专题强化 自由落体运动规律的应用
［学习目标］ 1.能够灵活应用自由落体规律解决滴水、杆过窗问题(重难点)。2.能够利用匀变速直线运动的推论解决自由落体运动问题。
一、滴水问题、杆过窗问题
例1 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示窗子，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少；
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(2)此屋檐离地面多高。
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“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δs=aT2、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
例2 (2023·深圳市高一期末)如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。求：
(1)圆棒下落到A点所用的时间t1；
(2)圆棒通过AB所用的时间t2。
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二、匀变速直线运动推论在自由落体中的应用
自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的推论都适用于自由落体运动。
1.平均速度公式：==。
2.位移差公式：Δh=aT2。
3.初速度为0的匀加速直线运动比例关系
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
①T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn= 。
②T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：h1∶h2∶h3∶…∶hn= 。
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：h1'∶h2'∶h3'∶…∶hn'= 。
(2)按位移等分(设相等的位移为h)，则：
①通过前h、前2h、前3h、…、前nh的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn= 。
②通过前h、前2h、前3h、…、前nh的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn= 。
③通过连续相同的位移所用时间之比为：t1'∶t2'∶t3'∶…∶tn'= 。
例3 (多选)(2023·中山市高一期末)如图所示是用频闪拍照的方法拍摄到的一张真空中羽毛与钢球从同一高度同时自由下落过程中的局部频闪照片。已知拍摄当地的重力加速度大小为g，由照片提供的信息，下列说法正确的是( )
A.钢球下落的加速度比羽毛下落的加速度更大
B.一定满足关系s1∶s2∶s3=1∶3∶5
C.频闪拍照的时间间隔为Δt=
D.羽毛下落到位置C的速度大小为
三、自由落体多过程问题
例4 (2023·肇庆市高一期末)如图所示为一种巨型娱乐器械，可以使人体验超重和失重状态。一个可乘坐四十多人的环形座舱套装在竖直柱子上，升降机将其送上76 m的高处后再使其自由落下，座舱落到距离地面31 m的位置时，制动系统启动，座舱开始做匀减速运动，到距离地面1 m时刚好停下。若不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求：
(1)座舱下降过程中运动的最大速度；
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(2)座舱下降过程运动的总时间。
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答案精析
例1 (1)0.2 s (2)3.2 m
解析 方法一 公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。
由公式h=gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2=g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3=g(2T)2
且h2-h3=1 m
解得T=0.2 s
(2)则屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
方法二 比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s=1 m，可得s=0.2 m，
由h4=s=gT2得滴水的时间间隔T==0.2 s
屋檐高h=s+3s+5s+7s=16s=3.2 m。
方法三 平均速度法
(1)设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为=，其中Δh=1 m。
雨滴在2.5T时的速度v2.5=2.5gT，
由于v2.5=，所以=2.5gT，
解得T=0.2 s
(2)屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
方法四 速度位移关系法
(1)设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度v2=g·3T，
第3滴水滴的速度
v3=g·2T，Δh=1 m，
由v2-=2as得-=2gΔh
解得T=0.2 s
(2)第1滴水滴的速度
v1=g·4T=8 m/s
屋檐高h==3.2 m。
例2 (1)0.4 s (2)0.2 s
解析 (1)圆棒底部距离上边界A高度
h1=2.3 m-0.4 m-1.1 m=0.8 m，
圆棒做自由落体运动下落到A点有h1=g，
代入数据解得t1=0.4 s。
(2)方法一 圆棒通过AB的过程即圆棒底部到达上边界A和圆棒顶端离开下边界B这一过程，
圆棒底部到达上边界A的速度为
v1=gt1=4 m/s，
圆棒通过AB下落的高度为
h2=1.1 m-0.5 m+0.4 m=1.0 m，
圆棒通过AB过程有
h2=v1t2+g，
代入数据解得t2=0.2 s
方法二 圆棒下落到上边界A所用的时间t1=0.4 s，
圆棒顶端到B点下落的高度
h3=2.3 m-0.5 m=1.8 m，
