第三节 单摆
1～6题每题7分，7题14分，共56分
考点一 单摆及其回复力
1．(多选)下列有关单摆的说法，正确的是( )
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大
2．关于单摆的运动，以下说法正确的是( )
A．单摆运动时，摆球受到大小不变的向心力
B．单摆运动时，摆球所受到的合力为回复力
C．摆球运动到平衡位置时，所受到的回复力为零
D．摆球运动到平衡位置时，所受到的合力为零
考点二 单摆的周期公式
3.如图所示为演示简谐振动的沙摆，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M>m，在沙子逐渐漏完的过程中，摆的周期( )
A．不变 B．先变大后变小
C．先变小后变大 D．逐渐变大
4．(多选)(2024·广州市高二期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是( )
A．此单摆的振动频率是2 Hz
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．仅改变摆球质量，单摆周期不变
D．t＝0时刻，摆球位于B点
5.如图所示，500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省，是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法：假设FAST内表面是光滑的球面，他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放，用秒表测出它完成n次全振动的时间t，如果当地重力加速度为g，将小球的运动视为简谐运动，则FAST的球面半径R为( )
A. B.
C. D.
6．(多选)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图所示，可知( )
A．甲、乙两单摆的周期之比为2∶1
B．甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C．0.5～1.0 s时间内，甲的摆球的速度减小
D．t＝0.5 s时甲的摆球势能最大，乙的摆球动能最大
7．(14分)如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球。(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g)求：
(1)(6分)让小球在纸面内摆动，周期为多少；
(2)(8分)让小球在垂直纸面方向摆动，周期为多少。
8～10题每题9分，共27分
8.(多选)(2023·广州市第二中学高二期中)如图所示，长轻绳L1一端系于O点，另一端系小球1，在O点正下方P点有一钉子，下端通过轻绳L2系小球2静止于点B，两小球完全相同。现将小球1拉至A点由静止释放，小球1摆至最低点B时与小球2发生弹性碰撞，小球2继续向右摆至最高点C。整个过程中，小球摆角始终小于5°，不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是( )
A．小球1从A点至B点过程中回复力变大
B．碰后瞬间L2的张力大于碰前L1的张力
C．C点与A点在同一高度
D．小球2从B到C所用的时间等于小球1从A点到B点的时间
9.如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为( )
A．π B．π
C．π D．π
10.(多选)固定光滑圆弧面上有一个小球，将它从最低点移开一小段距离，t＝0时刻将小球由静止释放，小球以最低点为平衡位置左右振动。已知圆弧半径R＝1 m，小球半径r R，当地的重力加速度大小g＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些时刻小球运动到最低点( )
A．0.5 s B．1 s C．1.5 s D．2 s
11．(17分)(2023·佛山市高二月考)如图甲所示，有一悬挂在O点的单摆，将小球(可视为质点)拉到A点后释放，小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，已知B点为小球运动中的最低点，A、C两点为小球运动中的最高点，摆角为α(α<5°)，在O点接有一力传感器，图乙表示从某时刻开始计时，由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线，由力传感器测得最小拉力为F2，图中F2、t0已知，当地重力加速度大小为g，不计阻力，求：
(1)(5分)单摆的周期T和摆长L；
(2)(5分)小球的质量m；
(3)(7分)力传感器测出的拉力的最大值F1。
第三节 单摆
1．CD [一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D正确。]
2．C [单摆运动时，速度大小不断变化，摆球所需向心力大小不断变化，故A错误；单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，故B错误；摆球运动到平衡位置时，回复力为零，合力不为零，合力方向竖直向上，故C正确，D错误。]
3．B [由题可知，M>m，当沙子逐渐漏完的过程中，沙筒的重心先下降后升高，则该沙摆的摆长先增大后减小，由单摆的周期公式T＝2π可知，该摆的周期先变大后变小，故B正确，A、C、D错误。]
4．BCD [由题图乙可知，此单摆的周期为T＝2 s，则此单摆的振动频率为f＝＝0.5 Hz，故A错误；根据单摆周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L＝＝1.0 m，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故B、C正确；t＝0时刻，由题图乙可知，摆球位于负向最大位移处，图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确。]
5．A [小球做简谐运动的周期为T＝，由单摆周期公式可知T＝2π，联立解得FAST的球面半径为R＝，故选A。]
6．AD [由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为2.0 s、1.0 s，则周期之比为2∶1，A正确；由单摆周期公式T＝2π，可得摆长L＝，可知摆长L与T2成正比，因此甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1，B错误；0.5～1.0 s时间内，甲单摆的摆球从正向最大位移处向平衡位置运动，故甲单摆的摆球的速度增大，C错误；t＝0.5 s时，甲单摆的摆球在正向最大位移处，甲单摆的摆球的势能最大，乙单摆的摆球的位移为0，处在平衡位置，速度最大，则乙单摆的摆球的动能最大，D正确。]
7．(1)2π (2)π
解析 (1)当小球在纸面内做小角度的摆动时，摆动圆弧的圆心为O点，摆长为L，故周期为T＝2π
(2)当小球在垂直纸面方向做小角度的摆动时，圆心在A、B所在水平面上且在O点正上方，由几何关系知摆长为L′＝(1＋)L，故周期为
T′＝2π＝π。
8．BC [由于小球1和小球2完全相同，且发生弹性碰撞，两小球碰撞后速度互换，因此可以等效为全程只有小球1从A摆动到C，单摆近似为简谐运动，因此回复力大小与小球1到平衡位置(即B点)的位移成正比，因此从A到B，位移减小，回复力变小，故A错误；经过B点瞬间，速度不变，圆周运动半径变小，根据F合＝F张－mg＝m可知，合力突然变大，即绳子的张力变大，故B正确；不计空气阻力和摩擦，小球1在A到C的过程中，机械能守恒，故能达到同样的高度，即C点与A点在同一高度，故C正确；根据T＝2π，摆长越大，周期越大，则小球1从A点摆至B点的时间较长，故D错误。]
9．C [因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆，根据牛顿第二定律及单摆的周期公式有mgsin θ＝ma，T＝2π，小球回到最低点所需的最短时间为t＝，解得t＝π，故选C。]
10．AC [小球的运动可等效为单摆，摆动周期T＝2π＝2 s，小球从左侧最大位移处释放，在T(n＝0,1,2,3，…)的时刻经过最低点，所以0.5 s和1.5 s时小球均经过最低点，故B、D错误，A、C正确。]
11．(1)2t0 (2)
(3)F2
解析 (1)由题图乙可知，单摆周期为T＝2t0
由单摆周期公式T＝2π
解得L＝
(2)小球在A点时拉力最小，
则有F2＝mgcos α
解得m＝
(3)小球在平衡位置B点时拉力最大，
根据牛顿第二定律有F1－mg＝m
