期中检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册人教版

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期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图像（ ）
A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线
C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线
2．已知与相似，，则的长可能是（ ）
A．2 B．4.5 C．9 D．9.6
3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．2
7．如图，的对角线、交于点以为直径的半圆经过点，若的周长为，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知，正比例函数的图象与双曲线交于点A、B．点A与点C关于x轴对称，连接，若的面积为12，则k的值为 ．
9．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与矩形的边，分别相交于点，，已知，，的面积为，则的面积为 ．
11．如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为 ．
12．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，分别交于点，连接，则的周长为 ．
13．如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为E，连接，则 ．
14．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)．
15．如图，在正方形中，为边上一点，连接，于点，连接、，过作于点，已知，，，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为．
(1)求k和m的值；
(2)当时，求函数值y的取值范围．
18．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度
【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在E处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端；
【测量数据】经过测量可知，，，．已知点在同一条直线上，且，，，请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度．
19．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，四边形中，，，平分，点，分别在，上，，交的延长线于点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求证：；
(3)如图2，连接交于点，若，，当时，求的值．
22．如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 9 6 4.5 3.6 3 …
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
《期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C D A A C C
1．C
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项．
【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误；
B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误；
C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确；
D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误；
故选：C．
2．C
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论．
【详解】解：当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握知识点是解题的关键．
将点，，代入，分别求出，即可比较大小．
【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴将点，，代入，得，
∴，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了涉及特殊角的三角函数值的计算，二次根式的乘法计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别代入特殊角的三角函数值，再计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为，
则，
解得，
所以另一段长为，
因为，所以是第5张．
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O，
∴由反比例函数的对称性可知，
∴，
∵轴且，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，扇形面积公式，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，证明四边形是菱形，再求出，，又，则，最后由即可求解．
【详解】解：连接，
∵为直径的半圆直径，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：．
8．6
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，设则，可得，即可解答．
【详解】解：如图，连接．设，
正比例函数的图象与双曲线交于点A、B．点A与点C关于x轴对称，
．
轴，轴，
，
．
．
故答案为：6．
9．9
【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案．
【详解】解：∵四边形四边形，且，
∴，
∵四边形的周长为15，
∴四边形的周长，
故答案为：9．
10．
【分析】本题考查坐标与图形性质、矩形的性质、反比例图像的性质，熟练掌握矩形的性质，利用割补法求解图形面积是解答的关键．
利用矩形性质和坐标与反比例图像的性质可得M的坐标是，N的坐标是，再根据坐标与图形性质和矩形性质，借助割补法，根据求解面积列方程即可求出．进而求解．
【详解】∵四边形是矩形，，，
∴轴，，，
∵M、在上，
∴M的坐标是，N的坐标是，
∵四边形是矩形，
∴， ，，
∴的面积，
∴，
解得：（负值已经舍去）
故
故答案为．
11．
【分析】本题考查位似变换，利用位似的性质得面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是理解题意，灵活运用位似的性质．
【详解】解：∵，
∴正方形的面积四边形的面积，
∵正方形的面积为，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
∴，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解直角三角形．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、、的长度，再利用勾股定理求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此根据正切的定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴。
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了三角函数的应用；由题意得米，米，过点作于点，过点作于点，则，，四边形和四边形均为矩形，，得出米，，，，推出，再由锐角三角函数的定义求出米，易证是等腰直角三角形，得出米，即可得出结果．
【详解】解：由题意得：米，米，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，，四边形和四边形均为矩形，，
米，，，，
为的中点，
，
，
在中，（米），
（米），
米，
，，
是等腰直角三角形，
米，
（米），
故答案为：．
15．
【分析】根据正方形的性质，同角的余角相等，推出，得到，根据三角函数结合勾股定理求出，进而得到，过点作，三线合一结合勾股定理，求出的长，再利用等积法求出的长即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用同角的余角相等，进行导角，是解题的关键．
16．7
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行特殊角的三角函数，零指数幂，去绝对值，负整数指数幂，开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
17．(1)，
(2)
【分析】根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值；
求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：，
，，
∴，
，
点A的坐标为，
把代入，得；
（2）解：∵当时，，
又反比例函数在时，y随x的增大而减小，
当时，y的取值范围为
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，解决此题的关键是要熟练掌握反比例函数的图象性质．
18．
【分析】此题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
解得，
答：崇文塔的高度为，
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴．
∵为的直径，是切线，
∴．
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
∴
又∵，
∴．
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴．
∴．
由折叠可得，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由轴于点，得到的横坐标为，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出，即可求解；
（2）联立正比例函数与反比例函数，求出，，结合，，得到，，进而得出，，根据“的面积与的面积相等”列方程求出，即可求解．
【详解】（1）解：轴于点，
的横坐标为，
在正比例函数中，令，则，
，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为；
（2）存在，
联立，
解得：或，
，，
，，
，，
，，
的面积与的面积相等，
，
解得：或，
在反比例函数的图象上存在点，使得的面积与的面积相等，点的坐标为或．
21．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）结合平行线的性质以及角平分线的定义，得，再运用四边相等的四边形是菱形，进行作答即可．
（2）先得出，再结合平行线的性质以及角的等量代换得，最后运用两组角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答．
（3）由（2）可知，，结合勾股定理列式，解得．得再因为，得，即．过点作于点，证明四边形是矩形，则，得出．
【详解】（1）证明：，平分，
，，
，
，
又，
，
四边形为菱形．
（2）证明：，
，
．
又，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：由（2）可知，，
设．
，
，
解得．
，
，
，
．
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
则，，
，
∵，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．(1)画图见解析，
(2)；弹簧秤的示数将不断增大
【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键．
（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况；
【详解】（1）解∶画图如下∶
由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得，
，
解得，
∴；
（2）解∶把代入，得，
积的，
即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，
∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大．
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