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人教版2024—2025学年八年级下册期中全优冲刺夺冠卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
3．如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（ ）
A．105° B．15° C．30° D．25°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的三边分别为．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点、AF每DE相交于点P、B与CE相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在二次根式中，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．12
10． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，且的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．与最简二次根式能合并，则m＝ ．
12．如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ．
13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 .
14． 已知一个直角三角形的两直角边长分别是和，则这个三角形的斜边长是 ．
15．一次函数y＝（2m﹣1）x＋2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 .
16．已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m 时，y随x的增大而增大．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
19．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油50L，开始工作后，每小时耗油8L．
（1）写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的函数关系式．
（2）工作4h后，油箱中的剩余油量为多少升？
20．如图，在的正方形网格图中，所有小正方形的边长均为1，点A，B为格点，格点C到点A的距离最长．
（1）画出线段，并求出的长度．
（2）求点B到直线的距离．
21．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两种绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元.现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍.
（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元
（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少 总成本最少是多少元
22．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
23．图①、图②、图③、图④都是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点．图①中的△ABC的顶点都在格点上．
（1）沿BC边上的高将其剪成两个三角形，用这两个三角形在图②、图③、图④中各拼成一个平行四边形，所拼得的三个平行四边形不能够完全重合．
（2）直接写出所拼得的平行四边形较长的对角线的长．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
25．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费：在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．回答下列问题：
（1）①若你在甲商场累计购物x元，实际付款金额y元，写出y关于x的函数关系式；
②若你在乙商场累计购物x元，实际付款金额y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）当你在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
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人教版2024—2025学年八年级下册期中全优冲刺夺冠卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、+=3+=4，A不符合题意；
B、-=3-=2，B不符合题意；
C、×==6，C不符合题意；
D、÷==3，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一进行计算判断即可。
2．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图设交于点O，
菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
，
解得
故答案为：C
【分析】设交于点O，先利用勾股定理求出BC的长，再结合，将数据代入求出即可。
3．如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（ ）
A．105° B．15° C．30° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝15°．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝75°，再由CE⊥AB由，即可求得答案.
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ， 故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可．
5．已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
，
，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据已知条件得出，，，再进行比较，即可得出答案．
6．已知的三边分别为．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=，故不能判定△ABC是直角三角形；
C、∵，∴，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵，故能判定△ABC是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，或最大角是否是90°即可.
7．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点、AF每DE相交于点P、B与CE相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接EF，易知
由AE||DF得，故即=b
同理可得
故答案为：B.
【分析】由同底等高可知CDE面积为平行四边形ABCD的一半，由同底等高知得=b，同理得，由此可知阴影部分的面积.
8．在二次根式中，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得，a+1≥0，
∴ a≥-1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可求得.
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（ ）
A． B．2 C．6 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：，
的三边长分别为3，4，5，
∴的面积为：，
故答案为：C.
【分析】将△ABC的边长代入计算即可.
10． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，且的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A、B的坐标分别是（﹣3，0），（0，4），
∴，
又∵ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AD∥BC，
∴C的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，根据菱形的性质可得BC＝AB，即可求得C点的坐标.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．与最简二次根式能合并，则m＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式能够合并，
∴与是同类二次根式
∴，即．
故答案为：1．
【分析】先将进行化简，再根据同类二次根式的定义列出等式，求出即可.
12．如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形证明△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 .
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意得2
∴.
故答案为：1.
【分析】根据题意得214． 已知一个直角三角形的两直角边长分别是和，则这个三角形的斜边长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵两直角边的长分别是3和5，
∴根据勾股定理得三角形得斜边长为.
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出斜边长.
15．一次函数y＝（2m﹣1）x＋2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 .
【答案】m＜
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（2m-1）x+2-m的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴m＜ ，
故答案为：m＜ .
【分析】 一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限可知k＜0，b＞0，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
16．已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m 时，y随x的增大而增大．
【答案】<1
【解析】【解答】解：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
【分析】 一次函数y=kx+b(k≠0），当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，据此解答即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，．
即的长为10．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得BO=DO，AD∥BC，AB∥CD，由题意可得OE为△BCD的中位线，则OE∥BC，OE=BC=AD，由AD∥BC、AD⊥BD可得BC⊥BD，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）由已知条件可得OE=BC=AD=3，根据矩形的面积公式可得OB的值，然后求出BD，再利用勾股定理进行计算.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集．
【答案】（1）解：∵点C（m，4）在正比例函数y=x的图象上，
∴4= m，
解得m=3，即点C坐标为（3，4）．
∵一次函数 y=kx+b经过A（3，0）、点C（3，4）
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由图象可得不等式x＜kx+b的解为：x＜3.