圆棒顶端离开B点的时间
t'== s=0.6 s，
故圆棒通过AB所用的时间
t2=t'-t1=0.2 s。
二、
3.(1)①1∶2∶3∶…∶n ②12∶22∶32∶…∶n2 ③1∶3∶5∶…∶(2n-1) (2)①1∶∶∶…∶
②1∶∶∶…∶ ③1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
例3 CD ［根据题图中信息可知羽毛与钢球在相邻的时间内下落的距离相同，根据匀变速运动推论Δs=aT2，可得钢球下落的加速度与羽毛下落的加速度相等，A错误；根据初速度为零的匀加速运动规律可知，若A点为下落起点位置，则满足s1∶s2∶s3=1∶3∶5，但是题中未说明A点为下落起点位置，所以不一定满足关系s1∶s2∶s3=1∶3∶5，B错误；根据匀变速运动推论有Δs=g(Δt)2=s2-s1=s3-s2，解得Δt==，C正确；根据匀变速运动规律中间时刻的瞬时速度大小等于该段时间内的平均速度大小，可得羽毛下落到位置C的速度大小为vC==，D正确。］
三、
例4 (1)30 m/s (2)5 s
解析 (1)座舱自由下落的高度为
h1=76 m-31 m=45 m
座舱在自由落体运动末位置时速度最大，设最大速度为v，
根据自由落体运动规律有v2=2gh1，
解得v=30 m/s
(2)设座舱做自由落体运动的时间为t1，
由自由落体运动规律可知
h1=g，
解得t1=3 s，
制动后减速下降的高度
h2=31 m-1 m=30 m，
设减速阶段加速度大小为a，
有v2=2ah2，得a=15 m/s2，
设减速阶段时间为t2，
则t2==2 s，
座舱运动的总时间为t=t1+t2=5 s。(共55张PPT)
DIERZHANG
第二章
专题强化 自由落体运动规
律的应用
1.能够灵活应用自由落体规律解决滴水、杆过窗问题(重难点)。
2.能够利用匀变速直线运动的推论解决自由落体运动问题。
学习目标
一、滴水问题、杆过窗问题
专题强化练
内容索引
二、匀变速直线运动推论在自由落体中的应用
三、自由落体多过程问题
滴水问题、杆过窗问题
一
小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，
例1
其中2点和3点之间的小矩形表示窗子，不计空气阻力，重力加速度g取 10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少；
答案 0.2 s
方法一 公式法
设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。
由公式h=gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2=g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3=g(2T)2
且h2-h3=1 m
解得T=0.2 s
方法二 比例法
由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s=1 m，可得s=0.2 m，
由h4=s=gT2得滴水的时间间隔T==0.2 s
屋檐高h=s+3s+5s+7s=16s=3.2 m。
方法三 平均速度法
设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为=，其中Δh=1 m。
雨滴在2.5T时的速度v2.5=2.5gT，
由于v2.5==2.5gT，解得T=0.2 s
方法四 速度位移关系法
设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度v2=g·3T，
第3滴水滴的速度v3=g·2T，Δh=1 m，
由v2-=2as得=2gΔh
解得T=0.2 s
(2)此屋檐离地面多高。
答案 3.2 m
方法一 则屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
方法二 比例法
由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s=1 m，可得s=0.2 m，
由h4=s=gT2得滴水的时间间隔T==0.2 s
屋檐高h=s+3s+5s+7s=16s=3.2 m。
方法三 平均速度法
屋檐高h=g(4T)2=3.2 m。
方法四 速度位移关系法
第1滴水滴的速度v1=g·4T=8 m/s
屋檐高h==3.2 m。
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δs=aT2、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
总结提升
(2023·深圳市高一期末)如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。求：
(1)圆棒下落到A点所用的时间t1；
例2
答案 0.4 s
圆棒底部距离上边界A高度
h1=2.3 m-0.4 m-1.1 m=0.8 m，
圆棒做自由落体运动下落到A点有h1=g，
代入数据解得t1=0.4 s。
答案 0.2 s
(2)圆棒通过AB所用的时间t2。
方法一 圆棒通过AB的过程即圆棒底部到达上边界A和圆棒顶端离开下边界B这一过程，
圆棒底部到达上边界A的速度为v1=gt1=4 m/s，
圆棒通过AB下落的高度为h2=1.1 m-0.5 m+0.4 m
=1.0 m，
圆棒通过AB过程有h2=v1t2+g，
代入数据解得t2=0.2 s
方法二 圆棒下落到上边界A所用的时间t1=0.4 s，
圆棒顶端到B点下落的高度h3=2.3 m-0.5 m=1.8 m，
圆棒顶端离开B点的时间
t'== s=0.6 s，
故圆棒通过AB所用的时间t2=t'-t1=0.2 s。
返回
匀变速直线运动推论在自由落体中的应用
二
自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的推论都适用于自由落体运动。
1.平均速度公式：==。
2.位移差公式：Δh=aT2。
3.初速度为0的匀加速直线运动比例关系
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
①T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶ v3∶…∶vn= 。
②T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：h1∶h2∶h3∶…∶ hn= 。
