苏科版七年级数学下册 第7章 幂的运算 章节知识点复习 （含解析）

第7章《幂的运算》章节知识点复习
类型一、同底数幂的乘法
1．若，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．
3．计算：
(1)； (2)．
4．解下列方程：
(1)； (2)．
类型二、幂的乘方
5．计算： ．
6．计算：
7．计算： ．
8．已知，，则的值为（ ）
A．14 B．126 C．24 D．128
类型三、积的乘方
9．计算： ．
10．计算：
(1)； (2)．
11．计算
(1) (2)
类型四、同底数幂的除法
12．计算： ．
13．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．若，则 ．
15．计算：．
类型五、幂的运算的逆运用
16．若，，且，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．若，，则 ．
18．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．已知，，，计算下列代数式：
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
类型六、零指数幂与负整数指数幂
20．若有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
21．若，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知，求x的值为 ．
类型七、零指数幂与负整数指数幂的计算
23．计算：．
24．计算：
(1)； (2)
25．计算：．
类型八、科学记数法表示较小的数
26．纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
27．（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m；
（2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m．
28．下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
(1)； (2)．
29．用科学记数法表示：
(1)0.00003； (2)； (3)0.0000314．
30．一块正方体铁块的棱长为．
(1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？
(2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块
类型九、幂的运算与实际应用
31．新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示）
32．某银行去年新增居民存款3亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示）
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？
类型十、幂的运算的新定义问题
33．阅读材料．
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下：
设，，则，，
∴，
由对数的定义，得，
又∵，
∴．
请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题．
(1)将指数式转化为对数式为 ．
(2)计算： ．
(3)求证：（，，，）．
(4)直接写出的值．
34．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则，；
(2)根据运算性质，填空：______．（a为正数）
(3)若，分别计算，．
35．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】． 例如因为，所以【2，8】．
(1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，16】= 4．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以．
即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】．
②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】．
参考答案
类型一、同底数幂的乘法
1．B
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
2．
【分析】本题考查同底数幂乘法、乘方运算及单项式乘法计算，熟练掌握运算法则是解答的关键．根据法则直接计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
3．（1）解：原式．
（2）原式．
4．（1）解：原方程可化为，
整理，得，
所以，
解得．
（2）解：原方程可化为，
整理，得，即，
所以，
解得．
类型二、幂的乘方
5．
【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8．D
【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解．
【详解】解： ，，
，
故选：D．
类型三、积的乘方
9．
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
10．（1）解：原式；
（2）原式
．
11．（1）．
（2）．
类型四、同底数幂的除法
12．
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13．C
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则．根据同底数幂的乘除法法则计算即可．
【详解】解： ，，，
故选：C．
14．3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
15．
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的关键．
先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案．
【详解】解：
．
类型五、幂的运算的逆运用
16．C
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
化简得，
∴，
故选：C．
17．
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算可得出即，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
18．（1）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴的值
．
19．（1）解：，，．
．
（2）解：．
（3）解：．
类型六、零指数幂与负整数指数幂
20．D
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
∴或．
故选D．
21．C
【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
故选：C．
22．或或
【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于．
直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴当且时，
解得：；
当时，
解得：；
当且为偶数时，
解得：；
∴的值为或或．
故答案为：或或．
类型七、零指数幂与负整数指数幂的计算
23．解：
．
24．（1）解：
；
（2）
．
25．解：原式
．
类型八、科学记数法表示较小的数
26．B
【分析】根据记数法得基本要求和格式解答即可．本题考查了科学记数法，熟练掌握基本要求是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得用科学记数法表示为．
故选：B．
27．
【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
（1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可．
（2）根据科学记数法表示方法解答即可．
【详解】解：（1）用小数表示为．
故答案为：．
（2）用科学记数法表示为．
故答案为：．
28．（1）解：．
（2）解：．
29．（1）
（2）
（3）
30．（1）解：（立方米），
答：这块正方体铁块的体积是立方米；
（2）解：（立方米），
（个），
答：需要1000块这样的小正方体铁块．
类型九、幂的运算与实际应用
31．（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：当，时，
；
（3）解：，，
．
32．（1）解：，
答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有；
（2）解：天，
答：点钞机大约要点10天．
类型十、幂的运算的新定义问题
33．（1）解：将指数式转化为对数式为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
（3）证明：设，，则，，
∴，由对数的定义得，
又∵，
∴；
（4）
34．（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：1，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
35．（1）解：，
【4，64】，
，
【5，1】，
，
【，16】．
故答案为：3，0，．
（2）①证明：设【7，5】，【7，6】，
则，，
，
【7，30】，
【7，5】【7，6】【7，30】．
②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想：
【，】【，】，
【，】【，】，
【，】【，】
【，】【，】，
由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想：
【，】【，】【，】，
故答案为：【，】．