第五节 力的分解
［学习目标］ 1.知道什么是力的分解，会用平行四边形定则对力进行分解。2.能够在实际问题中按照力的实际作用效果进行力的分解。3.能运用力的正交分解法解决问题。
一、力的分解
如图所示F1、F2，F1'、F2'，F1″、F2″的合力均为F，F可等效替代这些分力，若已知F，这些分力能否等效替代合力？若将F分解为对称的两个力，有多少组解？F一定时两分力夹角越大，分力越大还是越小？
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1.力的分解：如果几个力共同产生的 与原来一个力产生的 相同，这几个力叫作原来那个力的 ，求一个已知力的 叫作力的分解。
2.力的分解方法
(1)遵循原则： 定则。
以一个已知的力作为平行四边形的 求两个相邻的 。
(2)如果没有限制，同一个力可分解为 对大小和方向都不同的分力。
例1 (多选)(2024·揭阳市高一期中)两个力的合力大小是100 N，其中一个力是40 N，另一个力未知，则另一个力可能是( )
A.60 N B.40 N
C.80 N D.150 N
二、力的效果分解法
1.用一个斜向上的拉力作用在带有毛刷的物块上，台秤示数变小，刷毛向左弯曲，说明斜向上的拉力产生了怎样的实际效果？
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2.观察塑料垫板和橡皮筋的形变，说明小车对垫板和橡皮筋产生了哪些效果，若小车没重力，还会产生这些效果吗？
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1.根据力产生的 确定分力的方向。
2.依据 计算分力的大小。
3.力的分解的步骤
例2 某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重力，重力为mg，将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，则( )
A.F1=mgtan α B.F1=mgsin α
C.F2=mgtan α D.F2=mgsin α
例3 在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图甲用斧子把木桩劈开，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是( )
A.F1=F2= B.F1=F2=
C.F1=F2= D.F1=F2=
三、力的正交分解法
力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则x轴上的分力Fx=Fcos α，y轴上的分力 Fy=Fsin α。
例4 如图所示，倾角为15°的斜面上放着木箱，用100 N的拉力F斜向上拉着木箱，F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy，并计算它们的大小。
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利用正交分解法求合力的步骤
四、力的分解的讨论
按下列要求作图。
(1)已知力F及其两个分力的方向(即图中α、β)，在图甲中画出两个分力F1和F2。
(2)已知力F及其一个分力F1，在图乙中画出另一个分力F2。
(3)已知合力F，F1的方向与F的夹角θ，在图丙中画出另一分力F2最小值的情形。
(4)已知F1的方向和F2的大小(Fsin α____________________________________________________________________________________________
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例5 如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)( )
A.4 N B.6 N
C.10 N D.100 N
已知合力F和分力F1的方向时，当分力F2垂直于F1时，F2有最小值。
答案精析
一、
能 无数组 越大
梳理与总结
1.效果 效果 分力 分力
2.(1)平行四边形 对角线 边
(2)无数
例1 AC ［设未知力的大小为F2，显然F2应大于40 N，根据合力与分力大小关系有F2-40 N≤F≤F2+40 N，其中，F是F2与40 N的合力，由题意有F2-40 N≤100 N≤F2+40 N，解得60 N≤F2≤140 N。故选A、C。］
二、
1.斜向上的拉力竖直方向上产生了一个竖直上提物块的效果，水平方向产生了向右拉物块的效果。
2.小车的重力产生了使小车压紧垫板和拉紧橡皮筋的效果，若小车没有重力就没有这些效果。
例2 A ［钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小，将钥匙对绳子的拉力分解如图，拉力按照作用效果可分解为
F1=mgtan α，F2=，故选A。］
例3 A ［根据力的平行四边形定则，力F与它的两个分力如图所示，由几何关系知F1=F2=，故A正确。］
例4 见解析
解析 如图
α=45°-15°=30°
Fx=Fcos 30°
=50 N
Fy=Fsin 30°=50 N
梳理与总结
1.效果
2.平行四边形定则
四、
例5 A ［根据力的分解的规律，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2=Fsin 37°=10×0.6 N=6 N，所以不可能是4 N，故选A。］(共47张PPT)
DISANZHANG
第三章
第五节 力的分解
1.知道什么是力的分解，会用平行四边形定则对力进行分解。
2.能够在实际问题中按照力的实际作用效果进行力的分解。
3.能运用力的正交分解法解决问题。
学习目标
一、力的分解
课时对点练
内容索引
二、力的效果分解法
三、力的正交分解法
四、力的分解的讨论
力的分解
一
如图所示F1、F2，F1'、F2'，F1″、F2″的合力均为F，F可等效替代这些分力，若已知F，这些分力能否等效替代合力？若将F分解为对称的两个力，有多少组解？F一定时两分力夹角越大，分力越大还是越小？
答案 能 无数组 越大
1.力的分解：如果几个力共同产生的 与原来一个力产生的 相同，这几个力叫作原来那个力的 ，求一个已知力的 叫作力的分解。
2.力的分解方法
