2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题24 与圆有关的位置关系（含解析）

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专题24 与圆有关的位置关系
一．选择题
1．（2024 蒸湘区一模）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024 镇海区校级二模）已知⊙O的直径为6cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
3．（2024 嘉兴二模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，连结AC．若∠P＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（2024 浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
5．（2024 甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　）
A．18° B．36° C．48° D．72°
6．（2024 柯桥区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上的点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，AD恰好是⊙O的切线，若∠CAD＝32°，则∠ABC的度数为（　　）
A．26° B．28° C．32° D．58°
7．（2024 浙江一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．（2024 河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
9．（2024 和平区三模）如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F．若PA＝2，则△PEF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．2
10．（2024 新泰市三模）如图，矩形ABCD，AB＝2，，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，BF＝2AE，连接EF，作BH⊥EF于H点，连接CH．则线段CH的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
二．填空题
11．（2024 宜兴市二模）已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A与⊙O的位置关系是 　 　 ．
12．（2024 浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　 　 ．
13．（2025 西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　 　 ．
14．（2024 重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　 　 ；DF的长度是 　 　 ．
15．（2025 郸城县一模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D，若，CD＝2，则AC的长为　 　 ．
16．（2024 凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　 ．
三．解答题
17．（2024 镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
18．（2025 市南区校级一模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD＝4，AC＝5，则AB的长为　 　 ．
19．（2024 漳州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OP∥AC交BC于点D，CP为⊙O的切线．（1）求证：∠P＝∠B；
（2）若DP＝4，OD＝2，求cosA的值．
20．（2025 广河县一模）如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，AE为⊙O的直径，AB，AC为弦，AC平分∠BAE，D是AE延长线上一点，连结CD，CE，使得∠DCE＝∠CAE．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
21．（2024 济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
22．（2024 富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
23．（2024 湖州一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 蒸湘区一模）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【点拨】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．
【解析】解：∵点A是⊙O外一点，
∴OA＞6，
∴OA的长可能为8．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2024 镇海区校级二模）已知⊙O的直径为6cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【点拨】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为6cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d＞r，进而l与⊙O的位置关系．
【解析】解：∵⊙O的直径为6cm，
∴⊙O的半径为3cm，
∵点O到直线l的距离为4cm，
∴d＞r
∴l与⊙O的位置关系相离．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
3．（2024 嘉兴二模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，连结AC．若∠P＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【点拨】由题意可得OC⊥CP，根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】解：如图：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO＝∠POC＝25°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是本题的关键．
4．（2024 浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
【点拨】根据勾股定理的逆定理证得△XYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，然后与26m比较大小，即可解答本题．
【解析】解：∵XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．
∴XY2+YZ2＝XZ2，
∴△XYZ是直角三角形，
∴∠XYZ＝90°，
∵点N是斜边XZ的中点，
∴XM＝MZ＝25m，
∵△XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线，
∴YM＝XZ＝25m，
∵26＞25，
∴点X、Y、Z都在圆内，
∴这三栋楼都不该5G基站覆盖范围内．
故选：A．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距离．
5．（2024 甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　）
A．18° B．36° C．48° D．72°
【点拨】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90°﹣18°＝72°，进而即可求解．
【解析】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣18°＝72°，
∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查切线长定理和圆周角定理的推论，掌握切线长定理，是解题的关键．
6．（2024 柯桥区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上的点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，AD恰好是⊙O的切线，若∠CAD＝32°，则∠ABC的度数为（　　）
A．26° B．28° C．32° D．58°
【点拨】由切线的性质得到∠ADO＝90°，由三角形内角和定理求得∠ADC＝58°，进而求得∠ODB＝32°，根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠CAD＝32°，
∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°，
∵AD恰好是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°﹣58°＝32°，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB＝32°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键．