【解析】【分析】（1）将点C（m，4）代入正比例函数的解析式可算出m的值，从而得到点C的坐标，进而利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）从图象看，求关于x的不等式x＜kx+b的解集，就是求正比例函数的图象在一次函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标可得答案.
19．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油50L，开始工作后，每小时耗油8L．
（1）写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的函数关系式．
（2）工作4h后，油箱中的剩余油量为多少升？
【答案】（1）解：由题意可得： ；
（2）解：当 时， ，
∴工作 后，油箱中的剩余油量为18升．
【解析】【分析】（1）根据“剩余油量=总油量-每小时耗油量×小时数”即可求解；
（2）将t=4代入（1）中的关系式即可求解。
20．如图，在的正方形网格图中，所有小正方形的边长均为1，点A，B为格点，格点C到点A的距离最长．
（1）画出线段，并求出的长度．
（2）求点B到直线的距离．
【答案】（1）解：线段 如图所示，
；
（2）解：设点B到直线 的距离为h，
，
∴ ．
答：点B到直线 的距离为 ．
【解析】【分析】（1）根据题意作出线段AC，再利用勾股定理可以直接求出AC的长度；
（2）本题运用了等积法求点B到直线AC的距离，等积法也是数学解题的常用方法。
21．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两种绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元.现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍.
（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元
（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少 总成本最少是多少元
【答案】（1）解：设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意得：
解得：
所以A型花和B型花每枝的成本分别是5元和4元．
（2）解：设按甲方案绿化的道路总长度为a米，根据题意得：
1500-a≥2a
a≤500
则所需工程的总成本是
5×2a+4×3a+5（1500-a）+4×5（1500-a）
=10a+12a+7500-5a+30000-20a
=37500-3a
∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少
w=37500-3×500
=36000（元）
∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元．
【解析】【分析】（1）设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设按甲方案绿化的道路总长度为a米，根据题意求出所需工程的总成本是5×2a+4×3a+5（1500-a）+4×5（1500-a）=37500-3a，再求解即可。
22．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解： 是直角三角形．
理由： ， ， ，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解： ，
，
．
答：修建的公路 的长是 ．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理先求出∠ACB=90°，再判断求解即可；
（2）根据CD⊥AB，利用三角形的面积公式计算求解即可。
23．图①、图②、图③、图④都是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点．图①中的△ABC的顶点都在格点上．
（1）沿BC边上的高将其剪成两个三角形，用这两个三角形在图②、图③、图④中各拼成一个平行四边形，所拼得的三个平行四边形不能够完全重合．
（2）直接写出所拼得的平行四边形较长的对角线的长．
【答案】（1）如图．答案不唯一，以下答案供参考．
（2）所拼得的平行四边形较长的对角线的长依次是 、 、 ．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用平行四边形的性质，画出正确的图形即可；（2）在网格中利用勾股定理即可求出较长对角线的长度.
24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，
∴△ADB的面积为S△ADB= AB DE= ×10×3=15．
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
25．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费：在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．回答下列问题：
（1）①若你在甲商场累计购物x元，实际付款金额y元，写出y关于x的函数关系式；
②若你在乙商场累计购物x元，实际付款金额y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）当你在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
【答案】解：①在甲商场购物分两种情况：当时，；当时，根据题意得：；②在乙商场购物分两种情况：当时，；当时，根据题意得：；（Ⅱ）当你在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？【答案】解：根据题意得：0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150，0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150，则当累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当累计购物正好为150元时，两商场花费相同；当累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．
（1）解：①在甲商场购物分两种情况：当 时， ；当 时，根据题意得： ；
②在乙商场购物分两种情况：当 时， ；
当 时，根据题意得： ；
（2）解：根据题意得：
0.9x+10＜0.95x+2.5，
解得：x＞150，
0.9x+10＞0.95x+2.5，
解得：x＜150，
则当累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；
当累计购物正好为150元时，两商场花费相同；
当累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．
【解析】【分析】（1）①在甲商场购物分两种情况：当时，；当时，根据题意即可得解；②在乙商场购物分两种情况：当
时，
；当
时，根据题意即可得解；
（2）根据题意列出不等式，得出x的范围，则当累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当累计购物正好为150元时，两商场花费相同；当累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．
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