第四节 用单摆测量重力加速度
1～3题每题18分，4题16分，5题16分，6题14分，共100分
1．(18分)某同学用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。
甲
(1)(3分)对测量原理的理解正确的是________；
A．由g＝可知，T一定时，g与l成正比
B．由g＝可知，l一定时，g与T2成反比
C．单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由g＝可算出当地的重力加速度
(2)(3分)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材________；
A．长度为10 cm左右的细绳
B．长度为100 cm左右的细绳
C．直径为1.8 cm的钢球
D．直径为1.8 cm的木球
E．最小刻度为1 mm的米尺
F．秒表、铁架台
(3)(3分)以下为必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。
①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到______的距离；
②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖直面内摆动，测量单摆全振动30～50次的时间，求出一次全振动的时间，即单摆振动的周期；
③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期；
④根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由图像计算重力加速度。
(4)(6分)若用秒表测得了40次全振动的时间如图乙所示，则单摆的摆动周期是________s；若实验得到的g值偏大，可能是因为________；
乙
A．组装单摆时，选择的摆球质量偏大
B．测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C．测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动
(5)(3分)该同学利用假期分别在北京和广州两地做了此实验，比较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，然后将这两组实验数据绘制了T2－l图像，如图丙所示，在北京测得的实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)。
丙
2．(18分)某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)(3分)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。
A．最高点 B．最低点 C．任意位置
(2)(3分)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)。
(3)(9分)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)。
(4)(3分)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
3．(18分)(2023·江门市新会一中高二期中)在用“单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)(3分)下面叙述正确的是________。(选填选项前的字母)
A．1 m和30 cm长度不同的同种细线，选用30 cm的细线做摆线
B．直径为1.8 cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图甲、乙，摆线上端的两种悬挂方式，选甲方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时并记为n＝0,50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
(2)(3分)若用游标卡尺测得小球的直径如图丙所示，则d＝________ mm。
(3)(3分)若测出单摆的周期T、摆线长r，则当地的重力加速度g＝________。(用测出的物理量表示)
(4)(9分)若在某次实验中，由于没有游标卡尺，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和L的数据，作出l－T2图像，如图丁所示，实验得到的l－T2图像是________(选填“a”“b”或“c”)。根据所选的正确的l－T2图像可知，小球的直径为________ cm，当地重力加速度为________ m/s2。(保留2位有效数字)
4．(16分)(2023·佛山市高二期末)智能手机自带许多传感器，某同学想到使用其中的磁感应强度传感器，结合单摆原理测量当地的重力加速度。具体操作如下：
(1)(4分)用游标卡尺测量小钢球的直径d，测得结果如图甲所示，其读数d＝________ mm；
(2)将细绳一端固定在O点，另一端系一小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L；
(3)如图乙所示，将强磁铁吸附于小钢球下侧，在单摆的正下方放置一手机，打开手机中测量磁感应强度的应用软件；
(4)(4分)使单摆小角度摆动，每当钢球经过手机时，磁传感器会采集到一个磁感应强度的峰值。采集到磁感应强度随时间变化的图像如图丙，由图得单摆的周期T＝________ s(保留两位有效数字)；
(5)(4分)若该同学把O点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表达式可表示为g＝________(用L、d、T表示)；
(6)(4分)根据以上操作，该同学实验得出重力加速度值与当地重力加速度相比会________(填“偏大”“偏小”或“相等”)。
5．(16分)(2023·茂名市高二期末)如图甲所示的曲面玻璃在建筑领域应用广泛，通常被应用于玻璃外墙、弧形楼梯、浴室等场景。现有一柱面形状的圆弧玻璃，某实验小组设计实验，应用单摆周期公式测量其截面的半径，实验器材有：待测曲面玻璃一块(柱面形状，弧形玻璃截面半径R约为1 m)、秒表、光滑的小铁球等。实验步骤如下：
(1)(4分)用游标卡尺测量小铁球的直径，读数如图丙所示，则小铁球直径d＝________ cm。
(2)将曲面玻璃凸面朝下固定在水平地面上，形成曲面凹槽，其垂直轴线的竖直截面如图乙所示，将小球静止在凹槽底部，记录其静止时的平衡位置O。
