2024-2025学年河南省三门峡市渑池县第二高级中学高二下学期第一次月考（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省三门峡市渑池县第二高级中学高二下学期第一次月考（3月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.老师有本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设满足，则( )
A. B. C. D.
8.若函数在内无极值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是( )
A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零
10.某校高二年级安排甲乙丙三名同学到，，，，五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有( )
A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有种
B. 如果同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有种
D. 如果甲乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有种
11.已知二项展开式，下列说法正确的有( )
A. 的展开式中的常数项是
B. 的展开式中的各项系数之和为
C. 的展开式中的二项式系数最大值是
D. ，其中为虚数单位
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能个连续播放，则不同的播放方式有 ．
13.已知函数，则的最大值为 ．
14.已知定义在的函数满足，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值．
求的值；
求函数的单调减区间．
16.本小题分
若，其中．
求的值；
求；
求．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在点处的切线方程；
试判断函数的单调性．
18.本小题分
为庆祝妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有名男老师，名女老师报名参加比赛．
一共有多少不同的分组方案？
在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照、、、、号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
19.本小题分
已知函数．
证明：曲线在处的切线恒过定点；
已知有两个零点，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，又在处有极值，
得，即，解得，
此时，令，得到，
当时，，时，，
所以在处取到极小值，故满足题意，
所以．
由可知，其定义域是，且，
由，得，所以函数的单调减区间是．

16.的展开式的通项为，
所以，所以，解得；
由知，令，可得，
令，可得，所以；
令，可得，
由知，
所以．

17.当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即．
函数的定义域为，，
当时，，的减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为．

18.队伍分配方案可分为：两组都是女男；一组是男女，另一组是男女，
若两组都是女男，
则先将女平均分成两组共种方式，
再将男平均分成两组共种方式，
所以两组都是女男的情况有种；
一组是男女，另一组是男女的情况有种，
所以总情况数为种
故一共有种不同的分组方案；
总共可分为三种情况，如下：
若上场且不上场：
先将全排列，共有种方式，
再把捆绑后和全排列共有种方式，
所以上场且不上场共有种不同的排列方式；
若上场且也上场：
若在号位，先将全排列，共有种方式，
再从中选两人，有种方式，
则捆绑后和中的两人全排列，有种方式，
所以在号位共有种不同的方式；
若在号位，
再将全排列，且可位于，号位或，号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在号位或号位共有种不同的方式；
若在号位，
再将全排列，且可位于，号位或，号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在号位或号位共有种不同的方式；
若在号位，
将全排列，且可位于，号位或，号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在号位共有种不同的方式．
所以上场且也上场共有种不同的方式；
若中有一人上场且上场：
上场且不在号位，则可位于，，，号位，有种方式，
再从中选一人，有种方式，
中的一人和共人全排列，共种方式，
所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式．
综上所述，共有种排列方式．

19.由题意得：
所以，因为，
所以曲线在处的切线方程为．
整理得：．
令，解得
所以曲线在处的切线恒过定点．
因为，，，
所以，，
即，；
当时，方程只有一解，不满足题意；
当时，两式相比得，令，因为，所以，
所以，解得，，
所以，
令，则，
令，则
所以在上单调递增因为且，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以．
因为，
所以．

第1页，共1页