第三节 单摆
1~6题每题7分,7题14分,共56分
考点一 单摆及其回复力
1.(多选)下列有关单摆的说法,正确的是( )
A.一根橡皮筋一端系在悬点,另一端连接一个小球,可以构成一个单摆
B.单摆的摆动一定是简谐运动
C.若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是简谐运动
D.单摆做简谐运动时,摆长越长,其运动周期越大
2.关于单摆的运动,以下说法正确的是( )
A.单摆运动时,摆球受到大小不变的向心力
B.单摆运动时,摆球所受到的合力为回复力
C.摆球运动到平衡位置时,所受到的回复力为零
D.摆球运动到平衡位置时,所受到的合力为零
考点二 单摆的周期公式
3.如图所示为演示简谐振动的沙摆,沙筒的质量为m,沙子的质量为M,M>m,在沙子逐渐漏完的过程中,摆的周期( )
A.不变 B.先变大后变小
C.先变小后变大 D.逐渐变大
4.(多选)(2024·广州市高二期末)如图甲,小明做摆角较小的单摆实验,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的左右最远位置,小明通过实验测出当地重力加速度g=π2 m/s2,并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙,设图中单摆向右振动为正方向,则下列选项正确的是( )
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1.0 m
C.仅改变摆球质量,单摆周期不变
D.t=0时刻,摆球位于B点
5.如图所示,500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省,是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法:假设FAST内表面是光滑的球面,他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放,用秒表测出它完成n次全振动的时间t,如果当地重力加速度为g,将小球的运动视为简谐运动,则FAST的球面半径R为( )
A. B.
C. D.
6.(多选)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图所示,可知( )
A.甲、乙两单摆的周期之比为2∶1
B.甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C.0.5~1.0 s时间内,甲的摆球的速度减小
D.t=0.5 s时甲的摆球势能最大,乙的摆球动能最大
7.(14分)如图所示,三根细线在O点处打结,A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上,△AOB为直角三角形,∠BAO=30°,已知OC长为L,下端C点处系着一个小球。(忽略小球的半径,小球摆动时偏角θ<5°,重力加速度为g)求:
(1)(6分)让小球在纸面内摆动,周期为多少;
(2)(8分)让小球在垂直纸面方向摆动,周期为多少。
8~10题每题9分,共27分
8.(多选)(2023·广州市第二中学高二期中)如图所示,长轻绳L1一端系于O点,另一端系小球1,在O点正下方P点有一钉子,下端通过轻绳L2系小球2静止于点B,两小球完全相同。现将小球1拉至A点由静止释放,小球1摆至最低点B时与小球2发生弹性碰撞,小球2继续向右摆至最高点C。整个过程中,小球摆角始终小于5°,不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是( )
A.小球1从A点至B点过程中回复力变大
B.碰后瞬间L2的张力大于碰前L1的张力
C.C点与A点在同一高度
D.小球2从B到C所用的时间等于小球1从A点到B点的时间
9.如图所示,一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球,上端系在位于光滑斜面O处的钉子上,小球处于静止状态,细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度,使小球偏离平衡位置,最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ,悬点到小球球心的距离为L,重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为( )
A.π B.π
C.π D.π
10.(多选)固定光滑圆弧面上有一个小球,将它从最低点移开一小段距离,t=0时刻将小球由静止释放,小球以最低点为平衡位置左右振动。已知圆弧半径R=1 m,小球半径r R,当地的重力加速度大小g=9.8 m/s2,π2≈9.8,下列哪些时刻小球运动到最低点( )
A.0.5 s B.1 s C.1.5 s D.2 s