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：h1'∶h2'∶h3'∶…∶hn'= 。
1∶2∶3∶…∶n
12∶22∶32∶…∶n2
1∶3∶5∶…∶(2n-1)
(2)按位移等分(设相等的位移为h)，则：
①通过前h、前2h、前3h、…、前nh的位移时的瞬时速度之比为：v1∶ v2∶v3∶…∶vn= 。
②通过前h、前2h、前3h、…、前nh的位移所用时间之比为：t1∶t2∶ t3∶…∶tn= 。
③通过连续相同的位移所用时间之比为：t1'∶t2'∶t3'∶…∶tn'=_________
________________________________。
1∶∶…∶
1∶∶…∶
1∶(-
1)∶()∶…∶()
C.频闪拍照的时间间隔为Δt=
D.羽毛下落到位置C的速度大小为
(多选)(2023·中山市高一期末)如图所示是用频闪拍照的方法拍摄到的一张真空中羽毛与钢球从同一高度同时自由下落过程中的局部频闪照片。已知拍摄当地的重力加速度大小为g，由照片提供的信息，下列说法正确的是
A.钢球下落的加速度比羽毛下落的加速度更大
B.一定满足关系s1∶s2∶s3=1∶3∶5
例3
√
√
根据题图中信息可知羽毛与钢球在相邻的时间内下落的距离相同，根据匀变速运动推论Δs=aT2，可得钢球下落的加速度与羽毛下落的加速度相等，A错误；
根据初速度为零的匀加速运动规律可知，若A
点为下落起点位置，则满足s1∶s2∶s3=1∶3∶5，但是题中未说明A点为下落起点位置，所以不一定满足关系s1∶s2∶s3=1∶3∶5，B错误；
根据匀变速运动推论有Δs=g(Δt)2=s2-s1=s3-s2，解得Δt==，C正确；
根据匀变速运动规律中间时刻的瞬时速度大小等于该段时间内的平均速度大小，可得羽毛下落到位置C的速度大小为vC==，D正确。
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自由落体多过程问题
三
(2023·肇庆市高一期末)如图所示为一种巨型娱乐器械，可以使人体验超重和失重状态。一个可乘坐四十多人的环形座舱套装在竖直柱子上，升降机将其送上76 m的高处后再使其自由落下，座舱落到距离地面31 m的位置时，制动系统启动，座舱开始做匀减速运动，到距离地面1 m时刚好停下。若不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求：
(1)座舱下降过程中运动的最大速度；
例4
答案 30 m/s
座舱自由下落的高度为h1=76 m-31 m=45 m
座舱在自由落体运动末位置时速度最大，
设最大速度为v，
根据自由落体运动规律有v2=2gh1，
解得v=30 m/s
答案 5 s
(2)座舱下降过程运动的总时间。
设座舱做自由落体运动的时间为t1，
由自由落体运动规律可知h1=g，
解得t1=3 s，
制动后减速下降的高度h2=31 m-1 m=30 m，
设减速阶段加速度大小为a，
有v2=2ah2，得a=15 m/s2，
设减速阶段时间为t2，
则t2==2 s，
座舱运动的总时间为t=t1+t2=5 s。
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专题强化练
四
1.(2023·广州市高一期末)一个物体从某一高度做自由落体运动，已知它第1 s内的位移恰为它最后1 s位移的三分之一(重力加速度g取10 m/s2)。则它开始下落时距地面的高度为
A.31.25 m B.11.25 m
C.20 m D.15 m
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基础强化练
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自由落体的高度h=gt2，故第一秒内下落高度h1=×10×12 m=5 m，最后1 s内h2=3h1=15 m，初速度为 0 的匀加速直线运动，从开始运动在连续相等时间内的位移比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n-1)，知下落的时间为2 s。所以总位移为h=h1+h2=20 m，故选C。
2.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(重力加速度g取10 m/s2)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
√
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悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt==0.4 s，B正确。
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3.一苹果从4.5 m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5 m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1 m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为
A.60 m/s2 B.50 m/s2
C.40 m/s2 D.30 m/s2
√
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根据题意可知苹果下落的运动可分为两个阶段，先是做自由落体运动，下落高度为3 m，然后减速了0.5 m，根据运动学公式得，自由下落阶段有2gh1=v2
设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段有0-v2=-2ah2
解得苹果向下做匀减速运动的加速度大小为
a=60 m/s2，故选A。
4.(多选)一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力)，则
A.第1个小球落至井底时的速度为50 m/s
B.第1个小球落至井底时的速度为25 m/s
C.相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D.第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m
√
