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北师大版2024—2025学年七年级下册期中聚优全能练考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．若∠B＝30°，∠D＝45°，则∠BMD的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A． B．
C． D．
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列情境中变量之间的关系，可以近似地用如图所示的图象表示的是（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
10．如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在与的积中，不含有xy项，则 ．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为 .
13．计算： ．
14． 如图，，直线交于点，交于点，若，则 .
15．若的计算结果中不含项，则值为 ．
16．从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，已知，，，且B，F，E，C在同一条直线上
（1）求证：
（2）若，，求的长度
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
19．已知．
（1）如图1，吗？为什么？
（2）如图2，．试判定BE与CF的位置关系，并说明理由．
20．阅读：已知 ， ，求 的值.
解： ， ，
.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知 ， ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
21．根据已知条件，求代数式的值：
（1）已知，求的值.
（2）已知，，求的值；
22．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算： ．
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，DC＝DB，∠D＝100°，求∠1的度数．
24．已知，如图直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝35°，OE为∠AOC的角平分线，OF⊥CD．
（1）求∠EOC度数；
（2）求∠BOF的度数．
25．如图， ， 平分 ，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（点A、B、C不与点 重合），且 ，连接AC交射线OE于点D.
（1）求 的度数；
（2）当 中有两个相等的角时，求 的度数.
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北师大版2024—2025学年七年级下册期中聚优全能练考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故A选项错误；
B、∠1与∠2不是对顶角，故B选项错误；
C、∠1与∠2是对顶角，故C选项正确；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误；
故答案为：C.
【分析】有公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线的两个角就是对顶角，据此逐一判断即可得到答案.
2．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故答案为：D.
【分析】先求得AE=AF，再根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形，即可求解.
3．如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．若∠B＝30°，∠D＝45°，则∠BMD的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点M作MN∥AB，则AB∥CD∥MN， 如图：
∴∠BMN=∠B=30°，∠DMN=∠D=45°，
∴∠BMD=∠DMN+∠BMN=75°，
故答案为：B.
【分析】过点M作MN∥AB，根据平行于同一直线的两直线互相平行，得AB∥CD∥MN，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BMN=∠B=30°，∠DMN=∠D=45°，根据∠BMD=∠DMN+∠BMN即可求解.
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法的你逆运算am+n=am×an及积的乘方的逆运算：anbn=（ab）n（n是正整数）进行计算即可.
5．晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵彤彤和妈妈最后跑步回家，∴最后的y值为0，故可排除A选项；
彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，故可排除B选项，
彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，故可排除D选项.
故答案为：C．
【分析】根据彤彤和妈妈的活动方式，推出肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象，利用排除法求解．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、(-3xy)2=9x2y2，故错误；
B、3x2+4x2=7x2，故错误；
C、t(3t2-t+1)=3t3-t2+t，故错误；
D、(-a3)4÷(-a4)3=a12÷(-a12)=-1，故正确.
故答案为：D.
【分析】积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与多项式的乘法法则可判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
7．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：、，同位角相等，两直线平行，所以，不符合题意；
、，内错角相等，两直线平行，所以，不符合题意；
、，同位角相等，两直线平行，所以，不能证出，符合题意，
、，同旁内角互补，两直线平行，所以，不符合题意；
故答案为：．
【分析】先找准两角关系，再利用平行线判定定理逐一判断.
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、（-x-1）（-x-1）=（x+1）（x+1）=（x+1）2=x2+2x+1，所以此选项的等式不成立，不符合题意；
B、（-x+1）（-x+1）=（-x+1）2=x2-2x+1，所以此选项的等式不成立，不符合题意；
C、（1+x）（-x+1）=（1+x）（1-x）=1-x2，所以此选项的等式成立，符合题意；
D、（-x+1）（-x-1）=-（-x+1）（x+1）=-（1+x）（1-x）=-（1-x2）=x2-1，所以此选项的等式不成立，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的结构特点可判断A、B选项；根据平方差公式的结构特点可判断C、D选项.
9．下列情境中变量之间的关系，可以近似地用如图所示的图象表示的是（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】B
【解析】【解答】解：A、水温随时间流逝而下降，不符合图像的描述，A错误；
B、旗子高度随时间慢慢升高，符合图像的描述，B正确；
C、踢出去的球的高度随时间先增大后减小，不符合图像的描述，C错误；
D、均匀行驶的汽车，其速度不随时间的改变而改变，不符合图像的描述，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据生活常识判断即可.
10．如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOP=180°－，=∠POBn
∵依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，
∴∠POB==
∠POB1==
∠POB2==……
∴∠POBn=
∴=∠POBn=
故答案为：C．
【分析】求出前几项中角的度数与序号的关系可得规律=∠POBn=。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在与的积中，不含有xy项，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：(ax+3y)(x-y)
=
= ，
∵与的积中，不含有xy项，
∴3-a=0，
∴a=3，
故答案为：3．
【分析】本题考查多项式乘以多项式．先将两多项式相乘利用多项式乘以多项式进行展开，再将含xy的项进行合并，根据乘积结果不含有xy项，可知xy项系数为0，据此可列出方程，解方程可求出a的值．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，E是AD的中点，
∴BD=CD，AE=DE，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，S△ABE=S△DBE=S△ABD，S△ACE=S△DCE=S△ACD，
∴S△ABC=2S△ABD，
∵阴影部分的面积为4，
∴S△DBE+S△ACE=S△ABD+S△ACD=S△ABC=4，
∴S△ABC=2（S△DBE+S△ACE）=2×4=8cm2.