11.(17分)(2023·佛山市高二月考)如图甲所示,有一悬挂在O点的单摆,将小球(可视为质点)拉到A点后释放,小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动,已知B点为小球运动中的最低点,A、C两点为小球运动中的最高点,摆角为α(α<5°),在O点接有一力传感器,图乙表示从某时刻开始计时,由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线,由力传感器测得最小拉力为F2,图中F2、t0已知,当地重力加速度大小为g,不计阻力,求:
(1)(5分)单摆的周期T和摆长L;
(2)(5分)小球的质量m;
(3)(7分)力传感器测出的拉力的最大值F1。
第三节 单摆
1.CD [一根不可伸长的细绳一端系在悬点,另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆,橡皮筋受到拉力时形变量较大,连接小球构成的装置不可看成单摆,A错误;若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是简谐运动,B错误,C正确;根据单摆的周期公式T=2π可知,单摆做简谐运动时,摆长越长,其运动周期越大,D正确。]
2.C [单摆运动时,速度大小不断变化,摆球所需向心力大小不断变化,故A错误;单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力,故B错误;摆球运动到平衡位置时,回复力为零,合力不为零,合力方向竖直向上,故C正确,D错误。]
3.B [由题可知,M>m,当沙子逐渐漏完的过程中,沙筒的重心先下降后升高,则该沙摆的摆长先增大后减小,由单摆的周期公式T=2π可知,该摆的周期先变大后变小,故B正确,A、C、D错误。]
4.BCD [由题图乙可知,此单摆的周期为T=2 s,则此单摆的振动频率为f==0.5 Hz,故A错误;根据单摆周期公式T=2π,可得单摆的摆长为L==1.0 m,仅改变摆球质量,单摆周期不变,故B、C正确;t=0时刻,由题图乙可知,摆球位于负向最大位移处,图中单摆向右振动为正方向,则摆球位于B点,故D正确。]
5.A [小球做简谐运动的周期为T=,由单摆周期公式可知T=2π,联立解得FAST的球面半径为R=,故选A。]
6.AD [由题图知,甲、乙两单摆的周期分别为2.0 s、1.0 s,则周期之比为2∶1,A正确;由单摆周期公式T=2π,可得摆长L=,可知摆长L与T2成正比,因此甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1,B错误;0.5~1.0 s时间内,甲单摆的摆球从正向最大位移处向平衡位置运动,故甲单摆的摆球的速度增大,C错误;t=0.5 s时,甲单摆的摆球在正向最大位移处,甲单摆的摆球的势能最大,乙单摆的摆球的位移为0,处在平衡位置,速度最大,则乙单摆的摆球的动能最大,D正确。]
7.(1)2π (2)π
解析 (1)当小球在纸面内做小角度的摆动时,摆动圆弧的圆心为O点,摆长为L,故周期为T=2π
(2)当小球在垂直纸面方向做小角度的摆动时,圆心在A、B所在水平面上且在O点正上方,由几何关系知摆长为L′=(1+)L,故周期为
T′=2π=π。
8.BC [由于小球1和小球2完全相同,且发生弹性碰撞,两小球碰撞后速度互换,因此可以等效为全程只有小球1从A摆动到C,单摆近似为简谐运动,因此回复力大小与小球1到平衡位置(即B点)的位移成正比,因此从A到B,位移减小,回复力变小,故A错误;经过B点瞬间,速度不变,圆周运动半径变小,根据F合=F张-mg=m可知,合力突然变大,即绳子的张力变大,故B正确;不计空气阻力和摩擦,小球1在A到C的过程中,机械能守恒,故能达到同样的高度,即C点与A点在同一高度,故C正确;根据T=2π,摆长越大,周期越大,则小球1从A点摆至B点的时间较长,故D错误。]
9.C [因为小球偏离平衡位置,最大偏角小于5°,小球的运动可以看作单摆,根据牛顿第二定律及单摆的周期公式有mgsin θ=ma,T=2π,小球回到最低点所需的最短时间为t=,解得t=π,故选C。]
10.AC [小球的运动可等效为单摆,摆动周期T=2π=2 s,小球从左侧最大位移处释放,在T(n=0,1,2,3,…)的时刻经过最低点,所以0.5 s和1.5 s时小球均经过最低点,故B、D错误,A、C正确。]
11.(1)2t0 (2)
(3)F2
解析 (1)由题图乙可知,单摆周期为T=2t0
由单摆周期公式T=2π
解得L=
(2)小球在A点时拉力最小,
则有F2=mgcos α
解得m=
(3)小球在平衡位置B点时拉力最大,
根据牛顿第二定律有F1-mg=m
小球从A到B过程,由动能定理得mgL(1-cos α)=mv2
解得F1=F2第三节 单摆
[学习目标]1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素,能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题(重难点)。
一、单摆及其回复力
如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角,然后释放,小球在A、A′间来回摆动,不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用?