(3)(4分)将小铁球由靠近玻璃底部的某位置由静止释放，在平衡位置按下秒表开始计时，同时数下数字“0”，若同方向再次经过该位置时记为“1”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出振动周期T＝________。
(4)(4分)若重力加速度大小为g，用测得的数据表示弧形玻璃的截面半径R＝________(用测得物理量的字母表示)。
(5)(4分)若在计时时将全振动的次数多数了一次，则弧形玻璃截面半径R的测量值将________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
6．(14分)(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)(6分)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)(2分)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘
上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)(6分)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
第四节 用单摆测量重力加速度
1．(1)C (2)BCEF (3)①摆球球心
(4)1.88 C (5)B
解析 (1)由T＝2π
得g＝
测出单摆的摆长l与周期T，可以求出重力加速度，且重力加速度与地理位置有关，与l、T均无关，故选C。
(2)为减小实验误差，应选择适当长些的细绳做摆线，故A错误，B正确；
为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的球做摆球，故C正确，D错误；
实验需要测量摆长，需要用到刻度尺，实验需要测量单摆的周期，测周期需要秒表，应把单摆固定在铁架台上，故E、F正确。
(3)①摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测量单摆的摆长，应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离；
(4)由题图乙可得时间为
t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s
所以周期为T＝ s＝1.88 s
根据T＝2π，解得g＝
单摆周期与摆球质量无关，组装单摆时，选择的摆球质量偏大不会导致g的测量值偏大，故A错误；
测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长，所测摆长偏小，所测g值偏小，故B错误；
测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动，所测周期T偏小，所测g值偏大，故C正确。
(5)根据T＝2π，解得T2＝l
图像的斜率k＝，则g＝
图像的斜率越小，重力加速度越大，由于北京的重力加速度大于广州的重力加速度，因此在北京所做实验作出的T2－l图像的斜率小于在广州所做实验作出的T2－l图像的斜率，由题图丙可知，图线B的斜率小于图线A的斜率，因此在北京测得的实验结果对应的图线是B。
2．(1)B (2)2.28 (3)0.991 5 2.075
1．00 (4)
解析 (1)为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在平衡位置处做标记，即最低点。
(2)用秒表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为个周期，故为29T，根据秒表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s，代入数据解得，此单摆的周期约为2.28 s。
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为
99．15 cm＝0.991 5 m，
用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为
L＝(0.991 5＋) m≈1.00 m。
(4)根据T＝2π可知g＝。
3．(1)B (2)19.90 (3) (4)c 1.3 9.9
解析 (1)1 m和30 cm长度不同的同种细线，选用1 m的细线做摆线可减小误差，故A错误；直径为1.8 cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，可减小空气阻力的影响，故B正确；实验时，运用甲悬挂方式，单摆在摆动的过程中，摆长在变化，对测量有影响，乙悬挂方式，摆长不变，故C错误；当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以25作为单摆振动的周期，故D错误。
(2)用游标卡尺测得小球的直径d＝19 mm＋18×0.05 mm＝19.90 mm。
(3)根据单摆的周期公式
T＝2π，其中有L＝r＋，
代入解得g＝。
(4)由于实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，
则有l＝T2＋，
由上式可得，实验得到的l－T2图像是c。由图像可知＝0.65 cm，
所以得d＝1.3 cm，
由直线的斜率k＝，通过图线计算斜率，解得g＝9.9 m/s2。
4．(1)10.2 (4)2.0 (5)
(6)偏小
解析 (1)根据题图甲可知，该游标卡尺的游标尺为10分度值，则可知精度为0.1 mm，且游标尺第2格与主尺刻度线对齐，而主尺读数为10 mm，则可知小钢球的直径
d＝10 mm＋2×0.1 mm＝10.2 mm；
(4)当磁场最强时，摆球在手机的正上方，即单摆的最低点，根据磁感应强度随时间变化的图像，可知相邻两次磁场最强的时间为单摆的半个周期，由此可得单摆的周期为T＝2.0 s；
(5)由题意可知，单摆的摆长为l＝L＋，根据单摆的周期公式
T＝2π，可得g＝；
(6)单摆的回复力来自重力的分量，当摆球下方吸附磁铁后，整体不再是规则的几何形状，摆球的重心不再是其几何中心，相应的下移，若仍然用O点到摆球几何中心的距离作为摆长，则根据重力加速度与摆长的关系式可知，所测重力加速度将偏小。
5．(1)1.20 (3) (4)g()2＋
(5)偏小
解析 (1)由题图丙中主尺及游标尺的示数可知小球直径
d＝1.1 cm＋0.01 cm×10＝1.20 cm
(3)从小铁球经过平衡位置开始计时，0～t时间内同方向经过平衡位置30次，则小铁球的振动周期T＝
(4)振动周期T＝2π，其中T＝、l＝R－，则弧形玻璃的截面半径R＝＋＝g()2＋
