人教A版（2019）选择性必修第一册3.2 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）

教学设计
题目 双曲线及其标准方程 第1课时
一、内容和内容解析 内容 双曲线的定义、标准方程及其简单应用
内容解析 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。
二、学情分析 从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。 从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟。
三、目标和目标解析 目标 1、理解和掌握双曲线的定义、标准方程； 2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力。
目标解析 能从几何情景中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义。类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程（教师给出），并能用于解决简单的问题，发现与椭圆方程的不同之处。
教学重点 双曲线的几何特征，双曲线的标准方程
教学难点 双曲线的形成
四、教学方法分析 著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点： 1、以类比思维作为教学的主线 2、以自主探究作为学生的学习方式 授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用。因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度。
五、教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标
环节一 任务1： 创设情境，提出问题 引导语：从本章引言的学习中知道双曲线是圆锥曲线的一种，而且具有广泛的应用，如发电厂冷却塔、广州塔等的外形，本单元我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 问题1：我们知道，平面内与两个定点F1和F2的距离之和等于常数（大于F1和F2的距离）的点的轨迹是椭圆，一个自然问题是：平面内与两个定点距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 通过椭圆的定义着手，从数学运算角度出发，提出“差为常数”动点轨迹问题，激发学生的好奇心和求知欲。
环节二 任务2： 观察发现，形成定义 问题2：在直线上取两个定点A、B，P是直线上的动点。在平面内，取定点F1、F2，以点F1为圆心线段PA为半径作圆，再以点F2为圆心线段PB为半径作圆。P在线段AB上运动，两圆交点如何变化的？ 师生活动：教师演示，学生观察到：当P在线段AB上运动时，如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆（如下图)： 如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹（如下图)： 追问1：如果点P在线段AB外运动，两圆交点又如何变化？ 师生活动：教师演示，学生观察到：当P在线段AB外运动时，如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆不相交，不存在轨迹（如下图)： 如果||F1F2|＞|AB|，两圆相交，交点轨迹不同于椭圆的曲线，它是不封闭且分为左右两支（如下图)： 追问2：这时MF1，MF2满足什么关系？ 师生活动：教师演示动画，学生观察到数值变化：在|F1F2|＞|AB|条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|。 由三角形三边关系能得到|AB|≤|F1F2|，总之，点M与两个定点F1,F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数且|AB|≤|F1F2|。 追问3：满足上述几何特征的曲线叫双曲线，请阅读教科书119页双曲线定义，其中有哪些关键词？若删掉这些关键词，曲线会发现怎样的变化？ 师生活动：学生思考，教师引导学生进一步探究运动变化的特殊情况。 (1）若删掉“非零常数”，那么|MF1|-|MF2|=0，点M轨迹为线段F1F2的垂直平分线； (2）若删掉"小于|F1F2|"，两圆没有交点，不存在轨迹或为两条射线； (3）若删掉“绝对值”，得到是双曲线的一支。 追问4：总结上述探究过程，获得了哪些曲线，系统分析它们对应的几何特征？ 师生活动：教师给出表格，学生独立思考，并完成。 问题2中将椭圆与双曲线统一起来，借助信息技术动态演示图象的变化情况，让学生先用“几何眼光”观察，直观感知，从几何情境中把握双曲线的几何特征，通过系列的追问，引导学生能够辨别不同轨迹的生成条件是不同的。 追问1认识到双曲线是当P在线段AB外运动，且|F1F2|＞|AB|。 追问2认识到|MF1|-|MF2|=|AB|距离之差是不变量。 追问3通过提取关键词，思考关键词，构建运动变化的图象，辨析概念。 追问4促进学生系统整理不同几何情境下的轨迹分别是什么，让学生经历从不严谨到严谨的过程，再次体验精确定义一个数学对象的数学方式，培养学生思维的严谨性和数学抽象素养。
环节三 任务3： 代数运算，建立方程 问题3：回顾椭圆标准方程的探究过程，能否类比推导双曲线的标准方程？ 师生活动：教师提问，学生思考。 追问1：如何建立恰当的平面直角坐标系？动点M 的轨迹用集合如何表示？ 师生活动：学生回顾椭圆标准方程进行迁移，类比求出双曲线的方程。 教师总结：取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立所示的平面直角坐标系，设M(x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c＞0)，则焦点F1,F2的坐标分别是（-c,0),(c,0)，又设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数，a2a，即c>a，所以c2-a2>0, 类比椭圆的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0代入上式，得 追问2：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 师生活动：学生自主完成。焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 焦点的坐标是F1(0,-c),F2(0,c),a,b,c满足的关系式是c2=a2+b2。 追问3 ：如何通过双曲线的标准方程判断焦点的位置？与椭圆标准方程的区别是什么？ 师生活动：学生先观察标准方程的结构特征，然后获得方法：若x2项的系数是正数，则焦点在x轴；若y2项的系数是正数，则焦点在y轴。椭圆方程与双曲线方程形式上相似，方程中间加减区别、c2、a2、b2之间关系不同等。 类比求椭圆标准方程方法的过程，在前面用“几何眼光”直观感知后，用“代数方法”进行论证，即坐标法求双曲线的标准方程，在这样的过程中培养学生数学运算素养，渗透数形结合思想方法。 通过比较理解椭圆、双曲线标准方程的差异，培养学生批判性思维品质。
环节四 任务4： 例题练习，巩固解 例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 师生活动：学生独立完成，之后展示点评。 问题4：采用什么方法求方程？ 师生活动 学生选择定义法完成。 例2已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。 问题5：对比定义，在实际问题中找到相关的几何特征？对应的曲线是什么？ 师生活动学生仔细读题，对比定义，找到两个定点A,B，一个动点，即爆炸所在地点P，并且|AP|-|BP|=680．从而确定炮弹爆炸点轨迹的形状是双曲线的一支（靠近点B)，然后建立平面直角坐标系求解。 追问1：如何在方程中表示曲线为双曲线的右支？ 师生活动教师提出，学生作答，“右支，x>0,x>100”都可以，为了体现数学的精确性，可采用x≥340，应特别注意x>340不正确。 让学生熟悉双曲线的定义和标准方程，掌握确定双曲线的几个特征，并会用定义法求双曲线的标准方程，熟练应用参数关系c2=a2+b2解决相关问题。 体会双曲线在实际问题中的应用，进一步熟悉双曲线的定义，尤其应注意是否为一支情形，引导养成严谨分析概念的习惯，把握实际问题解决的过程，发展数学抽象素养和数学应用能力。
环节五 任务5： 小结提升，形成结构 问题7请同学们带着下面的问题回顾本节课的学习过程，并给出回答. (1）如何探究的双曲线的几何特征，双曲线定义是什么？结合椭圆，应注意什么？ (2）你是如何类比求椭圆标准方程的过程，求出双曲线标准方程的？你对坐标法有哪些新认识？ (3）完成表格，对比椭圆知识点，双曲线的标准方程和椭圆的标准方程有何异同点？ 在学生独立思考、总结的基础上进行交流，然后教师点评、总结梳理，提炼所学知识、技能，感悟数学思想。