期中检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册苏科版

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期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ）
A．24 B．6 C．31 D．19
4．在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在矩形中，，点分别为的中点，相交于点，过点作交于点，则线段的长度是（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题
8．当 时，函数是二次函数．
9．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是 ．
10．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ．
11．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ．
12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系．
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
0 8 14 18 20 20 18 14 ．．．
如上表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是．其中正确的结论是 ．
13．如图，在四边形中，，，，与交于点E，，则的值是 ．
14．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的不等式的解集为 ．
15．如图，在矩形中，以为边作菱形，落在直线上，连接，分别与交于点．若，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：；
17．如图，点A，B，C都落在网格的顶点上．
(1)写出点A、B、C的坐标：
(2)把先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得，画出．并写出坐标．
18．如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？
19．如图，中，．
(1)尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，，，求的周长．
20．已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(3)根据图象，直接写出：
①当函数值为正数时，自变量x的取值范围；
②当时，函数值y的取值范围．
21．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；
(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．
《期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B C B D A D
1．A
【分析】本题主要考查了比例的性质，解题关键是通过设出参数，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，代入得，
，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可．
【详解】解：抛物线经过点，
故选：C ．
4．B
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，．
．
．
与的面积比为，
与的相似比为，即．
．
故选：D
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a，b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a，b异号，故，
则反比例函数的图象在第二，四象限，
一次函数经过第一，二，四象限，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，根据题意得，，由得，从而，进一步得到，由勾股定理求得，由题意得得到对应线段成比例即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵点E，F分别为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
解得：，
故选D．
8．
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得
又∵，即，
综上所述：
故答案为．
9．3
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及相似三角形的判定和性质．
连接，利用勾股定理逆定理证，结合证明，可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴为直角三角形， ，
∵，
∴，
∴为直角三角形， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：3．
10．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解．
【详解】解：作交于点H，如图所示：
由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于的方程是解题的关键．求出对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最大值，可知当时，，即可得到，解方程组即可求得的值．
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
开口向上，，
当时，有最大值，
当时，，
，
解得或，
，
的值为．
故答案为：．
12．②③
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质逐个判断即可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
将点，和代入得：，解得，
则，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，则结论①错误；
二次函数的对称轴为直线，则结论②正确；
当时，，解得或，
所以足球被踢出时落地，则结论③正确；
当时，，则结论④错误；
综上，正确的结论是②③，
故答案为：②③．
13．
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
证明，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一不等式的解集．
【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，，
∴，，
∴，，
∴，，
根据函数图象，可得关于的不等式的解集为．
故答案为：．
15．/
【分析】根据矩形的性质，菱形的性质，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，再根据相似三角形的性质找到线段跟线段的比例关系，求出，即可求得．
【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练以上性质和定理，找到线段之间的比例关系是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质进行计算即可得出答案，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质．
【详解】解：
．
17．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据坐标系的点的位置，写出点A、B、C的坐标即可．
（2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
本题考查了坐标的平移，坐标特征，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得．
（2）解：根据题意，得，
故先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，新坐标分别为，画图如下：
．
18．(1)
(2)小球M能飞过这棵树
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键
（1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解；
（2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可．
【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过原点O，
，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（2）解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上，
B点的纵坐标为，
树高为4，树与y轴平行，
树的顶点的纵坐标为：，
将代入，得：，
，
小球M能飞过这棵树．
19．(1)解解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求；
（2）先由勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质列出比例式求出，再求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求；
由可得；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴的周长．
20．(1)对称轴为，顶点坐标为
(2)图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．
(3)①；②．
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先将二次函数解析式化成顶点式，然后确定出顶点坐标即可；
（2）分别令、求解即可确定其与两坐标轴的交点坐标；
（3）①确定函数图象在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围即可；②根据函数图象确定y的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为．
（2）解：令可得：，即函数图象与y轴的交点坐标为；
令可得：，解得：或3，即函数图象与x轴的交点坐标为．
（3）解：①∵函数图象与x轴的交点坐标为，
∴根据函数图象可得：函数值为正数时，自变量x的取值范围为；
②如图：可知：当时，有最大值：；
当时，有最小值：；
∴当时，函数值y的取值范围为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得到，，结合，可推出，可证；
（2）根据菱形的性质求得，再利用勾股定理求得，然后由（1）可知，从而得到，即可求得答案．
【详解】（1）证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：四边形为菱形，
，，
在中，，，，
，
由（1）可知，
，
．
22．(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）由抛物线与轴交于两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当为矩形边时，当为矩形对角线时，如图，再结合图形求解即可．
（3）作的垂直平分线，垂足为，交于点，作于点，作点关于点的对称点符合条件，根据题意分别画图求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
设，则，
当为矩形边时，可得或，
当时，则，即，
解得：，
则；
当时，则，即，
解得：，
则；
如图，当为矩形对角线时，
，四边形是矩形，
，
则，即，
解得：或，
则或；
综上：或或或．
（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，
故直线的解析式为，
设，
作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示．
根据题意可得，
当时，，，故符合条件．
此时，，
解得：，
∴点的坐标为．
作于点，作点关于点的对称点．如图所示．
此时，则，故点符合条件．
根据题意，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，
则，
∴，
∵点关于点N对称，
即点为线段的中点，
∴点的坐标为．
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的方法解题是关键．
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