(2)什么力提供向心力?什么力提供回复力?
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零,合外力也为零吗?
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1.单摆:如果悬挂物体的绳子的__________可以忽略不计,绳长比物体的尺寸__________,物体可以看作__________,这样的装置可以看作单摆。
说明:单摆是实际摆的理想模型,若单摆的摆角小于5°,单摆的摆动可近似看成简谐运动。
2.单摆的回复力
来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力,即F=__________。
特点:在摆角很小时,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__________,方向总指向__________。
在摆角很小的情况下,试推导回复力与位移的关系来证明单摆的运动是简谐运动。
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(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(2)单摆摆动到最高点时速度为零,合外力也为零。( )
例1 图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,不计阻力,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中( )
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力也为零
C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
例2 (多选)如图所示为一单摆的振动图像,则( )
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t1和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的回复力正在增大
二、单摆的周期
用如图所示的实验装置探究影响单摆周期的因素。影响单摆周期的因素可能有单摆摆长(细绳的质量忽略)、小球的质量(小球的体积可以忽略)、摆角等,试分析以下问题:
(1)根据以上猜想,该实验应采取什么研究方法?
(2)在测量单摆的周期时,采用什么样的方法可以减小误差?以哪个位置作为起点更方便计时和减小误差?
(3)下表为某次在探究摆角很小的情况下周期与摆长关系的实验数据,请在表中填上第3次实验所测得的周期,并说一说你得到怎样的结论。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动所用时间 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
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1.在摆角很小的情况下,单摆的周期与小球质量和摆角________,与单摆摆长________。
2.周期公式
(1)提出:周期公式是荷兰物理学家__________首先提出的。
(2)公式:T=__________________,即周期T跟摆长L的二次方根成__________,跟重力加速度g的二次方根成__________,而与振幅、摆球质量__________。
1.(1)图(a)中,甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来,甲摆的等效摆长____________乙摆的摆长,用图中信息表示甲摆的等效摆长:____________。
(2)图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,其等效摆长____________甲摆的摆长,用图中信息表示乙摆的等效摆长:________________________;乙在纸面内小角度摆动时,等效摆长____________丙摆的摆长,用图中信息表示乙摆的等效摆长:____________。
2.类比弹簧振子做简谐运动的回复力F=-kx,单摆的类似于弹簧振子的k,结合单摆的周期公式,试用m、k表示出弹簧振子的周期公式。
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例3 周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长是多少?把一个地球上的秒摆拿到月球上去,它在月球上做50次全振动要用多少时间?已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2,π2取9.8。
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针对训练 如图所示,长度为L的轻绳上端固定在O点,下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处,轻绳被拉直,然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置,点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h,hA.L B.L C.L D.L
三、单摆模型的拓展
1.类单摆模型
除了前面学习的单摆模型,有些物体的运动规律与单摆的运动类似,该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球,在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下,小球的运动可以看成简谐运动,T=2π。
例4 (2023·钦州市高二期中)如图所示,光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放,开始时,甲球比乙球离槽最低点O远些,丙球在槽的圆心处。不计空气阻力,则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是( )
A乙先到,然后甲到,丙最后到
B.丙先到,然后甲、乙同时到
C.丙先到,然后乙到,甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
2.不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中,单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度,其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系统 g等效=g-a
