天津市静海区第一中学2024-2025学年高二下学期3月学生学业能力调研试题 数学（含答案）

静海一中2024-2025第二学期高二数学（3月）
学生学业能力调研试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分,共150分。
知 识 与 技 能 学习能力
内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节
分数 10 30 20 21 15 30 24
第Ⅰ卷 基础题（共127分）
一、选择题:（ 每小题5分，共45分.）
1．下列求导运算正确的是(　　)
A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝
2．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
3.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
4.函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　)
A． B．e2 C． D．2e
5.已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
6.已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1]
7.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为(　　)
A．(－2,3) B．(－3,2)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
8若函数f(x)＝(e为自然对数的底数)是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤0 B．a≤1 C．a>0 D．0≤a≤1
9.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B． C．(1，＋∞)∪{0} D．(0,1]
二、填空题：（每小题5分，共25分.）
10.函数f(x)＝xln (－x)的单调递减区间是________.
11.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
12.已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________.
13．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若 x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________.
14.设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为________．
三、解答题：(本大题共4小题，共57分)
15.（12分）已知f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
16.（12分）已知函数f(x)＝ax－ex (a∈R)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex 成立，求实数a的取值范围．
（18分）（1）已知函数，，若函数在单调递减，求实数a的取值范围.
（2）已知在R上不是单调函数，求实数b的取值范围.
（3）已知函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
（4）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，求实数a的取值范围.
（5）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法.
18.（15分）设函数f(x)＝ln x－(m＋1)x，g(x)＝x2，x＞0，m∈R。
(1)讨论函数f(x)零点的个数；
(2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论函数y＝h(x)的单调性。
第Ⅱ卷 提高题（共20分）
19.（20分）已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数单调增区间；
(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
20.（3分）卷面分
1.B 2A 3.D 4.A 5.A 6.D 7.A 8.D 9.D
10. 11.　4 12. 13. 14.λ≥
15.解　(1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0)．
由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
∴切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
16.解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，
则f′(x)＝1－ex，
当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，
则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，
则问题转化为a≤max(x>0)，
令h(x)＝，x>0，
h′(x)＝＝，
当00，当x>时，h′(x)<0，
所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
所以h(x)max＝h()＝，所以a≤.
17.【答案】（1）； （2）； （3）； （4）；
答案见解析.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
要使得函数在区间单调递减，则满足在区间上恒成立，
根据二次函数的性质，可得，即，解得，
即实数a的取值范围.
（2）若函数在R上的单调函数，
因为，可得，
则满足恒成立，可得，解得，
所以函数在R上的单调函数，
则的取值范围.
（3）由函数，可得，
要使得函数在上单调递增，则满足在上恒成立，
即在上恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，即实数a的取值范围.
（4）因为函数，对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，
当时，，可得，即实数a的取值范围.
（5）根据（1）（3）可得到如下结论：
对于已知函数的单调性求参数问题：
（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；
（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；
（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；
（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.
18.h(x)＝ln x－(m＋1)x＋x2(x>0)，
h′(x)＝－(m＋1)＋mx＝，
当m＝0时，h′(x)＝，
x∈(0,1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当m＜0时，<0<1，
x∈(0,1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当m＝1时，h′(x)≥0，h(x)的单调递增区间为(0，)，
当m＞1时，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝；0<<1，当x变化，h′(x)，h(x)变化如下表，
x 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 单调递增 －ln m－1－ 单调递减 －－1 单调递增
即h(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为。
当0＜m＜1时，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝；>1，当x变化，h′(x)，h(x)变化如下表，
x (0,1) 1
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 单调递增 －－1 单调递减 －ln m－1－ 单调递增
即h(x)单调递增区间为(0,1)，，单调递减区间为。
综上，当m≤0时，单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，
当0＜m＜1时，单调递增区间为(0,1)，，单调递减区间为，
当m＝1时，h(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，
当m＞1时，单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为。
19.【答案】(1) (2) 单调增区间为 (3)
【详解】试题分析：（1）可得，又，得切线方程为；（2）求出，得增区间，得减区间；（3）存在，使得成立，等价于当时，，所以只要即可.
试题解析：（1）因为函数，
所以，
又因为，所以函数在点处的切线方程为．
（2）由（1），，
因为当时，总有在上是增函数．
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为，递减区间为．
（3）因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可
又因为的变化情况如下表所示：
0
0
减函数 极小值 增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值．
的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数，
而，故当时，，即；当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．