(5)若在计时时将全振动的次数多数了一次，则周期T将偏小，由(4)可知弧形玻璃截面半径R的测量值将偏小。
6．(1)0.006 20.035 20.029
(2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
解析 (1)题图(a)读数为
0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；
题图(b)读数为
20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm；
则摆球的直径为
20．035 mm－0.006 mm＝20.029 mm
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到第61次经过最低点经过了30个周期，
则T＝ s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π，
可得g＝≈9.83 m/s2。第四节 用单摆测量重力加速度
[学习目标]1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义(重点)。2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重难点)。3.能正确熟练地使用游标卡尺和秒表(重点)。
一、实验思路
1．实验原理
由T＝__________，得g＝__________，则测出单摆的摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。
2．物理量的测量
摆长L：摆长是摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬挂点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
周期T：用秒表测出单摆做多次全振动的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。
二、实验装置
1．实验装置如图所示
2．实验器材
带有铁夹的铁架台，金属小球(有孔)、__________、细丝线(1 m左右)、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等。
三、进行实验
1．将细线穿过金属小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的结，制成一个单摆。
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂，在单摆________处做上标记。
3．用刻度尺量出悬线长度L0(精确到1 mm)，用游标卡尺测量摆球的直径d，则摆长为L＝______________。
4．把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度，角度__________，由静止释放摆球。摆球经过最低点(平衡位置)时，用秒表开始计时，测出单摆完成30～50次全振动的时间t(设全振动次数为n)，计算出平均完成一次全振动所用的时间，即为单摆的振动周期T＝__________。
5．改变摆长，反复做几次实验，将一系列的测量值填入表格。
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如表所示的实验表格
实验次数 1 2 3 4 5 …
摆线长度L0/m
摆球直径d/m
摆长L/m
全振动次数n
振动时间t/s
振动周期T＝
重力加速度g
重力加速度的平均值＝(g1＋g2＋…＋gn)
2.图像法：由T＝2π得T2＝__________，以T2为纵坐标，以L为横坐标建立坐标系，根据表中的数据作出T2－L图像(如图所示)。其斜率k＝__________，由图像的斜率即可求出重力加速度g＝。
五、误差分析
1．来源：
本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。
本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
2．分析
(1)测量摆长时引起的误差
①若在未悬挂摆球前测量了摆长、摆线拉得过紧、测量了摆线长后却误加了直径等，会使测量的摆长偏大；
②若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，测量了摆线长漏加了摆球半径等，使测量的摆长偏小。
(2)测量周期时引起的误差
①由于测量全振动次数错误造成误差。
②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。
③计算单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
六、注意事项
1．选择细而不易被拉长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2．单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上。
3．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不能超过5°。
4．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
例1 用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用____(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后，摆球每从同一方向经过最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T＝
例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为______ cm，则单摆的摆长为______ cm；然后用秒表记录了单摆50次全振动所用的时间如图乙所示，为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2。
例3 (2023·广州市高二期末)(1)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中：如果实验时用的摆球质量分布不均匀，则无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1，测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，可求得g值为________。
