第四单元综合评价卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列4个富有民族特色的窗户图形中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )
A B C D
2.将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合,这个角度不能是( )
A.90° B.120° C.180° D.270°
3.某校区2号楼楼梯的示意图如图所示,现在要在楼梯上铺一条地毯,如果楼梯的宽度是1.8 m,那么地毯的面积为( )
A.(a+1.8)h m2 B.(h+1.8)a m2 C.1.8(h+a)m2 D.1.8ah m2
4.(2022内江)如图所示,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是( )
A.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位长度
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位长度
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位长度
D.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度
5.(2022莱阳期末)在平面直角坐标系xOy中,与点P(2x-1,x+3)关于原点成中心对称的点在第四象限内,则x的取值范围是( )
A.x< B.-3 D.x>-3
6.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,将△ABC绕着点B逆时针旋转40°到△DBE的位置,则∠α的度数是( )
A.70° B.60° C.80° D.65°
7.(2022垦利期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角
∠EPF的顶点P是BC的中点,当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时,下列结论错误的是( )
A.EF=AP B.△EPF为等腰直角三角形
C.AE=CF D.S四边形AEPF=S△ABC
8.如图所示,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A.(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或(-2,0) D.(10,2)或(-2,0)
9.如图所示,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′ 绕点A′逆时针旋转一定角度,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为( )
A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60°
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ABC=90°,将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′,此时恰好点C在A′C′上,A′B交AC于点E,则△ABE与△ABC的面积之比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶4
11.如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=
90°,D为AB边上一点,若AD=5,BD=12,则DE的长为( )
A.11 B.13 C.12 D.25
12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,△AOB是一个等腰直角三角形,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后放大得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将
Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后放大得到等腰直角三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此规律,得到等腰直角三角形 A2 022OB2 022,则点B2 022的坐标为( )
A.(22 021,22 021) B.(-22 021,22 021) C.(-22 022,22 022) D.(-22 022,-22 022)
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.如图所示,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则线段BC与EF的关系是 .
14.如图所示,线段AB平移到线段CD的位置,线段AB所扫过的面积
为 .
15.(2022临沂)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是A(0,2),B(2,-1),平移△ABC得到△A′B′C′,若点A的对应点A′的坐标为(-1,0),则点B的对应点B′的坐标是 .
16.如图所示,在直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),
B(-2,2),C(-1,0).将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF,则旋转中心的坐标是 .
17.如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中,两个正方形重叠部分的面积是2,则AD的长为 .
18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,AC与A′B′相交于点P,则CP的最小值为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:DF=BE.
20.(8分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(-2,-4),B(0,-4),
C(1,-1).
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1;
(2)将(1)中所得的△A1B1C1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来,求旋转中心的坐标.
21.(10分)如图所示,在△ABC中,BC=4 cm,将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形为△DEF,设运动时间为t s.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)当t为何值时,EC=1 cm
22.(10分)如图①所示,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图②所示,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
23.(12分)旋转变换在平面几何中有着广泛的应用,特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维方法.请你用旋转变换等知识解决下面的问题.
如图①所示,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,DC与AB交于点M,
CE与AB交于点N.
(1)以点C为中心,将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后的
△A′CM′;
(2)在(1)的基础上,证明:AM2+BN2=MN2;
(3)如图②所示,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,CA平分∠BCD,若BC=4,CD=3,则对角线AC的长度为多少
① ②一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列4个富有民族特色的窗户图形中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(A)
A B C D
2.将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合,这个角度不能是(B)
A.90° B.120° C.180° D.270°
3.某校区2号楼楼梯的示意图如图所示,现在要在楼梯上铺一条地毯,如果楼梯的宽度是1.8 m,那么地毯的面积为(C)
A.(a+1.8)h m2 B.(h+1.8)a m2 C.1.8(h+a)m2 D.1.8ah m2
4.(2022内江)如图所示,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是(D)
A.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位长度
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位长度
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位长度
D.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度
5.(2022莱阳期末)在平面直角坐标系xOy中,与点P(2x-1,x+3)关于原点成中心对称的点在第四象限内,则x的取值范围是(B)
A.x< B.-3 D.x>-3
6.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,将△ABC绕着点B逆时针旋转40°到△DBE的位置,则∠α的度数是(A)
A.70° B.60° C.80° D.65°
7.(2022垦利期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角
∠EPF的顶点P是BC的中点,当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时,下列结论错误的是(A)
A.EF=AP B.△EPF为等腰直角三角形
C.AE=CF D.S四边形AEPF=S△ABC
8.如图所示,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是(C)
A.(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或(-2,0) D.(10,2)或(-2,0)
9.如图所示,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′ 绕点A′逆时针旋转一定角度,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为(B)
A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60°
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ABC=90°,将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′,此时恰好点C在A′C′上,A′B交AC于点E,则△ABE与△ABC的面积之比为(D)
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶4
11.如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=
90°,D为AB边上一点,若AD=5,BD=12,则DE的长为(B)
A.11 B.13 C.12 D.25
12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,△AOB是一个等腰直角三角形,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后放大得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将
Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°后放大得到等腰直角三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此规律,得到等腰直角三角形 A2 022OB2 022,则点B2 022的坐标为(D)
A.(22 021,22 021) B.(-22 021,22 021) C.(-22 022,22 022) D.(-22 022,-22 022)
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.如图所示,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则线段BC与EF的关系是 平行且相等 .