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√
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第1个小球自由下落的时间t== s=5 s，则刚落至井底时的速度v=gt=50 m/s，故A正确，B错误；
根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt==0.5 s，故C正确；
第9个小球下落的高度为h9=×10×(0.5×2)2 m=5 m，第7个小球下落的高度为h7=×10×(0.5×4)2 m=20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故D正确。
5.(多选)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2)
A.水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB.间歇闪光的间隔时间是 s
C.水滴在相邻两点之间的位移满足sAB∶sBC∶sCD=1∶3∶5
D.水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶4∶9
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若调节间歇闪光时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两点之间时间间隔相等。根据Δs=g(Δt)2，则Δt== s= s，故A错误，B正确；
初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等时
间内的位移之比为1∶3∶5，故C正确；
根据vt=gt得，vB∶vC∶vD=1∶2∶3，故D错误。
6.(2023·广州市铁一中学高一期末)雨后，屋檐还在不断滴着水滴，如图所示。小红认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落。她测得，屋檐到该窗台的距离H=3.2 m，窗户的高度为h=1.4 m。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。回答下列问题：
(1)水滴下落到达窗台时的速度大小；
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答案 8 m/s
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水滴下落至窗台通过的距离为H=3.2 m
由v2=2gH，
得v== m/s=8 m/s
(2)水滴经过窗户的时间。
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答案 0.2 s
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水滴下落至窗户上边缘的时间为
t1== s=0.6 s，
水滴下落至窗台的时间为
t2== s=0.8 s，
水滴经过窗户的时间为Δt=t2-t1=0.8 s-0.6 s=0.2 s。
7.高空作业的电业工人，在操作时不慎将一螺母由静止从高处脱落，它在落到地面前的1 s内下落了25 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则螺母
A.在空中下落的总时间为2 s
B.在空中下落的总时间为3 s
C.在脱落后的第1 s内与第2 s内的位移大小之比为1∶2
D.在脱落后的第1 s末与第2 s末的速度大小之比为1∶
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能力综合练
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设螺母下落的总时间为t，则有h=gt2，h-25 m=g(t-1 s)2，解得t=3 s，故A错误，B正确；
根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移大小之比规律，可知在脱落后的第1 s内与第2 s内的位移大小之比为1∶3，故C错误；
在脱落后的第1 s末的速度大小为v1=gt1=10 m/s，在脱落后的第2 s末的速度大小为v2=gt2=20 m/s，则在脱落后的第1 s末与第2 s末的速度大小之比为v1∶v2=1∶2，故D错误。
8.一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管(杆能穿过管)，杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s(穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程)，重力加速度大小g=10 m/s2，则竖直杆AB的长度为
A.0.2 m B.0.4 m
C.0.6 m D.0.8 m
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杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h=g，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l=1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h+L+l=g，穿过管所用的时间Δt=t2-t1，联立解得L=0.6 m，故选C。
9.(2024·东莞市高一开学考试)城市里高楼鳞次栉比，楼层越高视野越开阔，但是有一点一定要注意——严禁“高空坠物”，因为坠物落地速度很大，会造成很大的危害。假设一个小铁块从10层楼的高处无初速度下落，已知10层楼距地面高度为30 m，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是
A.小铁块在开始下落后的第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5
B.小铁块下落过程的平均速度大小为10 m/s
C.小铁块下落过程中第2 s内的位移为20 m
D.小铁块下落最后10 m所用时间为(-2) s