(1)遵循原则： 定则。
以一个已知的力作为平行四边形的 求两个相邻的 。
(2)如果没有限制，同一个力可分解为 对大小和方向都不同的分力。
梳理与总结
效果
效果
分力
分力
平行四边形
对角线
边
无数
(多选)(2024·揭阳市高一期中)两个力的合力大小是100 N，其中一个力是40 N，另一个力未知，则另一个力可能是
A.60 N B.40 N
C.80 N D.150 N
例1
设未知力的大小为F2，显然F2应大于40 N，根据合力与分力大小关系有F2-40 N≤F≤F2+40 N，其中，F是F2与40 N的合力，由题意有F2-40 N≤100 N≤F2+40 N，解得60 N≤F2≤140 N。故选A、C。
√
√
返回
力的效果分解法
二
1.用一个斜向上的拉力作用在带有毛刷的物块上，台秤示数变小，刷毛向左弯曲，说明斜向上的拉力产生了怎样的实际效果？
答案 斜向上的拉力竖直方向上产生了一个竖直上提物块的效果，水平方向产生了向右拉物块的效果。
2.观察塑料垫板和橡皮筋的形变，说明小车对垫板和橡皮筋产生了哪些效果，若小车没重力，还会产生这些效果吗？
答案 小车的重力产生了使小车压紧垫板和拉紧橡皮筋的效果，若小车没有重力就没有这些效果。
1.根据力产生的 确定分力的方向。
2.依据 计算分力的大小。
3.力的分解的步骤
梳理与总结
效果
平行四边形定则
某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重力，重力为mg，将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，则
A.F1=mgtan α B.F1=mgsin α
C.F2=mgtan α D.F2=mgsin α
例2
√
钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小，将钥匙对绳子的拉力分解如图，
拉力按照作用效果可分解为F1=mgtan α
F2=
故选A。
在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图甲用斧子把木桩劈开，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是
A.F1=F2=
B.F1=F2=
C.F1=F2=
D.F1=F2=
例3
√
根据力的平行四边形定则，力F与它的两个分力如图所示，由几何关系知F1=F2=，故A正确。
返回
力的正交分解法
三
力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则x轴上的分力Fx=Fcos α，y轴上的分力Fy=Fsin α。
如图所示，倾角为15°的斜面上放着木箱，用100 N的拉力F斜向上拉着木箱，F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy，并计算它们的大小。
例4
答案 见解析
如图
α=45°-15°=30°
Fx=Fcos 30°=50 N
Fy=Fsin 30°=50 N
利用正交分解法求合力的步骤
总结提升
返回
力的分解的讨论
四
按下列要求作图。
(1)已知力F及其两个分力的方向(即图中α、β)，在图甲中画出两个分力F1和F2。
答案
(2)已知力F及其一个分力F1，在图乙中画出另一个分力F2。
答案
(3)已知合力F，F1的方向与F的夹角θ，在图丙中画出另一分力F2最小值的情形。
答案
(4)已知F1的方向和F2的大小(Fsin α答案
如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F=10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
A.4 N B.6 N C.10 N D.100 N
例5
√
根据力的分解的规律，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2=Fsin 37° =10×0.6 N=6 N，所以不可能是4 N，故选A。
已知合力F和分力F1的方向时，当分力F2垂直于F1时，F2有最小值。
总结提升
返回
课时对点练
五
1.(多选)已知一个力的大小是30 N，将此力分解为两个分力，这两个力的大小可能为
A.10 N，10 N B.20 N，40 N
C.200 N，200 N D.700 N，750 N
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基础对点练
√
√
2.把一个力分解为两个力时
A.一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B.两个分力不能同时变大
C.无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D.无论如何分解，两个分力不能同时等于这个力
√
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3.(多选)(2023·深圳市期中)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是
A.F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则
B.物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C.物体只受重力mg和弹力FN的作用
D.FN、F1、F2三个力的合力沿斜面向下
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则，A正确；
物体只受mg、FN两个力作用，B错误，C正确；
FN与F2的合力等于零，所以FN、F1、F2三个力
的合力等于F1，合力沿斜面向下，D正确。
4.滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一，如图所示，人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m，绳子对雪圈的拉力为F，F与水平方向之间的夹角为θ，以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为沿x轴方向的分量Fx和沿y轴方向的分量Fy。则Fy的大小为