g等效=g+a
电场中 g等效=
g等效=
g等效=g
例5 如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动,关于它们的周期关系,下列判断正确的是( )
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁
D.T甲答案精析
一、
易错辨析
(1)× (2)×
例1 C [摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A错误;摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C正确,B、D错误。]
例2 AD [由题图可知,t1和t3时刻摆球的位移相等,根据对称性可知单摆振动的速度大小相等,故摆线拉力大小相等,故A正确;t1时刻摆球在远离平衡位置,t3时刻摆球向平衡位置运动,所以t1和t3时刻摆球速度方向不相同,故B错误;t3时刻摆球正衡位置,速度正在增大,故C错误;t4时刻摆球正远离平衡位置,回复力正在增大,故D正确。]
二、
例3 1 m 175 s
解析 根据单摆周期公式
T=2π可得L=,
代入数据解得L= m=1 m
秒摆搬到月球上,其与地球上的秒摆的周期关系为=
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t=50T′=50T=50×2× s=175 s。
针对训练 B [由于OA、PC与OB之间的夹角很小,所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是简谐运动,根据单摆周期公式
T=2π,有t1=×2π,
t2=×2π,t1=2t2,
所以PB=L,OP=L-PB=L,
选项A、C、D错误,B正确。]
例4 B [对于丙球,根据自由落体运动规律有R=gt32,解得t3=,对于甲、乙两球,做简谐运动,其运动周期均为T=2π,甲、乙两球第一次到达点O时运动周期,则t1=t2==>t3,故丙先到,然后甲、乙同时到,故选B。]
例5 C [题图甲中,当摆球偏离平衡位置时,重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力,即单摆的等效重力加速度g甲=gsin θ;题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直,不影响回复力,即g乙=g;题图丙为标准单摆,则g丙=g;题图丁摆球处于超重状态,等效重力增大,故等效重力加速度增大,g丁=g+a,由单摆做简谐运动的周期公式知T甲>T乙=T丙>T丁,选项C正确。](共61张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第三节 单摆
1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源(重点)。
2.知道影响单摆周期的因素,能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题(重难点)。
学习目标
内容索引
一、单摆及其回复力
二、单摆的周期
课时对点练
三、单摆模型的拓展
单摆及其回复力
一
如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角,然后释放,小球在A、A′间来回摆动,不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用?
答案 小球受重力和细线的拉力作用。
(2)什么力提供向心力?什么力提供回复力?
答案 细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零,合外力也为零吗?
答案 小球经过平衡位置时还有向心力,其合外力
不为零。
梳理与总结
1.单摆:如果悬挂物体的绳子的 可以忽略不计,绳长比物体的尺寸 ,物体可以看作 ,这样的装置可以看作单摆。
说明:单摆是实际摆的理想模型,若单摆的摆角小于5°,单摆的摆动可近似看成简谐运动。
伸缩和质量
大很多
质点
2.单摆的回复力
来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力,即F= 。
特点:在摆角很小时,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ,方向总指向 。
mgsin θ
正比
平衡位置
讨论与交流
在摆角很小的情况下,试推导回复力与位移的关系来证明单摆的运动是简谐运动。
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(2)单摆摆动到最高点时速度为零,合外力也为零。( )
×
×
图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,不计阻力,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力也为零
C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
例1
√
摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A错误;
摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C正确,B、D错误。
(多选)如图所示为一单摆的振动图像,则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t1和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的回复力正在增大
例2
√
√
由题图可知,t1和t3时刻摆球的位移相等,根据对称性可知单摆振动的速度大小相等,故摆线拉力大小相等,故A正确;
t1时刻摆球在远离平衡位置,t3时刻摆球向平衡位置运动,所以t1和t3时刻摆球速度方向不相同,故B错误;
t3时刻摆球正衡位置,速度正在增大,故C错误;
t4时刻摆球正远离平衡位置,回复力正在增大,故D正确。
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单摆的周期
二
用如图所示的实验装置探究影响单摆周期的因素。影响单摆周期的因素可能有单摆摆长(细绳的质量忽略)、小球的质量(小球的体积可以忽略)、摆角等,试分析以下问题:
(1)根据以上猜想,该实验应采取什么研究方法?
答案 控制变量法。
(2)在测量单摆的周期时,采用什么样的方法可以减小误差?以哪个位置作为起点更方便计时和减小误差?