故答案为：8cm2.
【分析】由线段中点的性质可得BD=CD，AE=DE，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等并结合已知可求解.
13．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则计算即可.
14． 如图，，直线交于点，交于点，若，则 .
【答案】110°
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴.
故答案为：110°.
【分析】由对顶角的性质得，根据平行线的性质可推出的度数.
15．若的计算结果中不含项，则值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
，
∵结果中不含项，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则展开，合并同类项，再根据结果不含项，得出项的系数为0，解方程即可．
16．从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长和交于点，如图所示：
由折射可得：，
∴
由反射可得：，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】由光的折射定律知，光线经两次折射后的光线DE与原先的入射光线AB平行，则反向延长CB后交ED的反延长线于点F即可得到所求的，此时再利用对顶角相等结合平行线的性质即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，已知，，，且B，F，E，C在同一条直线上
（1）求证：
（2）若，，求的长度
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质，平行线的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出CE=1.5，再计算求解即可。
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴；
（2）解：能，设，则，
∴．
∵平分，
∴．
在，，
∴，
故如果只知道，也能得到．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合，求出即可；
（2）设，则，先求出，再利用角的运算求出即可。
19．已知．
（1）如图1，吗？为什么？
（2）如图2，．试判定BE与CF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图1，
∵
∴
∵
∴
（2）解：，理由如下：
如图2，延长BE交CD的反向延长线于点G，
∵
∴
∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠1=∠3，再结合对顶角的性质可得∠2=∠3，所以∠1=∠2；
（2）延长BE交CD的反向延长线于点G，根据平行线的性质可得，再结合可得，从而证明。
20．阅读：已知 ， ，求 的值.
解： ， ，
.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知 ， ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解：设 ， ，则 ， ，
.
【解析】【分析】（1）先将原式变形，再整体代入计算即可；
（2）设 ， ，则 ，，由于，然后整体代入计算即可.
21．根据已知条件，求代数式的值：
（1）已知，求的值.
（2）已知，，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴
∴
（2）解：∵，，
∴
∴
∵
∴.
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得(m+)2=m2++2=9，据此不难求出m2+的值；
（2）根据完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2=9，将ab=2代入可得a2+b2=13，然后根据a4+b4=(a2+b2)2+2a2b2 进行计算.
22．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算： ．
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= .
【解析】【解答】(1)图1中阴影部分的面积=a2-b2，
图2中长方形长为(a+b)，宽为(a-b)，
图2长方形面积=(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b).
【分析】(1)因为用整体法和分割法所求的面积相等，据此列出等式即可；
(2)利用(1)的结论化简各个括号内的运算式子，再进行有理数的加减法与乘法运算即可得出结果.
23．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，DC＝DB，∠D＝100°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠ABD=180°-∠D=80°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠CBD=40°，
∴∠4=40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=90°-40°=50°．
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠2=∠3， 结合∠1=∠2可得∠1=∠3，根据内错角相等两直线平行即证；
（2） 由平行线的性质可得∠ABD=180°-∠D=80°， 由等边对等角可得 ∠C=∠CBD=40°， 由垂直的定义可得∠BFH=90°，从而得出∠1=90°-∠4=50°.
24．已知，如图直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝35°，OE为∠AOC的角平分线，OF⊥CD．
（1）求∠EOC度数；
（2）求∠BOF的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOD＝35°，
∴∠AOC＝180°AOD＝180°＝145°，
∵OE为∠AOC的角平分线，
∴∠EOC＝∠AOC＝×145°＝72.5°；
（2）解：∵，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD＝35°，
∴∠BOF＝∠COFBOC＝90°°＝55°．
【解析】【分析】（1）先利用邻补角求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义可得∠EOC＝∠AOC＝×145°＝72.5°；
（2）根据对顶角的性质可得∠BOC＝∠AOD＝35°，再利用∠BOF＝∠COFBOC计算即可。
25．如图， ， 平分 ，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（点A、B、C不与点 重合），且 ，连接AC交射线OE于点D.
（1）求 的度数；
（2）当 中有两个相等的角时，求 的度数.
【答案】（1）解：∵OE平分∠MON，∠MON=40°，
∴∠AOB=∠BOC=20°，
∵AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC=20°
（2）解：①当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=20°，
∵∠AOB+∠OAB+∠ABO=180°，
∴∠OAC=180° 20°×3=120°；
②当∠BAD=∠BDA时，
∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=80°，
∵∠AOB+∠OAB+∠ABO=180°，
∴∠OAC=180° 80° 20° 20°=60°，
综上所述，∠OAC度数为120°或60°
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线性质可得∠AOB=∠BOC=20°，然后利用平行线性质可知∠ABO=∠BOC，由此进一步即可求出答案；（2）根据题意，分当∠BAD=∠ABD时或当∠BAD=∠BDA时两种情况进一步分析讨论即可.
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