2025年甘肃省武威第二十中学中考数学人教版 分式 专项训练（含答案）

2025年甘肃省武威第二十中学中考数学人教版《分式》
专项训练
一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　）
A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变
4．关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（ ）
A． B．18 C． D．9
5．若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（ ）
A． B．0 C． D．
6．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．2023年12月8日，山东济南到河南郑州的高速铁路全线通车，将两城之间的“V字形”路线变成了“一字形”路线，为郑州、济南建设“强省会”提供更多可能．已知通车前从济南西站到郑州东站的路程约为，通车后总路程缩短了，速度提升到了原来的2倍，时间缩短了90分钟．设通车前的平均速度为，那么 满足的分式方程为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
10．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
11．若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
12．已知数列，，……，，设，则与 最接近的整数为 ．
13．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
15．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法：
方法1：，
原式．
方法2：，将分式的分子，分母同时除以得，
原式
(1)“方法1”中运用了“分式””这一章的数学依据是________；
(2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整．
16．请阅读下面的计算过程，再回答所提出的问题．
第①步
第②步
第③步
第④步
(1)上述计算过程中，从第__________步开始出现错误；（填序号）
(2)请你写出正确的解题过程．
17．定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式．
(1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同）
(2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）．
(3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值．
18．观察下面的变化规律，解答下列问题：
，将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)＝
(2)利用上述规律计算：．
(3)灵活利用规律解方程：．
19．苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的售价高元，用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的．
(1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价；
(2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共个，要使总费用不超过元，则至少要购买多少个“侗族”玩偶.
20．阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
21．某中学开学初在体育用品商城购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了2500元，购买B品牌足球花了2000元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
(1)购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
(2)该中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进一些足球，使得两次购进的A，B两种品牌的足球总数达到125个．本次恰逢该体育用品商城对这两种品牌足球的．售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
22．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值．
（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025年甘肃省武威第二十中学中考数学人教版《分式》专项训练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A B C C C
9．或
10．且
11．20
12．
13．16
14．（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（4）解：解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
15．（1）解：“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
（2）解：原式，
，
原式．
16．（1）解：原式，
所以，上述计算过程中，从第①步开始出现错误，
故答案为：①；
（2）解：原式

．
17．（1）解：答案不唯一，根据题意，
故分式为．
（2）解：原式．
（3）解：根据题意，得，
由分式的值为整数，且x也是整数，
得或或或，
解得或或或．
18．（1）解：，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
19．（1）解：设每个“侗族”玩偶的售价为元，则每个“苗族”玩偶的售价为元．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：每个“苗族”玩偶的售价为元，则每个“侗族”玩偶的售价为元．
（2）解：设要购买个“侗族”玩偶，则要购买个“苗族”玩偶，
根据题意，得：，
解得：，
答：至少要购买个“侗族”玩偶．
20．（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴
，
∴；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，
∴为整数，即为整数，
∴或，
∴或；
（3）解：∵
∴
，
∴．
21．（1）解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一个品牌的足球需元．
由题意得，
解得：．
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元．
（2）解：由题意得，本次购买的足球总数为（个）．
设此次购买个品牌足球，则还需购买个品牌足球．
由题意得，解得．
又是正整数，
的最大值为31．
答：该中学此次最多可购买31个品牌足球．
22．
解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”，
故答案为：②；
（）∵为“和谐分式”，
∴或或，，
∴或或或，
∵a为正整数，
∴或，
当时，为“和谐分式”，
当时，为“和谐分式”，
∴的值为或；
（二）（）①，是和谐分式；
②是和谐分式；
③，是和谐分式．
故答案为：①②③．
（），
故答案为∶，．
（）
，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又∵分式有意义时、、、，
∴．
答案第1页，共2页
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