A.Fsin θ B.Fcos θ
C. D.
√
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11
Fy的大小为Fy=Fsin θ，故选A。
5.如图所示，某人游泳时，某时刻手掌对水的作用力大小为18 N，该力与水平方向的夹角为30°，若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力，则水平方向的分力大小为
A.9 N B.9 N
C.12 N D.20 N
√
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水平方向的分力大小为Fx=Fcos 30°=18× N=9 N，故选B。
6.(2023·广州市高一期末)在现实生活中，力的分解有着广泛的应用，一卡车陷入泥坑中，在紧急状况下，我们可以按如图所示的方法，用钢索把卡车和木桩拴紧，在钢索的中央用较小的垂直于钢索的侧向力F就容易将卡车拉出泥坑。下列说法正确的是
A.力F一定比它沿钢索分解的两个分力都大
B.一个较小的力F可以分解为两个较大的分力
C.力F的大小等于沿钢索分解的两个分力大小之和
D.当力F作用于钢索时，若F大小一定，钢索形成的夹角越大，分力就越小
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能力综合练
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垂直于钢索的侧向力大小等于其两侧钢索拉力的合力大小，如图按力F的作用效果将F分解成沿BO和AO方向的两个分力F1和F2；由于AOB是同一钢索，且O是中点，故F1=F2，根据平行
四边形定则画出受力情况。由于∠AOB趋近于180°，故即使F较小，F1和F2也非常大，即两边钢索的拉力非常大，故能将卡车拉出泥坑，这种情况是一个较小的力F分解为两个较大的分力，故A、C错误，B正确；
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根据平行四边形定则可知，当力F作用于钢索时，若F大小一定，钢索形成的夹角越大，分力就越大，故D错误。
7.(2023·河源市期末)三个相同光滑空油桶按如图四种方式存放在不同的箱子中，则空油桶C对A的压力最大的是
A.图(a) B.图(b) C.图(c) D.图(d)
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光滑空油桶C受力如图所示，把空油桶C的重力G沿FA、FB进行分解，由图可知=cos θ，即FA=，图(d)中θ角最大，cos θ最小，FA最大，故选项D正确。
8.已知一条线段，以这条线段为对角线作出平行四边形，若没有附加条件限制，将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力，若没有附加条件限制，分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2，其中F1方向与F方向的夹角为30°，则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为
A.50 N 30° B.50 N 60°
C.50 N 90° D.50 N 90°
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√
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11
合力大小为F=100 N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据三角形定则，如图所示。
可知，另一个分力的最小值为
F2=Fsin 30°=100 × N=50 N
方向与F1方向的夹角为90°，故选C。
9.如图所示，水平地面上的物体重力为G=100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F=60 N，支持力FN=64 N，摩擦力f=16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。
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答案 32 N，方向水平向右 0.25
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对四个力进行正交分解，如图所示。
则沿x轴方向的合力
Fx=Fcos 37°-f
=60×0.8 N-16 N=32 N
沿y轴方向的合力
Fy=Fsin 37°+FN-G
=60×0.6 N+64 N-100 N=0
所以合力大小F合=Fx=32 N，方向水平向右。
物体与地面间的动摩擦因数μ===0.25。
10.在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。
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答案 50 N，方向与F1方向相同
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建立直角坐标系，如图所示，把F2分解
F2x=F2cos 37°=32 N
F2y=F2sin 37°=24 N
Fy=F2y-F3=0
Fx=F2x+F1=50 N
所以合力F=Fx=50 N，方向与F1方向相同。
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11.如图所示是扩张机的原理示意图，A、B处为活动铰链，C处为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l=1.0 m，b=0.05 m，F=400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)
A.3 000 N
B.2 000 N
C.1 000 N
D.500 N
尖子生选练
√
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11
将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示。
则有2F1cos α=F，得F1=F2=
再将F1按作用效果分解为FN和FN'，
作出力的分解图如图乙所示。
则有FN=F1sin α，联立得FN=
根据几何知识得tan α==10
得FN=5F=2 000 N，故选项B正确。
返回作业25 力的分解
(分值：100分)
1~5题每题7分，共35分
1.（多选）已知一个力的大小是30 N，将此力分解为两个分力，这两个力的大小可能为 （ ）
A.10 N，10 N B.20 N，40 N
C.200 N，200 N D.700 N，750 N
2.把一个力分解为两个力时 （ ）
A.一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B.两个分力不能同时变大
C.无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D.无论如何分解，两个分力不能同时等于这个力
3.（多选）（2023·深圳市期中）如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是 （ ）
A.F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则
B.物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C.物体只受重力mg和弹力FN的作用
D.FN、F1、F2三个力的合力沿斜面向下
4.滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一，如图所示，人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m，绳子对雪圈的拉力为F，F与水平方向之间的夹角为θ，以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为沿x轴方向的分量Fx和沿y轴方向的分量Fy。则Fy的大小为 （ ）