A. B.
C. D.
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2－L的关系图像(如图所示)，根据图中数据，可算出重力加速度的值为_________m/s2(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)，从理论上分析，他求得的重力加速度g______真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
拓展 改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2－L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值______(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
例4 (2024·佛山市高二期中)某同学用一条长度为l的细线按如图甲方式悬挂一个小铁球(忽略打结对细线长度的影响)，以此测量当地的重力加速度。
(1)测量细线两悬挂点间距x；
(2)为了使小球做简谐运动，应该使小球_________(填“前后”或“左右”)摆动，摆动角度α应满足_________(填“大于”或“小于”)5°；
(3)使用计时器测量周期，当小球第10次经过最低点时开始计时，第60次经过最低点时结束计时，计时器读数为50.0 s，则小球摆动周期T＝_________s；
(4)更改两悬挂点的间距x，重复多次实验；
(5)作出－T2图像；计算出图像斜率k；
(6)重力加速度的表达式g＝_________(用k表示)；
(7)－T2图像没有经过坐标原点，其原因是______________________。
答案精析
例1 (1)AD (2)丙 (3)D
解析 (1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大、体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D；
(2)要保持悬点固定，应采用题图丙固定方式，题图乙的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化，从而带来误差；
(3)摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间，可以减小误差，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后摆球每从同一方向经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则摆球相邻两次从同一方向经过最低点的时间间隔即为一个周期，则有T＝，故D正确；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置记数一次，则摆球连续两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以摆球第1次通过最低点到第n次通过最低点，经过了n－1个半周期，此时单摆的周期为T＝，故C错误。
例2 2.125 98.49 99.8 2.0 9.71
解析 游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
单摆的摆长为
L＝l＋＝97.43 cm＋ cm≈98.49 cm
秒表的读数为
t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
单摆的周期为
T＝＝ s≈2.0 s
根据单摆的周期公式T＝2π
解得g＝≈9.71 m/s2
例3 (1)B (2)9.86 等于
解析 (1)根据T＝2π，设摆球的重心到线与球结点的距离为ΔL可得T1＝2π，
T2＝2π，
可得g＝，故B正确。
(2)根据T2＝L，可得k＝＝ s2/m＝4 s2/m，解得g＝9.86 m/s2；无论图像是否经过坐标原点，图像的斜率都等于，该斜率不变，所以g不变，没有系统误差，则他求得的重力加速度g等于真实值。
拓展 偏小 偏小
解析 根据单摆的周期公式T＝2π得：T2＝。已知图线b满足T2＝L，图线a与图线b比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小。由题图可知图线c的斜率k＝偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小。
例4 (2)前后 小于 (3)2 (6)4π2k
(7)计算单摆摆长时忽略了小球半径
解析 (2)为了使小球做简谐运动，应该使小球前后摆动，摆动角度α应小于5°；
(3)小球第10次经过最低点时开始计时，第60次经过最低点时结束计时，共完成25次全振动，则小球摆动周期T＝ s＝2 s
(6)摆长L＝，
根据T＝2π，
得L＝T2，
即＝T2，
斜率k＝，重力加速度的表达式
g＝4π2k
(7)－T2图像没有经过原点，其原因是计算单摆摆长时忽略了小球半径。(共77张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第四节 用单摆测量重力加速度
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各量的意义(重点)。
2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重难点)。
3.能正确熟练地使用游标卡尺和秒表(重点)。
学习目标
一、实验思路
1.实验原理
由T＝_________，得g＝________，则测出单摆的摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。
2.物理量的测量
摆长L：摆长是摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬挂点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
周期T：用秒表测出单摆做多次全振动的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。
二、实验装置
1.实验装置如图所示
2.实验器材
带有铁夹的铁架台，金属小球(有孔)、 、细丝线(1 m左右)、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等。
秒表
三、进行实验
1.将细线穿过金属小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的结，制成一个单摆。
2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂，在单摆 处做上标记。
3.用刻度尺量出悬线长度L0(精确到1 mm)，用游标卡尺测量摆球的直径d，
则摆长为L＝_______。
平衡位置