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小铁块做自由落体运动，由h=gt2，可知下落的总时间为t== s = s，由h=gt2可知，第1 s内的位移为5 m，前2 s内位移为20 m，即第2 s内的位移为15 m，则第3 s内的位移为10 m，所以在开始下落后的第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶2，故A、C错误；
由平均速度公式可知，小铁块下落过程的平均速度= m/s=5 m/s，故B错误；
已知小铁块总下落高度为30 m，前2 s内位移为20 m，则最后10 m内运动时间为t'=(-2) s，故D正确。
10.(2023·广东清远四校高一联考)鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏，撞击地面的速度最大不能超过1 m/s。某同学设计了如图所示的保护装置，用A、B两块较粗糙的夹板夹住鸡蛋，现将该装置从距地面某一高处自由下落，装置着地后速度立即减为零，且保持竖直，此后鸡蛋在A、B夹板间减速下落的加速度大小为9g。不计空气阻力，重
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答案 0.05 m
力加速度g=10 m/s2。
(1)如果没有保护，求鸡蛋自由下落而不被摔坏时释放的最大高度h；
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由题意知，鸡蛋做自由落体运动，
由自由落体运动的规律得=2gh，
解得h=0.05 m
(2)某次试验中保护装置从离地面H=5 m的高度处静止释放，为保证鸡蛋安全，求鸡蛋放的位置离装置下端的最小距离s；
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答案 0.55 m
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保护装置和鸡蛋共同自由下落，
有=2gH，
保护装置着地后鸡蛋开始减速，
到达地面时速度不超过vm=1 m/s就不会摔坏，
所以为保证鸡蛋安全，鸡蛋放的位置到装置
下端的最小距离s满足=2as，a=9g
代入数据联立解得s=0.55 m
(3)求在满足第(2)问情况下鸡蛋运动的总时间t。
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答案 1.1 s
鸡蛋和保护装置自由下落时有H=g，可得t1=1 s
鸡蛋减速时有vm=v1-at2，可得t2=0.1 s
鸡蛋运动的总时间t=t1+t2，
解得t=1.1 s。
返回作业15 自由落体运动规律的应用
(分值：100分)
1~5题每题8分，6题15分，共55分
1.（2023·广州市高一期末）一个物体从某一高度做自由落体运动，已知它第1 s内的位移恰为它最后1 s位移的三分之一（重力加速度g取10 m/s2）。则它开始下落时距地面的高度为 （ ）
A.31.25 m B.11.25 m
C.20 m D.15 m
2.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是（重力加速度g取10 m/s2） （ ）
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
3.一苹果从4.5 m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5 m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1 m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为 （ ）
A.60 m/s2 B.50 m/s2
C.40 m/s2 D.30 m/s2
4.（多选）一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力），则 （ ）
A.第1个小球落至井底时的速度为50 m/s
B.第1个小球落至井底时的速度为25 m/s
C.相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D.第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m
5.（多选）科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是（不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2） （ ）
A.水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB.间歇闪光的间隔时间是 s
C.水滴在相邻两点之间的位移满足sAB∶sBC∶sCD=1∶3∶5
D.水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶4∶9
6.（15分）（2023·广州市铁一中学高一期末）雨后，屋檐还在不断滴着水滴，如图所示。小红认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落。她测得，屋檐到该窗台的距离H=3.2 m，窗户的高度为h=1.4 m。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。回答下列问题：
（1）（7分）水滴下落到达窗台时的速度大小；
（2）（8分）水滴经过窗户的时间。
7~9题每题9分，10题18分，共45分
7.高空作业的电业工人，在操作时不慎将一螺母由静止从高处脱落，它在落到地面前的1 s内下落了25 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则螺母 （ ）
A.在空中下落的总时间为2 s
B.在空中下落的总时间为3 s
C.在脱落后的第1 s内与第2 s内的位移大小之比为1∶2
D.在脱落后的第1 s末与第2 s末的速度大小之比为1∶
8.一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管（杆能穿过管），杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s（穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程），重力加速度大小g=10 m/s2，则竖直杆AB的长度为 （ ）