小球从A到B过程，由动能定理得mgL(1－cos α)＝mv2
解得F1＝F2第三节 单摆
[学习目标]1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题(重难点)。
一、单摆及其回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
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1．单摆：如果悬挂物体的绳子的__________可以忽略不计，绳长比物体的尺寸__________，物体可以看作__________，这样的装置可以看作单摆。
说明：单摆是实际摆的理想模型，若单摆的摆角小于5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。
2.单摆的回复力
来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝__________。
特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__________，方向总指向__________。
在摆角很小的情况下，试推导回复力与位移的关系来证明单摆的运动是简谐运动。
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(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(2)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( )
例1 图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，不计阻力，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
例2 (多选)如图所示为一单摆的振动图像，则( )
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t1和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的回复力正在增大
二、单摆的周期
用如图所示的实验装置探究影响单摆周期的因素。影响单摆周期的因素可能有单摆摆长(细绳的质量忽略)、小球的质量(小球的体积可以忽略)、摆角等，试分析以下问题：
(1)根据以上猜想，该实验应采取什么研究方法？
(2)在测量单摆的周期时，采用什么样的方法可以减小误差？以哪个位置作为起点更方便计时和减小误差？
(3)下表为某次在探究摆角很小的情况下周期与摆长关系的实验数据，请在表中填上第3次实验所测得的周期，并说一说你得到怎样的结论。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动所用时间 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
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1．在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角________，与单摆摆长________。
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家__________首先提出的。
(2)公式：T＝__________________，即周期T跟摆长L的二次方根成__________，跟重力加速度g的二次方根成__________，而与振幅、摆球质量__________。
1．(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来，甲摆的等效摆长____________乙摆的摆长，用图中信息表示甲摆的等效摆长：____________。
(2)图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长____________甲摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：________________________；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长____________丙摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：____________。
2．类比弹簧振子做简谐运动的回复力F＝－kx，单摆的类似于弹簧振子的k，结合单摆的周期公式，试用m、k表示出弹簧振子的周期公式。
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例3 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
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针对训练 如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，hA.L B.L C.L D.L
三、单摆模型的拓展
1．类单摆模型
除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球的运动可以看成简谐运动，T＝2π。
例4 (2023·钦州市高二期中)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。不计空气阻力，则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同时到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同时到
2．不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系统 g等效＝g－a
g等效＝g＋a
电场中 g等效＝
g等效＝
g等效＝g
例5 如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动，关于它们的周期关系，下列判断正确的是( )
A．T甲>T乙>T丙>T丁
B．T甲C．T甲>T乙＝T丙>T丁
D．T甲答案精析
一、
易错辨析
(1)× (2)×
例1 C [摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。]
例2 AD [由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t1时刻摆球在远离平衡位置，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t1和t3时刻摆球速度方向不相同，故B错误；t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，回复力正在增大，故D正确。]
二、
例3 1 m 175 s
解析 根据单摆周期公式
T＝2π可得L＝，
代入数据解得L＝ m＝1 m
秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为＝
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t＝50T′＝50T＝50×2× s＝175 s。
针对训练 B [由于OA、PC与OB之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是简谐运动，根据单摆周期公式
T＝2π，有t1＝×2π，
t2＝×2π，t1＝2t2，
所以PB＝L，OP＝L－PB＝L，
选项A、C、D错误，B正确。]
例4 B [对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝gt32，解得t3＝，对于甲、乙两球，做简谐运动，其运动周期均为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动周期，则t1＝t2＝＝>t3，故丙先到，然后甲、乙同时到，故选B。]
例5 C [题图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g甲＝gsin θ；题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力，即g乙＝g；题图丙为标准单摆，则g丙＝g；题图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由单摆做简谐运动的周期公式知T甲>T乙＝T丙>T丁，选项C正确。](共61张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第三节 单摆
