上，当t时，y最小值＝﹣t2﹣5t﹣10，当t时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4；
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为y＝3x．
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x的图象至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝42﹣4×1×（﹣c）＝16+4c≥0，
解得：c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣6+c，
代入y＝3x，得y＝﹣9，
则﹣9＞﹣6+c，
解得：c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣2+c，
代入y＝3x，得y＝3，
则3＞﹣2+c，
解得：c＜5．
综上，c的取值范围为﹣4≤c＜5．
15．【解答】解：（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2；
∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，且a＜0，
则当x＞1时，y随着x的增大而减小，
又∵x时，y随着x的增大而减小，
∴1，解得m≥2．
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，开口向上，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，
∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a；
当a＜0时，开口向下，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，
∴当x＝4时，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1，
故a的值为﹣1或．
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