4.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度，角度 ，由静止释放摆球。摆球经过最低点(平衡位置)时，用秒表开始计时，测出单摆完成30～50次全振动的时间t(设全振动次数为n)，计算出平均完成一次全振动所用
的时间，即为单摆的振动周期T＝____。
5.改变摆长，反复做几次实验，将一系列的测量值填入表格。
小于5°
设计如表所示的实验表格
实验次数 1 2 3 4 5 …
摆线长度L0/m
摆球直径d/m
摆长L/m
全振动次数n
四、数据分析
振动时间t/s
振动周期T＝
重力加速度g
2.图像法：由T＝ 得T2＝______，以T2为纵坐标，以L为横坐标建立坐标系，根据表中的数据作出T2－L图像(如图所示)。
其斜率k＝______，由图像的斜率即可求出重力加速度g＝ 。
五、误差分析
1.来源：
本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。
本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
2.分析
(1)测量摆长时引起的误差
①若在未悬挂摆球前测量了摆长、摆线拉得过紧、测量了摆线长后却误加了直径等，会使测量的摆长偏大；
②若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，测量了摆线长漏加了摆球半径等，使测量的摆长偏小。
(2)测量周期时引起的误差
①由于测量全振动次数错误造成误差。
②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。
③计算单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
六、注意事项
1.选择细而不易被拉长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上。
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不能超过5°。
4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
例1
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用______(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
AD
为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大、体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D；
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图______(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
要保持悬点固定，应采用题图丙固定方式，题图乙的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化，从而带来误差；
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同
时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置
的时间t，则T＝
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后，摆球每经过最低位置，
记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后，摆球每从同一方向经过
最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，
则T＝
D
摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间，可以减小误差，故A、B错误；
以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后摆球每从同一方向经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则摆球相邻两次从同一方向经过最低点的时间间隔即为一个周期，则有T＝ ，故D正确；
以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置记数一次，则摆球连续两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以摆球第1次通过最低点到第n次通过最低点，经过了n－1个半周期，此时单摆的周期为T＝ ，故C错误。
在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为_______ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用秒表记录了单摆50次全振动所用的时间如图乙所示，为______ s，则单摆的周期为_____ s；当地的重力加速度为g＝______ m/s2。
例2
2.125
98.49
99.8
2.0
9.71
游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
秒表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
(2023·广州市高二期末)(1)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中：如果实验时用的摆球质量分布不均匀，则无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为L1，测得周期为T1：第二次量得悬线长为L2，测得周期为T2。根据上述数据，可求得g值为______。
例3
B
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2－L的关系图像(如图所示)，根据图中数据，可算出重力加速度的值为_______m/s2(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)，从理论上分析，他求得的重力加速度g_________真实值(选填“大于”“等于”或“小于”)。
9.86
等于
解得g＝9.86 m/s2；
拓展 改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2－L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值______(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
偏小
偏小