1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。
2.知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题(重难点)。
学习目标
内容索引
一、单摆及其回复力
二、单摆的周期
课时对点练
三、单摆模型的拓展
单摆及其回复力
一
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
答案 小球受重力和细线的拉力作用。
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
答案 细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案 小球经过平衡位置时还有向心力，其合外力
不为零。
梳理与总结
1.单摆：如果悬挂物体的绳子的 可以忽略不计，绳长比物体的尺寸 ，物体可以看作 ，这样的装置可以看作单摆。
说明：单摆是实际摆的理想模型，若单摆的摆角小于5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。
伸缩和质量
大很多
质点
2.单摆的回复力
来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝ 。
特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 。
mgsin θ
正比
平衡位置
讨论与交流
在摆角很小的情况下，试推导回复力与位移的关系来证明单摆的运动是简谐运动。
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(2)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( )
×
×
图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，不计阻力，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
例1
√
摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；
摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t1和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的回复力正在增大
例2
√
√
由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；
t1时刻摆球在远离平衡位置，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t1和t3时刻摆球速度方向不相同，故B错误；
t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；
t4时刻摆球正远离平衡位置，回复力正在增大，故D正确。
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单摆的周期
二
用如图所示的实验装置探究影响单摆周期的因素。影响单摆周期的因素可能有单摆摆长(细绳的质量忽略)、小球的质量(小球的体积可以忽略)、摆角等，试分析以下问题：
(1)根据以上猜想，该实验应采取什么研究方法？
答案 控制变量法。
(2)在测量单摆的周期时，采用什么样的方法可以减小误差？以哪个位置作为起点更方便计时和减小误差？
答案 可以多次测量取平均值来减小周期的测量误差；以单摆的平衡位置(最低点)作为起点更方便计时和减小误差。
(3)下表为某次在探究摆角很小的情况下周期与摆长关系的实验数据，请在表中填上第3次实验所测得的周期，并说一说你得到怎样的结论。
答案 2.01 在摆角很小的情况下，单摆的周期与摆长有关，摆长越长，单摆的周期越大。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动所用时间 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
梳理与总结
1.在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角 ，与单摆摆长 。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家 首先提出的。
(2)公式：T＝_________，即周期T跟摆长L的二次方根成 ，跟重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 。
无关
有关
惠更斯
正比
反比
无关
讨论与交流
1.(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来，甲摆的等效摆长_____乙摆的摆长，用图中信息表示甲摆的等效摆长： 。
(2)图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长 甲摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长： ；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长 丙摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长： 。
等于
lsin α
等于
l1＋l2sin θ
等于
l1
周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
例3
它在月球上做50次全振动所用的时间为
如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h已知t1＝2t2，OA、PC与OB之间的夹角很小。则OP的长
度为
针对训练
√
由于OA、PC与OB之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是简谐运动，
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单摆模型的拓展
三
1.类单摆模型
除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球的运动可以看成简谐运动，T
＝ 。
(2023·钦州市高二期中)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。不计空气阻力，则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是
A乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
例4
√
2.不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系统 g等效＝g－a
g等效＝g＋a
情景 等效重力加速度
电场中
g等效＝g
如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动，关于它们的周期关系，下列判断正确的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙＝T丙>T丁
D.T甲例5
√
题图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g甲＝gsin θ；题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力，即g乙＝g；题图丙为标准单摆，则g丙＝g；题图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁＝g＋a，由单摆做简谐运动的周期公式知T甲>T乙＝T丙>T丁，选项C正确。
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课时对点练
四
基础对点练
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考点一 单摆及其回复力