A.Fsin θ B.Fcos θ
C. D.
5.如图所示，某人游泳时，某时刻手掌对水的作用力大小为18 N，该力与水平方向的夹角为30°，若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力，则水平方向的分力大小为 （ ）
A.9 N B.9 N
C.12 N D.20 N
6~8题每题8分，9、10题每题16分，共56分
6.（2023·广州市高一期末）在现实生活中，力的分解有着广泛的应用，一卡车陷入泥坑中，在紧急状况下，我们可以按如图所示的方法，用钢索把卡车和木桩拴紧，在钢索的中央用较小的垂直于钢索的侧向力F就容易将卡车拉出泥坑。下列说法正确的是 （ ）
A.力F一定比它沿钢索分解的两个分力都大
B.一个较小的力F可以分解为两个较大的分力
C.力F的大小等于沿钢索分解的两个分力大小之和
D.当力F作用于钢索时，若F大小一定，钢索形成的夹角越大，分力就越小
7.（2023·河源市期末）三个相同光滑空油桶按如图四种方式存放在不同的箱子中，则空油桶C对A的压力最大的是 （ ）
A.图（a） B.图（b）
C.图（c） D.图（d）
8.已知一条线段，以这条线段为对角线作出平行四边形，若没有附加条件限制，将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力，若没有附加条件限制，分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2，其中F1方向与F方向的夹角为30°，则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为 （ ）
A.50 N 30° B.50 N 60°
C.50 N 90° D.50 N 90°
9.（16分）如图所示，水平地面上的物体重力为G=100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F=60 N，支持力FN=64 N，摩擦力f=16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）。
10.（16分）在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N，方向如图所示，求它们的合力。（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）。
（9分）
11.如图所示是扩张机的原理示意图，A、B处为活动铰链，C处为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l=1.0 m，b=0.05 m，F=400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计） （ ）
A.3 000 N B.2 000 N
C.1 000 N D.500 N
答案精析
1.BC 2.C
3.ACD ［F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则，A正确；物体只受mg、FN两个力作用，B错误，C正确；FN与F2的合力等于零，所以FN、F1、F2三个力的合力等于F1，合力沿斜面向下，D正确。］
4.A ［Fy的大小为Fy=Fsin θ，故选A。］
5.B ［水平方向的分力大小为Fx=Fcos 30°=18× N=9 N，故选B。］
6.B ［垂直于钢索的侧向力大小等于其两侧钢索拉力的合力大小，如图按力F的作用效果将F分解成沿BO和AO方向的两个分力F1和F2；由于AOB是同一钢索，且O是中点，故F1=F2，根据平行四边形定则画出受力情况。由于∠AOB趋近于180°，故即使F较小，F1和F2也非常大，即两边钢索的拉力非常大，故能将卡车拉出泥坑，这种情况是一个较小的力F分解为两个较大的分力，故A、C错误，B正确；
根据平行四边形定则可知，当力F作用于钢索时，若F大小一定，钢索形成的夹角越大，分力就越大，故D错误。］
7.D ［光滑空油桶C受力如图所示，把空油桶C的重力G沿FA、FB进行分解，由图可知=cos θ，即FA=，图(d)中θ角最大，cos θ最小，FA最大，故选项D正确。］
8.C ［合力大小为F=100 N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据三角形定则，如图所示。
可知，另一个分力的最小值为
F2=Fsin 30°=100 × N=50 N
方向与F1方向的夹角为90°，故选C。］
9.32 N，方向水平向右 0.25
解析 对四个力进行正交分解，如图所示。
则沿x轴方向的合力
Fx=Fcos 37°-f
=60×0.8 N-16 N=32 N
沿y轴方向的合力
Fy=Fsin 37°+FN-G
=60×0.6 N+64 N-100 N=0
所以合力大小F合=Fx=32 N，方向水平向右。
物体与地面间的动摩擦因数
μ===0.25。
10.50 N，方向与F1方向相同
解析 建立直角坐标系，如图所示，把F2分解
F2x=F2cos 37°=32 N
F2y=F2sin 37°=24 N
Fy=F2y-F3=0
Fx=F2x+F1=50 N
所以合力F=Fx=50 N，方向与F1方向相同。
11.B ［将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示。
则有2F1cos α=F，
得F1=F2=
再将F1按作用效果分解为FN和FN'，作出力的分解图如图乙所示。
则有FN=F1sin α，
联立得FN=
根据几何知识得tan α==10
得FN=5F=2 000 N，故选项B正确。］