图线a与图线b比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小。
(2024·佛山市高二期中)某同学用一条长度为l的细线按如图甲方式悬挂一个小铁球(忽略打结对细线长度的影响)，以此测量当地的重力加速度。
例4
(1)测量细线两悬挂点间距x；
(2)为了使小球做简谐运动，应该使小球______(填“前后”或“左右”)摆动，摆动角度α应满足______(填“大于”或“小于”)5°；
前后
小于
为了使小球做简谐运动，应该使小球前后摆动，摆动角度α应小于5°；
(3)使用计时器测量周期，当小球第10次经过最低点时开始计时，第60次经过最低点时结束计时，计时器读数为50.0 s，则小球摆动周期T＝____s；
2
(4)更改两悬挂点的间距x，重复多次实验；
4π2k
(6)重力加速度的表达式g＝_______(用k表示)；
计算单摆摆长时
忽略了小球半径
课时对点练
基础对点练
1
2
3
4
5
6
1.某同学用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)(3分)对测量原理的理解正确的是________；
甲
C
1
2
3
4
5
6
测出单摆的摆长l与周期T，可以求出重力加速度，且重力加速度与地理位置有关，与l、T均无关，故选C。
甲
1
2
3
4
5
6
(2)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材______；
A.长度为10 cm左右的细绳
B.长度为100 cm左右的细绳
C.直径为1.8 cm的钢球
D.直径为1.8 cm的木球
E.最小刻度为1 mm的米尺
F.秒表、铁架台
甲
BCEF
1
2
3
4
5
6
为减小实验误差，应选择适当长些的细绳做摆线，故A错误，B正确；
为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的球做摆球，故C正确，D错误；
甲
实验需要测量摆长，需要用到刻度尺，实验需要测量单摆的周期，测周期需要秒表，应把单摆固定在铁架台上，故E、F正确。
1
2
3
4
5
6
(3)以下为必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。
①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到__________的距离；
②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球
在竖直面内摆动，测量单摆全振动30～50次的时间，求
出一次全振动的时间，即单摆振动的周期；
③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期；
④根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由
图像计算重力加速度。
甲
摆球球心
1
2
3
4
5
6
摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测量单摆的摆长，应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离；
甲
1
2
3
4
5
6
(4)若用秒表测得了40次全振动的时间如图乙所示，则单摆的摆动周期是_______s；若实验得到的g值偏大，可能是因为_____；
A.组装单摆时，选择的摆球质量偏大
B.测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C.测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动
乙
1.88
C
1
2
3
4
5
6
由题图乙可得时间为t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s
单摆周期与摆球质量无关，组装单摆时，选择的摆球质量偏大不会导致g的测量值偏大，故A错误；
测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长，所测摆长偏小，所测g值偏小，故B错误；
乙
1
2
3
4
5
6
测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动，所测周期T偏小，所测g值偏大，故C正确。
乙
1
2
3
4
5
6
(5)(3分)该同学利用假期分别在北京和广州两地做了此实验，比较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，然后将这两组实验数据绘制了T2－l图像，如图丙所示，在北京测得的实验结果对应的图线是_______
(选填“A”或“B”)。
丙
B
1
2
3
4
5
6
丙
图像的斜率越小，重力加速度越大，由于北京
的重力加速度大于广州的重力加速度，因此在北京所做实验作出的T2－l图像的斜率小于在广州所做实验作出的T2－l图像的斜率，由题图丙可知，图线B的斜率小于图线A的斜率，因此在北京测得的实验结果对应的图线是B。
2.某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的______。
A.最高点 B.最低点 C.任意位置
1
2
3
4
5
6
B
为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在平衡位置处做标记，即最低点。
(2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)。
1
2
3
4
5
6
2.28
1
2
3
4
5
6
用秒表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。
根据秒表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s，代入数据解得，此单摆的周期约为2.28 s。
(3)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)。
1
2
3
4
5
6
0.991 5
2.075
1.00
1
2
3
4
5
6
用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，
(4)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝_______。
1
2
3
4
5
6
3.(2023·江门市新会一中高二期中)在用“单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)下面叙述正确的是______。(选填选项前的字母)
A.1 m和30 cm长度不同的同种细线，选用
30 cm的细线做摆线
B.直径为1.8 cm的塑料球和铁球，选用铁
球做摆球
C.如图甲、乙，摆线上端的两种悬挂方式，选甲方式悬挂