答案 可以多次测量取平均值来减小周期的测量误差;以单摆的平衡位置(最低点)作为起点更方便计时和减小误差。
(3)下表为某次在探究摆角很小的情况下周期与摆长关系的实验数据,请在表中填上第3次实验所测得的周期,并说一说你得到怎样的结论。
答案 2.01 在摆角很小的情况下,单摆的周期与摆长有关,摆长越长,单摆的周期越大。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动所用时间 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
梳理与总结
1.在摆角很小的情况下,单摆的周期与小球质量和摆角 ,与单摆摆长 。
2.周期公式
(1)提出:周期公式是荷兰物理学家 首先提出的。
(2)公式:T=_________,即周期T跟摆长L的二次方根成 ,跟重力加速度g的二次方根成 ,而与振幅、摆球质量 。
无关
有关
惠更斯
正比
反比
无关
讨论与交流
1.(1)图(a)中,甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来,甲摆的等效摆长_____乙摆的摆长,用图中信息表示甲摆的等效摆长: 。
(2)图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,其等效摆长 甲摆的摆长,用图中信息表示乙摆的等效摆长: ;乙在纸面内小角度摆动时,等效摆长 丙摆的摆长,用图中信息表示乙摆的等效摆长: 。
等于
lsin α
等于
l1+l2sin θ
等于
l1
周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长是多少?把一个地球上的秒摆拿到月球上去,它在月球上做50次全振动要用多少时间?已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2,π2取9.8。
例3
它在月球上做50次全振动所用的时间为
如图所示,长度为L的轻绳上端固定在O点,下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处,轻绳被拉直,然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置,点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h,h已知t1=2t2,OA、PC与OB之间的夹角很小。则OP的长
度为
针对训练
√
由于OA、PC与OB之间的夹角很小,所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是简谐运动,
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单摆模型的拓展
三
1.类单摆模型
除了前面学习的单摆模型,有些物体的运动规律与单摆的运动类似,该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球,在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下,小球的运动可以看成简谐运动,T
= 。
(2023·钦州市高二期中)如图所示,光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放,开始时,甲球比乙球离槽最低点O远些,丙球在槽的圆心处。不计空气阻力,则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是
A乙先到,然后甲到,丙最后到
B.丙先到,然后甲、乙同时到
C.丙先到,然后乙到,甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
例4
√
2.不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中,单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度,其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景 等效重力加速度
超失重系统 g等效=g-a
g等效=g+a
情景 等效重力加速度
电场中
g等效=g
如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动,关于它们的周期关系,下列判断正确的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁
D.T甲例5
√
题图甲中,当摆球偏离平衡位置时,重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力,即单摆的等效重力加速度g甲=gsin θ;题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直,不影响回复力,即g乙=g;题图丙为标准单摆,则g丙=g;题图丁摆球处于超重状态,等效重力增大,故等效重力加速度增大,g丁=g+a,由单摆做简谐运动的周期公式知T甲>T乙=T丙>T丁,选项C正确。
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课时对点练
四
基础对点练
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考点一 单摆及其回复力
1.(多选)下列有关单摆的说法,正确的是
A.一根橡皮筋一端系在悬点,另一端连接一个小球,可以构成一个单摆
B.单摆的摆动一定是简谐运动
C.若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是
简谐运动
D.单摆做简谐运动时,摆长越长,其运动周期越大
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一根不可伸长的细绳一端系在悬点,另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆,橡皮筋受到拉力时形变量较大,连接小球构成的装置不可看成单摆,A错误;
若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是简谐运动,B错误,C正确;
2.关于单摆的运动,以下说法正确的是
A.单摆运动时,摆球受到大小不变的向心力
B.单摆运动时,摆球所受到的合力为回复力
C.摆球运动到平衡位置时,所受到的回复力为零
D.摆球运动到平衡位置时,所受到的合力为零
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单摆运动时,速度大小不断变化,摆球所需向心力大小不断变化,故A错误;
单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力,故B错误;
摆球运动到平衡位置时,回复力为零,合力不为零,合力方向竖直向上,故C正确,D错误。
考点二 单摆的周期公式
3.如图所示为演示简谐振动的沙摆,沙筒的质量为m,沙子的质量为M,M>m,在沙子逐渐漏完的过程中,摆的周期
A.不变 B.先变大后变小
C.先变小后变大 D.逐渐变大
