人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 课时练习（含答案）

九年级数学上册第二十四章第3节《正多边形和圆》课时练习
一、单选题
1．如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正五边形中，经过，两点的分别与，相切于点，，连接，，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（ ）

A． B．12 C． D．24
4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B． C．12 D．
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题
9．李师傅要在木板上开一个小孔，使其恰好能穿过一个正六边形的螺母，如图所示，若圆孔的周长等于，则正六边形螺母的边长为 ．
10．如图，正八边形内接于，连接，则 ．
11．如图，正六边形的边长为，以为圆心，得，连接，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．

13．生活中常见的螺母横截面外轮廓大多数都是正六边形，将如图①所示的螺母横截面抽象成几何图形如图②所示，正六边形的中心与中间圆的圆心重合于点O处，连接交于点H，若中间圆的半径为9，正六边形的半径为15，则的长为 ．
三、解答题
14．如图，正方形内接于是的中点，连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE
（1）求证：AB=AC；
（2）若点F在上，且∠F=116°，求∠ADC的度数．
16．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
(1)求证：是小圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
17．如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
18．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
19．【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：；
【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．
20．【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．
②原题中 ．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册第二十四章第3节《正多边形和圆》课时练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B C B C C
9．3
10．90
11．
12．
13．6
14．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，过点作交的延长线于．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在△ADE和△CDF中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
15．解：（1）∵AD平分∠BDE，
∴∠ADB=∠ADE，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠ADB=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）∵∠F=116°，
∴∠BAC=180°-116°=64°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠ADC=180°-58°=122°．
16．（1）证明：如图所示，连接，设交于H，
∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H在小圆O上，
又∵，
∴是小圆O的切线；
（2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
18．（1）①解：如图，连接，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②，
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图，连接、，连接交于点，
在中，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，，
，，
垂直平分，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
解得：，
，
，
为的直径，
，
在中，；
（3）解：如图，连接、、、，过点作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．
19．[给出问题]证明：四边形是正方形，
，
是的中点，
；
[深入思考] ，理由如下，
过点作交于点，取圆心，连接，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，即
[拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，
，，
点在上，
，，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
在中，，
解得：（负值舍去）
，
矩形的面积．
20．解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；

②如图所示，

，
故答案为：．
（2），证明如下：
如图，过点C作交于E，

∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
如图所示，过点C作交于F，

同理可得是等腰直角三角形，，
∴，；
（3），
如图，过点B，作，在上截取，连接，

∵，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（4）如图，以为边，作正方形，连接，，
根据（1）可得P在上，则，

∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
在 中，，
∴，
解得 （负值舍去），
∴，
∴矩形的面积为．
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