D.当单摆经过平衡位置时开始计时并记为n＝0,50次经过平衡位置后停止
计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
1
2
3
4
5
6
B
1
2
3
4
5
6
1 m和30 cm长度不同的同种细线，选用1 m
的细线做摆线可减小误差，故A错误；
直径为1.8 cm的塑料球和铁球，选用铁球做
摆球，可减小空气阻力的影响，故B正确；
实验时，运用甲悬挂方式，单摆在摆动的过程中，摆长在变化，对测量有影响，乙悬挂方式，摆长不变，故C错误；
当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以25作为单摆振动的周期，故D错误。
(2)若用游标卡尺测得小球的直径如图丙所示，则d＝________ mm。
1
2
3
4
5
6
19.90
用游标卡尺测得小球的直径d＝19 mm＋18×0.05 mm＝19.90 mm。
(3)若测出单摆的周期T、摆线长r，则当地的重力加速度g＝____________。(用测出的物理量表示)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(4)(9分)若在某次实验中，由于没有游标卡尺，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和L的数据，作出l－T2图像，如图丁所示，实验得到的l－T2图像是_____(选填“a”“b”或“c”)。根据所选的正确的l－T2图像可知，小球的直径为______ cm，当地重力加速度为_____ m/s2。(保留2位有效数字)
1
2
3
4
5
6
c
1.3
9.9
1
2
3
4
5
6
由上式可得，实验得到的l－T2图像是c。
4.(2023·佛山市高二期末)智能手机自带许多传感器，某同学想到使用其中的磁感应强度传感器，结合单摆原理测量当地的重力加速度。具体操作如下：
(1)(4分)用游标卡尺测量小钢球的直径d，测得结果如图甲所示，其读数d＝_______ mm；
1
2
3
4
5
6
10.2
1
2
3
4
5
6
根据题图甲可知，该游标卡尺的游标尺为10分度值，则可知精度为0.1 mm，且游标尺第2格与主尺刻度线对齐，而主尺读数为10 mm，则可知小钢球的直径d＝10 mm＋2×0.1 mm＝10.2 mm；
(2)将细绳一端固定在O点，另一端系一小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L；
(3)如图乙所示，将强磁铁吸附于小钢球下侧，在单摆的正下方放置一手机，打开手机中测量磁感应强度的应用软件；
1
2
3
4
5
6
(4)使单摆小角度摆动，每当钢球经过手机时，磁传感器会采集到一个磁感应强度的峰值。采集到磁感应强度随时间变化的图像如图丙，由图得单摆的周期T＝____ s(保留两位有效数字)；
2.0
1
2
3
4
5
6
当磁场最强时，摆球在手机的正上方，即单摆的最低点，根据磁感应强度随时间变化的图像，可知相邻两次磁场最强的时间为单摆的半个周期，由此可得单摆的周期为T＝2.0 s；
(5)若该同学把O点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表
达式可表示为g＝______________(用L、d、T表示)；
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(6)根据以上操作，该同学实验得出重力加速度值与当地重力加速度相比会________(填“偏大”“偏小”或“相等”)。
1
2
3
4
5
6
偏小
单摆的回复力来自重力的分量，当摆球下方吸附磁铁后，整体不再是规则的几何形状，摆球的重心不再是其几何中心，相应的下移，若仍然用O点到摆球几何中心的距离作为摆长，则根据重力加速度与摆长的关系式可知，所测重力加速度将偏小。
5.(2023·茂名市高二期末)如图甲所示的曲面玻璃在建筑领域应用广泛，通常被应用于玻璃外墙、弧形楼梯、浴室等场景。现有一柱面形状的圆弧玻璃，某实验小组设计实验，应用单摆周期公式测量其截面的半径，实验器材有：待测曲面玻璃一块(柱面形状，弧形玻璃截面半径R约为1 m)、秒表、光滑的小铁球等。实验步骤如下：
(1)用游标卡尺测量小铁球的
直径，读数如图丙所示，则
小铁球直径d＝______ cm。
1
2
3
4
5
6
1.20
1
2
3
4
5
6
由题图丙中主尺及游标尺的示数可知小球直径d＝1.1 cm＋0.01 cm×
10＝1.20 cm
(2)将曲面玻璃凸面朝下固定在水平地面上，形成
曲面凹槽，其垂直轴线的竖直截面如图乙所示，
将小球静止在凹槽底部，记录其静止时的平衡位
置O。
(3)将小铁球由靠近玻璃底部的某位置由静止释放，在平衡位置按下秒表开始计时，同时数下数字“0”，若同方向再次经过该位置时记为“1”，
在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出振动周期T＝______。
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(4)若重力加速度大小为g，用测得的数据表示
弧形玻璃的截面半径R＝____________(用测得物理量的字母表示)。
1
2
3
4
5
6
(5)若在计时时将全振动的次数多数了一次，则弧形玻璃截面半径R的测量值将________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
1
2
3
4
5
6
偏小
若在计时时将全振动的次数多数了一次，则周期T将偏小，由(4)可知弧形玻璃截面半径R的测量值将偏小。
6.(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
1
2
3
4
5
6
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
0.006
20.035
20.029
1
2
3
4
5
6
题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm
1
2
3
4
5
6
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角_______5°
(填“大于”或“小于”)。
大于
1
2
3
4
5
6
若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
1
2
3
4
5
6
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为_____ s，该小组测得的重力加速度大小为______ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
82.5
1.82
9.83
1
2
3
4
5
6
摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到第61次经过最低点经过了30个周期，
