期中检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册北师大版

中小学教育资源及组卷应用平台
期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的半径是，，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定
2．下列命题中，真命题的是（ ）
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．平分弦的直径一定垂直于这条弦
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
D．等弧所对的圆周角相等
3．如图，在中，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知，，是抛物线上的三个点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图，、是的弦，是弧的中点，是上的一点，连接，．若，，且，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴有2个交点，其中一个交点坐标为，与轴交点纵坐标在1和2之间(不包括1和2)．有下列结论：①；②；③；④(为非负数)；⑤为任意实数)；⑥．其中正确的结论有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．一段圆弧的弧长是分米，半径是分米，圆心角为 度．（取）
10．一次函数与抛物线的交点个数为 个．
11．若，则锐角的取值范围是 ．
12．“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．（结果保留）
13．如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为 ．
14．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
15．小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ．
16．向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径的弧交的延长线于点，若，．
(1)求的长；
(2)求的值．
19．在中，点分别在边上，线段相交于点．
(1)若是正三角形，，求的值．
(2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：．
20．已知二次函数（为常数）
(1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点．
(2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围．
(3)若函数图象经过，，，，求的值（用含有的代数式表示）．
21．如图，内接于，，为的直径．过点B作的切线，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求的长．
22．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4．
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标．
23．已知，点D在的延长线上，，以为边，在的同侧作正方形，经过E、F两点作且与边相切于点G，连接，点P是边的中点，
(1)求的半径；
(2)如图1，当点P在上，连接，若，求证：是的切线；
(3)如图2，若，且，连接交于点H，设，
①求y与m的函数关系式；
②当点P在上时，求y的值．
《期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A B D D D
1．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得．
【详解】解：∵的半径为5，，且，
∴点在外，
故选：A．
2．D
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记圆的有关定义及性质．
【详解】解：A、同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；
C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，
先作，构造出直角三角形，再结合余弦的定义.
【详解】过点A作，垂足为M，
∵，
∴．
在中，，.
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键．根据函数图像和性质进行判断即可．
【详解】根据题意得到对称轴为直线，
若，则抛物线开口向下，
，故选项A正确，选项B错误；
若，则抛物线开口向上，
，故选项C错误，选项D错误；
故选A．
5．B
【分析】连接、、，结合弧、弦、圆心角的关系，等边对等角证明，根据全等三角形的性质推出，，连接，，由圆周角定理可得，再用勾股定理解直角三角形即可求解．
【详解】解：连接、、，
是弧的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
连接，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是利用弧、弦、圆心角的关系求证，等边对等角，全等三角形的判定与性质，用勾股定理解三角形，圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆的相关性质．
6．D
【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
根据配方法求解即可．
【详解】解：
故选：D．
7．D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是准确识图，熟练运用数形结合思想进行推理判断．根据抛物线的图象和顶点坐标、经过，得出关于二次函数系数的相关式子，利用式子之间的关系推导即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，且与y轴交点在1和2之间，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线经过，代入解析式得，；
又∵，代入上式得，，即；
∵，即，解得，，故②正确；
由图象可知，当时，；当时，；
∴，
∴ ，即 ，故③正确；
∵ ，且抛物线开口向下，
∴ ，即，故④正确；
∵抛物线开口向下，，顶点坐标为，纵坐标最大，
∴，，，故⑤错误；
∵顶点坐标为，
∴，
∵，
∴，即，故⑥正确；
综上所述：正确的有①②③④⑥，共5个．
故选：D．
9．108
【分析】本题主要考查弧长公式，灵活运用弧长公式是解题的关键．
设圆心角为，利用弧长公式得，然后解方程即可．
【详解】解：设圆心角为，
根据题意得，
解得，
即圆心角为度；
故答案为：．
10．2（或“两”）
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．
【详解】解：联立方程组，
化简得，
∴，
∴方程有2个不等的实数根，
∴一次函数与抛物线的交点个数为2个，
故答案为：2．
11．
【分析】本题考查正切的性质，根据正切值随着锐角的增大而增大，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵ ，是锐角，
∴
∴；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．
直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵等边的边长为3，
∴，，
∴该莱洛三角形的周长．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是切线的性质和勾股定理、矩形的性质与判定，熟记圆的切线性质是解题的关键．
连接、，过点A作于点D，判断出四边形为矩形，即可得出，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接、，过点A作于点D，
∵直线与相切于点C，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设的半径为x，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的半径为，
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故答案为∶5．
15．
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
16．24
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：连接，则：，
∵圆心到弦的距离为，
∴，
∴；
故答案为：24．
17．
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的混合运算，绝对值，先化简零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
18．(1)10
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理．
（1）利用线段的和与差计算即可求解；
（2）过点作的垂线，垂足为点，利用等腰三角形的性质求得，在中，利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：过点作的垂线，垂足为点，如图，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）证明得到，那么，即可求解；
（2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明．
【详解】（1）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）利用二次函数的对称轴，且图象开口向上，即可求解；
（3）先将点代入函数中，得到，再把点、点代入函数中，表示的值，进行化简即可求解．
【详解】（1）解：，
该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（2）函数图象的对称轴为直线，图像开口向上，
根据题意，得，
解得；
（3）将点代入原函数，得，且，
，
把点、点代入原函数中，
得：，，
．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接并延长，交于点H，连接，证明垂直平分，则，再由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，．则可证明四边形为矩形，进而可证明；
（2）利用勾股定理求出．再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点H，连接，
，，
垂直平分．
，
为的切线，
．
为的直径，
．
四边形为矩形．
；
（2）解：如图所示，连接．
为的直径，
．
，
，，
，．
．
，．
，
．
．
．
22．(1)
(2)S最大值为，
(3)Q的坐标为或
【分析】（1）将代入，由待定系数法可得抛物线的解析式为，由即得，设直线l解析式为，代入，即可得直线解析式为；
（2）过P作轴交于K，设，则，即得，故面积，从而可知当时，S取最大值，
（3）分两种情况，Q点在下方、x轴正半轴上时；Q点在上方、x轴负半轴上时，分别解决问题．
【详解】（1）解：将代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
在中，令得，
，
设直线l解析式为，将代入得：
，解得，
∴直线l解析式为；
（2）过P作轴交于K，如图：
设，则，
，
∴面积，
∵，
∴当时，S取最大值，最大值为，此时；
（3）当Q在直线上方时，过A作交射线于M，过M作轴于N，过D作轴于N，如图：
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，
，由得直线为：，
解得（与D重合，舍去）或，
∴；
当Q在直线下方时，过点A作交于T，过A作轴，过D作于R，过T作于S，如图：
　
同理可证，
，
，
∴直线解析式为，
由得（舍去）或，
，
综上所述，Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值解决三角形面积、等腰直角三角形性质及应用等知识，分类讨论和转化的思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，联立方程求解，综合运用这些知识点是解题关键．
23．(1)的半径为；
(2)证明见解析
(3)①；②
【分析】（1）如图，连接并延长交于，连接，，证明，，设，再进一步利用勾股定理求解即可；
（2）如图，连接，，证明，可得，再进一步可得结论；
（3）①作于，证明，可得，证明是等边三角形，可得，求解，证明，再进一步解答即可；
②如图，连接并延长交的延长线于，连接，，过作于，证明，可得，求解，，而，，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：如图，连接并延长交于，连接，，
∵切于，正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴的半径为；
（2）解：如图，连接，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）解：①作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵结合（1）可得：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交的延长线于，连接，，过作于，
∵，，
∴，
而为的中点，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，本题难度大，画出符合题意的图形，作出合适的辅助线是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)