2024-2025学年浙江省宁波市姜山中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市姜山中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形中，，则必有( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是的重心，则( )
A. B.
C. D.
4.已知中的内角，，所对的边分别是，，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
8.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
10.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( )
A. B.
C. D.
11.在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则此三角形有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量在向量上的投影向量为 ．
13.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且，则文星塔高为___
14.如图，半径为的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是不共线的两个非零向量．
若，求证：三点共线；
若与共线，求实数的值．
16.本小题分
如图所示，在平面四边形中，，

求的值．
若为锐角，，求角．
17.本小题分
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
求的值；
求面积的最小值，并指出相应的的值．
18.本小题分
在中，内角，，对应的边分别是，，，已知，．
若的面积等于，求的周长；
若，求．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
若，
求；
若，设点为的费马点，求；
若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
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15.【详解】由，
得，
，
所以，且有公共点，
所以三点共线．
由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或
实数的值是

16.【详解】在中，由余弦定理可得
在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以

17.【详解】延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
是边长为的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．

18.【详解】由余弦定理得，，整理得：，
又因为的面积等于，所以，得；
联立方程组，即
解得舍去或，
所以的周长为．
因为，由正弦定理得：，
联立方程组，则，
解得舍去或，则，
所以，
又因为，所以，即，所以，故，
．

19.【详解】由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
由，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．

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