2024-2025学年四川省乐山市乐山第一中学校高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省乐山第一中学校高二下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和分别是，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的首项，公比，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
6.著名的斐波那契数列：，，，，，，，满足，，则是斐波那契数列中的 ．
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
7.设函数的导函数，则数列的前项和是( )
A. B. C. D.
8.“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成如图：是边长为的正三角形，曲线分别以、、为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以为圆心，为半径画弧如此下去，则所得螺旋线的总长度为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且，，，则( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为
10.多选已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
11.设，在数列中，，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为 ．
13.已知函数，则 ．
14.我国南北朝时期一部数学著作张丘建算经卷中，第题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了尺布，现在一个月按天计算共织布尺”则每天增加的数量为___ __ 尺，设该女子一个月中第天所织布的尺数为，则__ ___ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等比数列中，．
求的通项公式；
记为的前项和．若，求．
16.本小题分
已知函数．
分别求出的导数；
若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值．
17.本小题分
设数列的前项和为已知．
求通项公式；
设数列，求的前项和．
18.本小题分
已知函数，数列满足
证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
设，求；
对于中的，若存在，使不等式成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且点在函数上，且
求的通项公式；
数列满足，求数列的前项和；
记数列的前项和为，设，证明：．
参考答案
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15.详解：设的公比为，由题设得．
由已知得，解得舍去，或．
故或．
若，则由得，此方程没有正整数解．
若，则由得，解得．
综上，．

16.【详解】因为，
所以；
因为，
所以，解得．

17.【详解】由，当时，，，解得，
当时，由有，
所以，即，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以；
因为，
当时，，，
当时，，
，
所以．

18.【详解】因为函数，所以，
则，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
故数列的通项公式为；
由可知：，
所以
由可知：，所以化简为，
因为，所以由，得，
设，则，
由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，
，于是有时，，
所以，因此，
存在，使得成立，
则有，因此实数的最大值．

19.【详解】由点在函数上，得：
(ⅰ)当时，．
(ⅱ)当时，，．
又，
．
且，
由得：，
，
整理得：．
证明：，数列的前项和为，
，
，
，
即．
当时，，
综上，命题得证．

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