7．（2024 浙江一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】延长AD，BE交于点F，延长AD，BE交于点F，首先推导出△ABF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质得到＝＝3，进而得解．
【解析】解：延长AD，BE交于点F，
∵⊙O与AF，BF，AB均相切，
∴⊙O是△ABF内切圆，
又∵AF∥BC，
∴△ABF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴＝＝3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，矩形的性质，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
8．（2024 河北模拟）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【点拨】首先选取离A最近的四个点标记为D、E、B、F，根据勾股定理算出这四个点与A的距离d，根据点与圆的位置关系：d＝r，则点在圆上，d＞r，则点在圆外，d＜r，则点在圆内，即可得答案．
【解析】解：根据题意画出示意图：
∵由勾股定理可得：
AD＝＝2，AE＝AF＝，AB＝3，
∴AB＞AE＞AD，
∵题目要求除A外恰好有3个点在圆内，
∴＜r≤3．
以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有D、E、F3个在圆内．
故选：B．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
9．（2024 和平区三模）如图，⊙O外有一点P，连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与OP相交于点Q，以点Q为圆心，OQ长为半径作圆与⊙O相交于A，B两点，连接PA，PB，EF与⊙O相切于点C，与PA，PB分别相交于点E，F．若PA＝2，则△PEF的周长为（　　）
A． B．4 C． D．2
【点拨】由圆周角定理推出∠PAO＝∠PBO＝90°，判定PA，PB是圆的切线，由切线长定理得到PA＝PB，AE＝CE，BF＝CF，得到△PEF的周长＝PE+PF+EF＝2PA＝2×2＝4．
【解析】解：连接OA，OB，
由题意知：MN垂直平分PO，
∴PO是⊙Q的直径，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA，PB是圆的切线，
∴PA＝PB，
∵EF切圆于C，
∴AE＝CE，BF＝CF，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+AE+BF＝PA+PB＝2PA＝2×2＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，关键是由切线长定理推出PA＝PB，AE＝CE，BF＝CF，得到△PEF的周长＝2PA．
10．（2024 新泰市三模）如图，矩形ABCD，AB＝2，，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，BF＝2AE，连接EF，作BH⊥EF于H点，连接CH．则线段CH的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【点拨】延长BA、FE交于K，连接AH，以A为圆心AB长为半径作圆，由矩形的性质推出AE∥BF，BC＝AD＝，由△KAE∽△KBF，推出AK；KB＝AE：BF，求出AK＝AB＝2，由BK是圆的直径，得到H在圆上，当A、H、C共线时，CH最小，进而解得即可．
【解析】解：延长BA、FE交于K，连接AH，以A为圆心AB长为半径作圆，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BF，BC＝AD＝，
∴△KAE∽△KBF，
∴AK；KB＝AE：BF，
∵BF＝2AE，
∴AK＝KB，
∴AK＝AB＝2，
∴BK是圆的直径，
∵∠BHK＝90°，
∴H在圆上，
∴当A、H、C共线时，CH最小，最小值为AC﹣AH，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝，
∴CH的最小值＝4﹣2＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，矩形的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，关键是明白当A、H、C共线时，CH最小解答．
二．填空题
11．（2024 宜兴市二模）已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A与⊙O的位置关系是 　点A在⊙O内　 ．
【点拨】根据线段中点的性质，可得OA＝4.5，根据当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解析】解：A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，得OA＝OB＝4.5（cm），
∵r＝5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是点A在圆O内，
故答案为：点A在⊙O内．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
12．（2024 浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　40°　 ．
【点拨】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到∠BAC＝90°．
13．（2025 西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　50°　 ．
【点拨】连接OA，OB，根据切线的性质，四边形的内角和，求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理，求出∠ACB的度数即可．
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，
∴；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2024 重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　　 ；DF的长度是 　　 ．
【点拨】由圆周角定理得到∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝＝4，由△CDB∽△CBA，推出DB：BA＝CD：CB，得到AB＝，由平行线的性质，圆周角定理推出∠F＝∠BAF，得到BF＝AB＝，即可求出FD的值．
【解析】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD＝＝4，
∵BC切圆于B，
∴直径AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，
∴△CDB∽△CBA，
∴DB：BA＝CD：CB，
∴4：AB＝3：5，
∴AB＝，
∵AF∥BE，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，
∴∠F＝∠BAF，
∴BF＝AB＝，
∴FD＝BF﹣BD＝﹣4＝．
故答案为：，．
【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，关键是判定△CDB∽△CBA，推出DB：BA＝CD：CB，由圆周角定理，平行线的性质推出∠F＝∠BAF．
15．（2025 郸城县一模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D，若，CD＝2，则AC的长为　　 ．
【点拨】如图：连接AO，根据圆的切线的性质以及正切的定义可得，设该圆的半径为r，则、OA＝r，OD＝r+CD＝r+2，运用勾股定理列方程可求得r＝3，即，运用等面积法可得，再运用正切的定义以及线段的和差可得，最后运用勾股定理求解即可．
【解析】解：如图：连接AO，
由题意可得：∠OAD＝90°，
∵，CD＝2，
∴，即，
设半径为r，则，OA＝r，OD＝r+CD＝r+2，
∵OD2＝AD2+AO2，
∴，
解得：r＝3或（不符合题意，舍弃），
∴，
过A作AH⊥OD，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正切的定义、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，理解圆的切线的性质并灵活运用正切函数是解题的关键．
16．（2024 凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　 ．
【点拨】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可．
【解析】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当PM最小时，PQ最小，
当MP⊥AB时，MP最小，
直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，AM＝8，
当MP⊥AB时，MP＝AM sin∠BAO＝8×＝4，
∴PQ的最小值为：＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质、垂线段最短，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三．解答题
17．（2024 镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【点拨】连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD＝∠OAD，进而证明AC∥OD，则∠ODB＝∠ACB＝90°，因此OD⊥BC，然后由切线的判定即可得出结论．
【解析】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
