2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学高二下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，则( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，且，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
6.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去个服务点，每个服务点至少人，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
8.已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范
围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若随机变量，且，则
D. 若随机变量的分布列为，则
10.在棱长为的正方体中，点在底面内运动含边界，点是棱的中点，则( )
A. 若是棱的中点，则平面
B. 若平面，则是上靠近的四等分点
C. 点到平面的距离为
D. 若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为
11.已知函数参考数据：，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 在处的切线方程为
C. 在内共有个极值点
D. 设，则在上共有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 展开式中，只有第项的系数最大，展开式中的常数项是 ．
13.如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有 种．
14.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知是滑杆上的一个定点，可以在滑杆上自由移动，线段，点，是上两点，是中点，且，如图，过作的垂线，满足，则点所形成的轨迹的离心率 ；点所形成的轨迹的离心率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记数列的前项和为，已知且．
求的通项公式；
记，求数列的前项和
16.本小题分
“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为．
若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望；
若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
17.本小题分
已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求轨迹的方程．
已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点若点在直线上，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．
证明：平面；
若底面是正方形，．为中点，点在棱上，且平面与平面的夹角的余弦值为．
(ⅰ)求；
(ⅱ)平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
设是的两个极值点，
求证：；
求证：．
参考答案
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15.【详解】根据题意，，，则，
两式相减得，
即，
所以，
又适合上式，故的通项公式为，
由知，，所以，
故
．

16.【详解】由题意可知，，
可得，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为．
设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则．
且，
由得，其中，，
即，解得．
所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台．

17.【详解】由题意知动点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为
设，，联立方程组，得，
可得，则，．
易知，的斜率存在，设的方程为，
联立方程组，得．
由，解得，
所以的方程为，同理可得，的方程为．
由，解得，即点，即为
又因为若点在直线上，所以，解得．

18.【详解】因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
，，，
，，，设，
则．
设平面的法向量为，则即
取，得，，
所以是平面的一个法向量，
因为平面，所以是平面的一个法向量．
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，得，所以．
(ⅱ)设，则．
因为为平面的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．
，，，，，，
因为在平面上，所以，
所以．
设平面的法向量，则即
取得，所以是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，则
因为，所以
即与平面所成角的正弦值的取值范围为．

19.【详解】时，，，
因为，均在上单调递增，
则在上单调递增，又，
所以，，，，
所以在单调递减，在单调递增．
依题意的两根为，
即的两根为．
令，
得，且，，
则在单调递减，在单调递增，则．
令，
则，所以在单调递增，所以，
所以，又，在单调递增．
所以，即．
由，要证明，只需证，
即证明，
即证明
即证明
即证明，设，，
则，则当时，，则在单调递减，
则，则在上恒成立，从而左边得证．
因为，，且，，
则在和处的切线分别为和，
令，得，
再证明恒成立，
设，则，令，解得，
且时，，此时函数单调递减；
时，，此时函数单调递增；
则，则恒成立，
再证明恒成立，
设，，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增；
则恒成立，
所以，从而右边得证．
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数，再利用导数即可证明．

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