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由题可知,M>m,当沙子逐渐漏完的过程中,沙筒的重心先下降后升高,则该沙摆的摆长先增大后减小,
4.(多选)(2024·广州市高二期末)如图甲,小明做摆角较小的单摆实验,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的左右最远位置,小明通过实验测出当地重力加速度g=π2 m/s2,并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙,设图中单摆向右振动为正方向,则下列选项正确的是
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1.0 m
C.仅改变摆球质量,单摆周期不变
D.t=0时刻,摆球位于B点
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t=0时刻,由题图乙可知,摆球位于负向最大位移处,图中单摆向右振动为正方向,则摆球位于B点,故D正确。
5.如图所示,500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省,是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法:假设FAST内表面是光滑的球面,他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放,用秒表测出它完成n次全振动的时间t,如果当地重力加速度为g,将小球的运动视为简谐运动,则FAST的球面半径R为
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6.(多选)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图所示,可知
A.甲、乙两单摆的周期之比为2∶1
B.甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C.0.5~1.0 s时间内,甲的摆球的速度减小
D.t=0.5 s时甲的摆球势能最大,乙的摆球
动能最大
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由题图知,甲、乙两单摆的周期分别为2.0 s、1.0 s,则周期之比为2∶1,A正确;
t=0.5 s时,甲单摆的摆球在正向最大位移处,甲单摆的摆球的势能最大,乙单摆的摆球的位移为0,处在平衡位置,速度最大,则乙单摆的摆球的动能最大,D正确。
7.如图所示,三根细线在O点处打结,A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上,△AOB为直角三角形,∠BAO=30°,已知OC长为L,下端C点处系着一个小球。(忽略小球的半径,小球摆动时偏角θ<5°,重力加速度为g)求:
(1)让小球在纸面内摆动,周期为多少;
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(2)让小球在垂直纸面方向摆动,周期为多少。
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8.(多选)(2023·广州市第二中学高二期中)如图所示,长轻绳L1一端系于O点,另一端系小球1,在O点正下方P点有一钉子,下端通过轻绳L2系小球2静止于点B,两小球完全相同。现将小球1拉至A点由静止释放,小球1摆至最低点B时与小球2发生弹性碰撞,小球2继续向右摆至最高点C。整个过程中,小球摆角始终小于5°,不计空气阻力和摩擦。下列说法正确的是
A.小球1从A点至B点过程中回复力变大
B.碰后瞬间L2的张力大于碰前L1的张力
C.C点与A点在同一高度
D.小球2从B到C所用的时间等于小球1从A点到B点的时间
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能力综合练
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由于小球1和小球2完全相同,且发生弹性碰撞,两小球碰撞后速度互换,因此可以等效为全程只有小球1从A摆动到C,单摆近似为简谐运动,因此回复力大小与小球1到平衡位置(即B点)的位移成正比,因此从A到B,位移减小,回复力变小,故A错误;
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不计空气阻力和摩擦,小球1在A到C的过程中,机械能守恒,故能达到同样的高度,即C点与A点在同一高度,故C正确;
9.如图所示,一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球,上端系在位于光滑斜面O处的钉子上,小球处于静止状态,细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度,使小球偏离平衡位置,最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ,悬点到小球球心的距离为L,重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为
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因为小球偏离平衡位置,最大偏角小于5°,小球的运动可以看作单摆,
10.(多选)固定光滑圆弧面上有一个小球,将它从最低点移开一小段距离,t=0时刻将小球由静止释放,小球以最低点为平衡位置左右振动。已知圆弧半径R=1 m,小球半径r R,当地的重力加速度大小g=9.8 m/s2,π2≈9.8,下列哪些时刻小球运动到最低点
A.0.5 s B.1 s
C.1.5 s D.2 s
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11.(2023·佛山市高二月考)如图甲所示,有一悬挂在O点的单摆,将小球(可视为质点)拉到A点后释放,小球在同一竖直平面内的A、B、C之间来回摆动,已知B点为小球运动中的最低点,A、C两点为小球运动中的最高点,摆角为α(α<5°),在O点接有一力传感器,图乙表示从某时刻开始计时,由力传感器测出的细线对小球的拉力大小F随时间t变化的曲线,由力传感器测得最小拉力为F2,图中
F2、t0已知,当地重力加速度大小为g,
不计阻力,求:
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尖子生选练
(1)单摆的周期T和摆长L;
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由题图乙可知,单摆周期为T=2t0
(2)小球的质量m;
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小球在A点时拉力最小,则有F2=mgcos α
(3)力传感器测出的拉力的最大值F1。
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小球在平衡位置B点时拉力最大,
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