14.如图所示,线段AB平移到线段CD的位置,线段AB所扫过的面积
为 6 .
15.(2022临沂)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是A(0,2),B(2,-1),平移△ABC得到△A′B′C′,若点A的对应点A′的坐标为(-1,0),则点B的对应点B′的坐标是 (1,-3) .
16.如图所示,在直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),
B(-2,2),C(-1,0).将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF,则旋转中心的坐标是 (1,-1) .
17.如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中,两个正方形重叠部分的面积是2,则AD的长为 2 .
18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,AC与A′B′相交于点P,则CP的最小值为 4.8 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:DF=BE.
证明:∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称,
∴△ABO≌△CDO,
∴AO=CO,BO=DO.
又∵AF=CE,
∴FO=EO.
在△DOF和△BOE中,
∴△DOF≌△BOE(SAS),
∴DF=BE.
20.(8分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(-2,-4),B(0,-4),
C(1,-1).
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1;
(2)将(1)中所得的△A1B1C1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来,求旋转中心的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
(3)如图所示,旋转中心P的坐标为(-3,-1).
21.(10分)如图所示,在△ABC中,BC=4 cm,将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形为△DEF,设运动时间为t s.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)当t为何值时,EC=1 cm
解:(1)∵将△ABC沿BC所在直线向右平移,所得图形为△DEF,
∴∠B=∠DEF,AD∥BF,
∴∠DEF=∠ADE=60°,∴∠B=60°.
(2)∵将△ABC以0.2 cm/s的速度沿BC所在直线向右平移,所得图形为△DEF,
∴BE=0.2t cm.
当E点在线段BC上时,
∵BE+CE=BC,∴0.2t+1=4,解得t=15;
当E点在线段BC的延长线上时,
∵BE=BC+CE,∴0.2t=4+1,解得t=25.
综上所述,当t=15或25时,EC=1 cm.
22.(10分)如图①所示,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图②所示,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(1)解:①DE∥AC ②S1=S2
(2)证明:∵∠DCE=90°,∴∠DCM+∠BCN=∠DCN=90°.
又∵∠ACN+∠BCN=90°,∴∠ACN=∠DCM.
又∵∠CNA=∠CMD=90°,AC=CD,
∴△ANC≌△DMC(AAS),∴AN=DM.
又∵CE=CB,S1=BC·DM,S2=CE·AN,∴S1=S2.
23.(12分)旋转变换在平面几何中有着广泛的应用,特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维方法.请你用旋转变换等知识解决下面的问题.
如图①所示,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,DC与AB交于点M,
CE与AB交于点N.
(1)以点C为中心,将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后的
△A′CM′;
(2)在(1)的基础上,证明:AM2+BN2=MN2;
(3)如图②所示,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,CA平分∠BCD,若BC=4,CD=3,则对角线AC的长度为多少
① ②
(1)解:旋转后的△A′CM′如图①所示.
①
(2)证明:如图①所示,连接M′N.
∵△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∠DEC=90°,
∴∠A=∠CBA=45°,∠DCE=∠D=45°,∴∠ACM+∠BCN=45°.
∵△BCM′是由△ACM旋转得到的,
∴∠BCM′=∠ACM,CM=CM′,AM=BM′,∠CBM′=∠A=45°,
∴∠M′CN=∠MCN=45°,∠NBM′=90°.
∵在△MCN和△M′CN中,
∴△MCN≌△M′CN(SAS),∴MN=M′N.
在Rt△BM′N中,根据勾股定理,得M′N2=BN2+BM′2,
∴AM2+BN2=MN2.
(3)解:如图②所示,将△ADC顺时针旋转90°到△AC′D′位置,连接BD′,BD.
②
由旋转性质知AC′=AC,AD=AD′,C′D′=CD=3,∠CAC′=∠DAD′=90°.又∵∠BCD=90°,CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠ACD=45°,∴∠AC′D′=∠ACD=∠BCA=45°,
∴△AC′C是等腰直角三角形,点C′,D′,B,C在同一直线上.
∵∠DAD′=90°,∠BAD=45°,∴∠BAD′=45°.
在△DAB和△D′AB中,
∴△DAB≌△D′AB(SAS),∴DB=D′B.
在Rt△BCD中,∵BC=4,CD=3,
∴DB=5,∴D′B=5,∴CC′=12,
∴在Rt△ACC′中,AC=6.
