2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题25 与圆有关的计算（含解析）

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专题25 与圆有关的计算
一．选择题
1．（2024 安徽）若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
2．（2025 柳州二模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
3．（2024 甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
4．（2024 南京模拟）一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2025 无为市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　）
A． B．π C．2π D．3π
6．（2024 广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π
8．（2024 东阳市二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A．75° B．90° C．108° D．120°
9．（2024 余姚市一模）将正六边形ABCDEF折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕AG+BH＝AB，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的．则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024 浙江模拟）有一块半径为8米，圆心角为45°的扇形空地需要美化，某同学的设计图如图所示，在扇形空地上修建一个正方形水池，正方形的一条边DE在边OB上，点C在边OA上，其他部分种上花圃，已知花圃的面积为16平方米，设BE的长为x米，可列方程为（　　）
A． B． C．8π﹣（8﹣x）2＝16 D．16π﹣（8﹣x）2＝16
二．填空题
11．（2025 泗阳县一模）若扇形的圆心角为120°，半径为3，则它的弧长为 　 　 ．
12．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　 　 ．
13．（2024 润州区二模）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 　 　 cm．（结果保留π）
14．（2024 宁波模拟）将一张半径为13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该圆锥形桶高为12cm，则扇形纸片的面积为 　 　 cm2（结果保留π）．
15．（2024 钱塘区一模）如图，分别以等边△ABC的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为 　 　 ．
16．（2025 定兴县一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为 　 　 ．
17．（2025 盐城一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2．
三．解答题
18．（2024 垦利区三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝2．
（1）求弦CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
19．（2024 亳州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝45°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求弧DE的长．
20．（2024 上海模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．
（1）求证：AB＝AF．
（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
21．（2024 阳西县一模）综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，AB＝6cm，l＝6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
22．（2024 东阳市二模）根据以下操作，完成任务．
如何折出正多边形？
操作1 如图①，先对折正方形，得到AB的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到AB的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到△ABO．
操作2 将操作1中折出的△ABO剪下，如图②，将△ABO对折，记折痕为OH，再摊开、铺平，把点A，B折到OH上．折叠后的点A，点B重合，记为点G……
问题解决
任务1 判断△ABO的形状，并说明理由
任务2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形EHFP为正方形的是 　 　 ．（填写序号）
任务3 求操作1中的正方形ABCD与操作2中所折出的正方形EHFP的面积之比．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 安徽）若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【点拨】利用弧长计算公式计算即可．
【解析】解：＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．
2．（2025 柳州二模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
【点拨】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【解析】解：S扇形＝＝3π．
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S＝．
3．（2024 甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【点拨】由正六边形ABCDEF内接于⊙O，求得∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝1，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
故选：C．
【点睛】此题重点考查正多边形的半径及中心角的定义、等边三角形的判定等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
4．（2024 南京模拟）一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【点拨】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解析】解：设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长＝6π，侧面积＝3πR＝12π，
∴R＝4cm．
故选：C．
【点睛】本题考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
5．（2025 无为市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　）
A． B．π C．2π D．3π
【点拨】根据矩形的性质和“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出∠DAE的度数，再由扇形的面积公式计算阴影部分的扇形面积即可．
【解析】解：根据题意，得AE＝AD＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，BC∥AD，
∵AB＝3，
∴∠AEB＝30°，
∴∠DAE＝∠AEB＝30°，
∴阴影部分的扇形面积是π×62＝3π．
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，掌握矩形的性质、“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”、扇形的面积计算公式是解题的关键．