A.0.2 m B.0.4 m
C.0.6 m D.0.8 m
9.（2024·东莞市高一开学考试）城市里高楼鳞次栉比，楼层越高视野越开阔，但是有一点一定要注意——严禁“高空坠物”，因为坠物落地速度很大，会造成很大的危害。假设一个小铁块从10层楼的高处无初速度下落，已知10层楼距地面高度为30 m，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是 （ ）
A.小铁块在开始下落后的第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5
B.小铁块下落过程的平均速度大小为10 m/s
C.小铁块下落过程中第2 s内的位移为20 m
D.小铁块下落最后10 m所用时间为（-2） s
10.（18分）（2023·广东清远四校高一联考）鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏，撞击地面的速度最大不能超过1 m/s。某同学设计了如图所示的保护装置，用A、B两块较粗糙的夹板夹住鸡蛋，现将该装置从距地面某一高处自由下落，装置着地后速度立即减为零，且保持竖直，此后鸡蛋在A、B夹板间减速下落的加速度大小为9g。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2。
（1）（4分）如果没有保护，求鸡蛋自由下落而不被摔坏时释放的最大高度h；
（2）（6分）某次试验中保护装置从离地面H=5 m的高度处静止释放，为保证鸡蛋安全，求鸡蛋放的位置离装置下端的最小距离s；
（3）（8分）求在满足第（2）问情况下鸡蛋运动的总时间t。
答案精析
1.C ［自由落体的高度h=gt2，故第一秒内下落高度h1=×10×12 m=5 m，最后1 s内h2=3h1=15 m，初速度为 0 的匀加速直线运动，从开始运动在连续相等时间内的位移比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n-1)，知下落的时间为2 s。所以总位移为h=h1+h2=20 m，故选C。］
2.B ［悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt=-=0.4 s，B正确。］
3.A ［根据题意可知苹果下落的运动可分为两个阶段，先是做自由落体运动，下落高度为3 m，然后减速了0.5 m，根据运动学公式得，自由下落阶段有2gh1=v2
设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段有0-v2=-2ah2
解得苹果向下做匀减速运动的加速度大小为
a=60 m/s2，故选A。］
4.ACD ［第1个小球自由下落的时间t== s=5 s，则刚落至井底时的速度v=gt=50 m/s，故A正确，B错误；根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt==0.5 s，故C正确；第9个小球下落的高度为h9=×10×(0.5×2)2 m=5 m，第7个小球下落的高度为h7=×10×(0.5×4)2 m=20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故D正确。］
5.BC ［若调节间歇闪光时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，看到水滴似乎不再下落，知相邻两点之间时间间隔相等。根据Δs=g(Δt)2，则Δt== s= s，故A错误，B正确；初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5，故C正确；根据vt=gt得，vB∶vC∶vD=1∶2∶3，故D错误。］
6.(1)8 m/s (2)0.2 s
解析 (1)水滴下落至窗台通过的距离为H=3.2 m
由v2=2gH，
得v== m/s=8 m/s
(2)水滴下落至窗户上边缘的时间为
t1== s=0.6 s，
水滴下落至窗台的时间为
t2== s=0.8 s，
水滴经过窗户的时间为Δt=t2-t1=0.8 s-0.6 s=0.2 s。
7.B ［设螺母下落的总时间为t，则有h=gt2，h-25 m=g(t-1 s)2，解得t=3 s，故A错误，B正确；根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移大小之比规律，可知在脱落后的第1 s内与第2 s内的位移大小之比为1∶3，故C错误；在脱落后的第1 s末的速度大小为v1=gt1=10 m/s，在脱落后的第2 s末的速度大小为v2=gt2=20 m/s，则在脱落后的第1 s末与第2 s末的速度大小之比为v1∶v2=1∶2，故D错误。］
8.C ［杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h=g，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l=1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h+L+l=g，穿过管所用的时间Δt=t2-t1，联立解得L=0.6 m，故选C。］
9.D ［小铁块做自由落体运动，由h=gt2，可知下落的总时间为t== s= s，由h=gt2可知，第1 s内的位移为5 m，前2 s内位移为20 m，即第2 s内的位移为15 m，则第3 s内的位移为10 m，所以在开始下落后的第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶2，故A、C错误；由平均速度公式可知，小铁块下落过程的平均速度= m/s=5 m/s，故B错误；已知小铁块总下落高度为30 m，前2 s内位移为20 m，则最后10 m内运动时间为t'=(-2) s，故D正确。］
10.(1)0.05 m (2)0.55 m (3)1.1 s
解析 (1)由题意知，鸡蛋做自由落体运动，
由自由落体运动的规律得=2gh，
解得h=0.05 m
(2)保护装置和鸡蛋共同自由下落，
有=2gH，
保护装置着地后鸡蛋开始减速，
到达地面时速度不超过vm=1 m/s就不会摔坏，
所以为保证鸡蛋安全，鸡蛋放的位置到装置下端的最小距离s满足-=2as，a=9g
代入数据联立解得s=0.55 m
(3)鸡蛋和保护装置自由下落时有H=g，可得t1=1 s
鸡蛋减速时有vm=v1-at2，可得t2=0.1 s
鸡蛋运动的总时间t=t1+t2，
解得t=1.1 s。