1.(多选)下列有关单摆的说法，正确的是
A.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B.单摆的摆动一定是简谐运动
C.若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是
简谐运动
D.单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大
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一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；
若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；
2.关于单摆的运动，以下说法正确的是
A.单摆运动时，摆球受到大小不变的向心力
B.单摆运动时，摆球所受到的合力为回复力
C.摆球运动到平衡位置时，所受到的回复力为零
D.摆球运动到平衡位置时，所受到的合力为零
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单摆运动时，速度大小不断变化，摆球所需向心力大小不断变化，故A错误；
单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，故B错误；
摆球运动到平衡位置时，回复力为零，合力不为零，合力方向竖直向上，故C正确，D错误。
考点二 单摆的周期公式
3.如图所示为演示简谐振动的沙摆，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M>m，在沙子逐渐漏完的过程中，摆的周期
A.不变 B.先变大后变小
C.先变小后变大 D.逐渐变大
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由题可知，M>m，当沙子逐渐漏完的过程中，沙筒的重心先下降后升高，则该沙摆的摆长先增大后减小，
4.(多选)(2024·广州市高二期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1.0 m
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变
D.t＝0时刻，摆球位于B点
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t＝0时刻，由题图乙可知，摆球位于负向最大位移处，图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确。
5.如图所示，500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省，是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法：假设FAST内表面是光滑的球面，他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放，用秒表测出它完成n次全振动的时间t，如果当地重力加速度为g，将小球的运动视为简谐运动，则FAST的球面半径R为
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6.(多选)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图所示，可知
A.甲、乙两单摆的周期之比为2∶1
B.甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C.0.5～1.0 s时间内，甲的摆球的速度减小
D.t＝0.5 s时甲的摆球势能最大，乙的摆球
动能最大
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由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为2.0 s、1.0 s，则周期之比为2∶1，A正确；
t＝0.5 s时，甲单摆的摆球在正向最大位移处，甲单摆的摆球的势能最大，乙单摆的摆球的位移为0，处在平衡位置，速度最大，则乙单摆的摆球的动能最大，D正确。
7.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球。(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g)求：
(1)让小球在纸面内摆动，周期为多少；
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(2)让小球在垂直纸面方向摆动，周期为多少。
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8.(多选)(2023·广州市第二中学高二期中)如图所示，长轻绳L1一端系于O点，另一端系小球1，在O点正下方P点有一钉子，下端通过轻绳L2系小球2静止于点B，两小球完全相同。现将小球1拉至A点由静止释放，小球1摆至最低点B时与小球2发生弹性碰撞，小球2继续向右摆至最高点C。整个过程中，小球摆角始终小于5°，不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是
A.小球1从A点至B点过程中回复力变大
B.碰后瞬间L2的张力大于碰前L1的张力
C.C点与A点在同一高度
D.小球2从B到C所用的时间等于小球1从A点到B点的时间
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能力综合练
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由于小球1和小球2完全相同，且发生弹性碰撞，两小球碰撞后速度互换，因此可以等效为全程只有小球1从A摆动到C，单摆近似为简谐运动，因此回复力大小与小球1到平衡位置(即B点)的位移成正比，因此从A到B，位移减小，回复力变小，故A错误；
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不计空气阻力和摩擦，小球1在A到C的过程中，机械能守恒，故能达到同样的高度，即C点与A点在同一高度，故C正确；
9.如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为
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因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆，
10.(多选)固定光滑圆弧面上有一个小球，将它从最低点移开一小段距离，t＝0时刻将小球由静止释放，小球以最低点为平衡位置左右振动。已知圆弧半径R＝1 m，小球半径r R，当地的重力加速度大小g＝9.8 m/s2，π2≈9.8，下列哪些时刻小球运动到最低点
A.0.5 s B.1 s
C.1.5 s D.2 s
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11.(2023·佛山市高二月考)如图甲所示，有一悬挂在O点的单摆，将小球(可视为质点)拉到A点后释放，小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，已知B点为小球运动中的最低点，A、C两点为小球运动中的最高点，摆角为α(α<5°)，在O点接有一力传感器，图乙表示从某时刻开始计时，由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线，由力传感器测得最小拉力为F2，图中
F2、t0已知，当地重力加速度大小为g，
不计阻力，求：
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尖子生选练
(1)单摆的周期T和摆长L；
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由题图乙可知，单摆周期为T＝2t0
(2)小球的质量m；
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小球在A点时拉力最小，则有F2＝mgcos α
(3)力传感器测出的拉力的最大值F1。
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小球在平衡位置B点时拉力最大，
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