6．（2024 广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，证明OE∥AC，再由OA＝OD，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得∠DOE的度数，利用弧长公式即可求解．
【解析】解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABC＝70°，
∴∠OEB＝∠C＝70°，
∴OE∥AC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，，
∵OE∥AC，
∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE，
∴的长度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的求解，得到圆心角和半径是解题的关键．
7．（2024 重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π
【点拨】连接AC，在Rt△ADC 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积，两个扇形为圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形计算阴影部分的面积即可．
【解析】解：连接AC．
∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴在Rt△ADC 中，CD＝＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AD CD＝16，
∵两个扇形均为圆，而且它们的半径相等，
∴两个扇形为圆，面积之和为S两个扇形＝πAD2＝8π，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形＝16﹣8π．
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握勾股定理、矩形、扇形和圆的面积公式是解题的关键．
8．（2024 东阳市二模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A．75° B．90° C．108° D．120°
【点拨】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解析】解：∵圆锥的底面直径为4，则半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是2√2cm，
∴圆锥的母线长为6，
设扇形的圆心角为n°，
∴（nπ×6）÷180＝4π，
解得n＝120．
故这个几何体展开图的圆心角是120°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
9．（2024 余姚市一模）将正六边形ABCDEF折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕AG+BH＝AB，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如△OGH）面积占一个小正三角形（如△AOB）的，过点G作GR⊥OC于点R，过点O作OT⊥AB于点T，设AB＝OB＝OA＝OB＝OC＝1，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案．
【解析】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如△OGH）面积占一个小正三角形（如△AOB）的1﹣．
过点G作GR⊥OC于点R，过点O作OT⊥AB于点T，设AB＝OB＝OA＝OB＝OC＝1，
∴S△AOB＝AB OT＝＝，
S△GOH＝＝OG（1﹣OG）×＝，
OG﹣OG2＝，
解得OG＝或（舍），
∴OH＝1﹣OG＝，OR＝，
∴HR＝OR﹣OH＝＝﹣，GR＝OR＝，
∴GR2+HR2＝GH2，即+＝GH2，
解得GH＝（负值舍去），
∴＝，
故选：A．
【点睛】此题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
10．（2024 浙江模拟）有一块半径为8米，圆心角为45°的扇形空地需要美化，某同学的设计图如图所示，在扇形空地上修建一个正方形水池，正方形的一条边DE在边OB上，点C在边OA上，其他部分种上花圃，已知花圃的面积为16平方米，设BE的长为x米，可列方程为（　　）
A． B． C．8π﹣（8﹣x）2＝16 D．16π﹣（8﹣x）2＝16
【点拨】根据扇形的面积公式计算出扇形的面积；根据∠AOB＝45°和正方形的性质证明OD＝CD＝DE，从而将DE用x表示出来，进而表示出正方形CDEF的面积，再根据S花圃＝S扇形﹣S正方形CDEF解答即可．
【解析】解：S扇形＝π OA2＝π×64＝8π，
∵∠AOB＝45°，∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∴OD＝CD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，
∴OD＝DE，
∴DE＝＝，
∴S正方形CDEF＝DE2＝（）2，
根据S花圃＝S扇形﹣S正方形CDEF，得8π﹣（）2＝16．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
二．填空题
11．（2025 泗阳县一模）若扇形的圆心角为120°，半径为3，则它的弧长为 　2π　 ．
【点拨】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3，
∴它的弧长为：＝2π，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式l＝．
12．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　20π　 ．
【点拨】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解析】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为×2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
13．（2024 润州区二模）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 　4π　 cm．（结果保留π）
【点拨】直接根据弧长公式计算即可．
【解析】解：砝码被提起了：＝4π（cm）．
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，关键是熟练掌握弧长公式．
14．（2024 宁波模拟）将一张半径为13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该圆锥形桶高为12cm，则扇形纸片的面积为 　65π　 cm2（结果保留π）．
【点拨】首先利用勾股定理求得底面半径，然后利用公式求得面积即可．
【解析】解：∵扇形的半径为13cm，高为12cm，
∴圆锥的底面半径为＝5cm，
∴圆锥的侧面积为13×5π＝65πcm2，
故答案为：65π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理．
15．（2024 钱塘区一模）如图，分别以等边△ABC的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为 　　 ．
【点拨】根据莱洛三角形的周长，可求出等边△ABC的边长，进而可求出莱洛三角形的面积．
【解析】解：由题知，
莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半．
又因为莱洛三角形的周长为2π，
所以，
则AB＝2，
所以等边△ABC的边长为2．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
则BM＝．
在Rt△ABM中，
AM＝．
所以莱洛三角形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，能根据所给莱洛三角形的周长得出等边三角形的边长是解题的关键．
16．（2025 定兴县一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为 　　 ．
【点拨】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解析】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a，