18．（2025 市南区校级一模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD＝4，AC＝5，则AB的长为　　 ．
【点拨】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，证明OC∥AD，根据切线的性质得到OC⊥DC，根据平行线的性质证明；
（2）连接BC，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质求出AB．
【解析】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴AD⊥DC；
（2）解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得：AB＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
19．（2024 漳州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OP∥AC交BC于点D，CP为⊙O的切线．（1）求证：∠P＝∠B；
（2）若DP＝4，OD＝2，求cosA的值．
【点拨】（1）连接OC，由切线的性质和圆周角定理可得∠OCP＝90°，∠ACB＝90°．由平行线的性质可得∠PDC＝∠ACB＝90°，由此可得∠P＝∠OCB，又由∠OCB＝∠B可得∠P＝∠B．
（2）先证∠A＝∠POC，再证△DCO∽△CPO，则可得，求出OC的长，则可得，即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接OC，
∵PC是⊙O 的切线，
∴∠OCP＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵OP∥AC，
∴∠PDC＝∠ACB＝90°，
∴∠PCD+∠P＝90°，∠PCD+∠OCB＝90°，
∴∠P＝∠OCB．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠P＝∠B．
（2）解：由（1）知∠ACB＝∠OCP＝90°，∠P＝∠B，
∴∠A＝∠POC．
∵∠ODC＝∠OCP＝90°，∠DOC＝∠DOC，
∴△DCO∽△CPO，
∴，
∵PD＝4，OD＝2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质．遇切线连半径，这是常用的解题思路．熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（2025 广河县一模）如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，AE为⊙O的直径，AB，AC为弦，AC平分∠BAE，D是AE延长线上一点，连结CD，CE，使得∠DCE＝∠CAE．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）由AE为⊙O的直径，得∠ACE＝90°，由∠OCE＝∠OEC，∠DCE＝∠CAE，得∠OCD＝∠OCE+∠DCE＝∠OEC+∠CAE＝90°，即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由∠EAC＝∠BAC＝30°，根据圆周角定理得∠EOC＝2∠EAC＝60°，所以CD＝OC tan60°＝3，即可由S阴影＝S△COD﹣S扇形COE求得阴影部分的面积是．
【解析】（1）证明：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠DCE＝∠CAE，
∴∠OCD＝∠OCE+∠DCE＝∠OEC+∠CAE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵AC平分∠BAE，∠BAC＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
∴∠EOC＝2∠EAC＝2×30°＝60°，
∵∠OCD＝90°，OC＝3，
∴CD＝OC tan60°＝3×＝3，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形COE＝×3×3﹣＝，
∴阴影部分的面积是．
【点睛】此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，此题难度不大但综合性较强，属于基础题．
21．（2024 济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
22．（2024 富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
【点拨】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC＝＝8；
（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，则∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；
（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，则＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以AB＝DM，即可证明DM＝AB．
【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴BC的长为8．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠AMB的度数为135°．
（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，
∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，
∴CM平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴AB＝＝＝AD，
∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，
∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴DM＝AD，
∴AB＝DM，
∴DM＝AB．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、三角形的内心的定义和性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（2024 湖州一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
【点拨】（1）根据AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，则∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根据∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，进而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，据此可得出结论；
（2）连接CO并延长交BE于H，则∠AOC＝2∠ABC，由（1）的结论可知CE＝CB，则，由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，则∠BAE＝∠AOC，据此可得出结论
（3）证△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，则AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x＝，则BF＝r+x＝，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝，最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，∠AEB＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，
∵∠ABD＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠CEB，
∵∠ADB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴CE＝CB；
（2）证明：连接CO并延长交BE于H，如图所示：
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC，
由（1）的结论可知：CE＝CB，
∴，
∴AH⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BE，
∴AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴∠BAE＝2∠ABC；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC，
又∵AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴△ABE∽△OCF，
∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，
∴AE＝2OF，BE＝2CF，
设⊙O的半径为r，OF＝x，
则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，
∴S△BCF＝BF CF＝（r+x） CF，S△ABE＝AE BE＝×2x 2CF＝2x CF，
∵，
∴，
即，
解得：x＝，
∴BF＝r+x＝r+＝，
在Rt△OCF中，OF＝x＝，OC＝r，
由勾股定理得：CF＝，
∴tan∠ABC＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键．
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