在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，
∴EC＝O2C＝a＝BE，O2E＝O2C＝a，
∴AE＝2a+a＝a，
∴tan∠O2AC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
17．（2025 盐城一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　4　 cm2．
【点拨】设⊙O的半径为r，则，根据，即，求r2，然后代入求面积即可．
【解析】解：由题意知，∠ACB＝90°，设⊙O的半径为r，则，
∴，即，
解得r2＝4，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．
三．解答题
18．（2024 垦利区三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝2．
（1）求弦CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）根据AB是直径，∠AOC＝60°，AC＝2，可求出AB，CB的长度，弦CD⊥AB，可得CE＝DE，即可求得CE的长度，继而得出CD的长；
（2）S阴影＝S半圆﹣S△ABC．
【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
则AO＝AC＝2，AB＝4，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝OC×sin60°＝2×＝，
∴CD＝2CE＝2；
（2）∵，S△ABC＝AB CE＝×4×＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝π 22﹣2＝2π﹣2．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
19．（2024 亳州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝45°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求弧DE的长．
【点拨】（1）连接OE，OD，由等腰三角形的性质得∠AEO＝∠BAC＝45°，再根据勾股定理计算即可；
（2）由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO＝45°，因此∠EOD＝∠AEO＝45°，由弧长公式计算即可．
【解析】解：（1）如图，连接OE，OD，
∵∠BAC＝45°，OA＝OE，
∴∠AEO＝∠BAC＝45°，
∴∠AOE＝90°，
∵OA＝OE＝3cm，
∴AE＝＝3（cm），
∴CE＝6﹣3（cm）；
（2）∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO＝45°，
∴弧DE的长＝＝π（cm）．
【点睛】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
20．（2024 上海模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．
（1）求证：AB＝AF．
（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
【点拨】（1）证明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得结论；
（2）过点B作BH⊥OA于点H．解直角三角形求出OH，AB，可得结论．
【解析】解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC，OB．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°，∠ABF＝∠AOD＝72°，
∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
（2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB sin36°，OH＝OB cos36°，
∴五边形ABCDE的面积＝5× AB OH
＝5××2×OB2 sin30° cos36°
＝5×102×0.59×0.81
≈239.0．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2024 阳西县一模）综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，AB＝6cm，l＝6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【点拨】根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．
【解析】解：∵l＝6cm，AB＝6cm，
∴r＝3cm，
∵×2πr×l＝，
n＝，
∴．
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°，如图所示．
∴．
∵PA′＝PB＝6cm，
∴．
∴在Rt△A′PC中，由勾股定理得．
∴彩带长度的最小值为．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2024 东阳市二模）根据以下操作，完成任务．
如何折出正多边形？
操作1 如图①，先对折正方形，得到AB的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到AB的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到△ABO．
操作2 将操作1中折出的△ABO剪下，如图②，将△ABO对折，记折痕为OH，再摊开、铺平，把点A，B折到OH上．折叠后的点A，点B重合，记为点G……
问题解决
任务1 判断△ABO的形状，并说明理由
任务2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形EHFP为正方形的是 　①②③　 ．（填写序号）
任务3 求操作1中的正方形ABCD与操作2中所折出的正方形EHFP的面积之比．
【点拨】任务1：根据折叠的性质得出△OAB是等边三角形；
任务2：由折叠的方法和对称性质可得∠EHF＝90°，EH＝FH，再由方案①②③的折叠方法可证明四边形EHFP是正方形；
任务3：根据含30° 直角三角形性质和等腰直角三角形性质求出正方形EHFP的边长EH与正方形ABCD边长AB之比的平方，即可解答．
【解析】解：任务1：△OAB是等边三角形，
理由：根据折叠的方法可知：OA＝AD＝AB＝BC＝OB，
∴△OAB是等边三角形；
任务2：连接EF，
∵△OAB是等边三角形，OH所在直线是△OAB的一条对称轴，
∴由折叠方法可知EH＝FH，∠EHA＝∠EHO＝∠OHF＝∠FHB＝45°，E、F是关于OH的对称，
∴OH⊥EF，EK＝FK，即OH是EF的垂直平分线，∠EHF＝90°，
方案①，将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处，
∴EH＝HF＝FP＝PE，
∴四边形EHFP是菱形，
又∠EHF＝90°，
∴菱形EHFP是正方形；
方案②，将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P，
∵∠AEH＝∠GEH＝∠AEG，，
∴∠HEP＝∠GEH+∠PEG＝（∠AEG+∠OEG）＝90°，
∴∠EPH＝∠EHG＝45°，
∴EP∥HF，
∴EP＝EH＝HF，
∴四边形EHFP是是正方形；
方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处，
如图，
由折叠方法可知：∠PEH＝∠FHE＝90°，EP＝HF，
∴EP∥HF，
∴四边形EHFP是平行四边形，
∵EH＝HF，EH⊥HF，
∴四边形EHFP是正方形；
综上所述：方案中折出的四边形EHFP为正方形的是①②③，
故答案为：①②③；
任务3：如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠A＝60°，∠EHA＝45°，
∴EM＝MH，AE＝2AM，
∴，，
∴，，
正方形ABCD与正方形EHFP的面积之比为：．
【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
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