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北师大版2024—2025学年八年级下册期中划重点真题优选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3． 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
4．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
5．若a+b=，ab=1，则式子的值为( )
A． B． C． D．
6．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余
7．关于x的方程解为正数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，BD、CD分别平分、，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则的周长为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有人，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
10．把分解因式，结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
12． 如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为 米．
13．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，，连接AF，并延长交BE于点P，若，则BE的长为 ．
14． 若关于x的方程无解，则a的值是 ．
15． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 ．
16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如：．若的值小于16，则满足条件的最小整数解为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分 和 ，交 于 ， . 与 相交于点 ，
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
18．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的 型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的 型车数量相同，则今年6月份 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加 .
， 两种型号车的进货和销售价格表：
型车 型车
进货价格（元 辆） 1100 1400
销售价格（元 辆） 今年的销售价格 2400
（1）求今年6月份 型车每辆销售价多少元；
（2）该车行计划7月份新进一批 型车和 型车共50辆，且 型车的进货数量不超过 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
20．
（1）解不等式，并把它的解果在数轴上示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
21．如图所示有一张图纸被损坏，上面两个标志点，清晰，而主要建筑标志点）破损．
（1）请建立直角坐标系并确定图中C点的位置；
（2）是否为直角三角形？请证明．
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场购进这两种不同型号的电视机共50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F．
（1）求n的度数；
（2）求△CDF的面积．
24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
25．如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形.
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北师大版2024—2025学年八年级下册期中划重点真题优选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，不等式的解集为：；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示直接求出x的取值范围即可.
2．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质得由旋转的性质得，再根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
3． 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是勾股数；∴A错误；
B、∵，∴三角形是直角三角形，∴B正确；
C、∵，∴不是勾股数；∴C错误；
D、∵，∴不是勾股数；∴D错误；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
4．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，由题意得，
解得n=7，
故答案为：7
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式结合多边形的外角即可求解。
5．若a+b=，ab=1，则式子的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：==，
∵a+b=，ab=1，
∴原式=-3，
故选：B.
【分析】先对各分式分母有理化，再通分化异分母分式为同分母分式，最后再代入求值即可.
6．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得这样做的依据是勾股定理的逆定理，
故答案为：B
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。
7．关于x的方程解为正数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
即x=-2a+4，
∵解为正数，
∴-2a+4＞0，
即a＜2
故答案为：A.
【分析】解出的解为=-2a+4，根据解为正数，得到不等式，进而确定a的取值范围。
8．如图，中，，，BD、CD分别平分、，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则的周长为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】【解答】解：∵EF//BC，
∴∠CBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∵ BD、CD分别平分、，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，DF=CF，
∵，，
∴ 的周长为AE+AF+EF
=AE+AF+DE+DF
=AE+AF+BE+CF
=AB+AC
=17
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得到∠CBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，等量替换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，进而得到BE=DE，DF=CF，即可求出的周长 。
9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有人，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得到等量关系：设有人，则苹果总个数为5x+12，
每人分8个时最后一个小朋友分到苹果数为：5x+12－8(x－1)
根据题意：有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果，可得：0<5x+12－8(x－1)<8.
故答案为：C.
【分析】设有人，表示出苹果总个数和每人分8个时最后一个小朋友分到苹果数，根据不等关系"有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果"可以得到关于x的一元一次不等式组.
10．把分解因式，结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】首先将原式变形为-(x2-2xy+y2)，然后利用完全平方公式进行分解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当P点落在x轴上，Q点落在y轴上时，
n=0，m=0
此时P点的坐标为（-3，0），
当P点落在y轴上，Q点落在x轴上时，
m-3=0，m=3
n-2=0，n=2
此时P点的坐标为（0，2）。
综上所述：P点的坐标为（-3，0）或（0，2）
故填：（-3，0）或（0，2）
【分析】平移后P点可能落在x轴上，也可能落在y轴上。因此，对两种情况分析。
12． 如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为 米．
【答案】16
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，且米，
∴BC=2EF=16米，
故答案为：16.
【分析】利用三角形中位线的定理及性质求解即可得出答案.
13．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，，连接AF，并延长交BE于点P，若，则BE的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】过点D作交BC的延长线于点H，连接BD和DE，如图所示，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴，
∴在直角三角形DCH中，，
∴，
∵BC=2，
∴在直角三角形BDH中，，
∵四边形BCEF和四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=EF，，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AF=DE=1，
∵，
∴，
∴，
∴在直角三角形DBE中，.
【分析】过点D作交BC的延长线于点H，连接BD和DE，根据平行四边形的性质求得的度数，利用直角三角形的性质和勾股定理求出CH和DH的长度，从而求出BD的长度，利用平行四边形的判定和性质即可证明DE与BE的垂直关系，最后根据勾股定理即可求出BE的长度.
14． 若关于x的方程无解，则a的值是 ．
【答案】2或1
【解析】【解答】解：x-2=0，解得：x=2．
方程去分母，得：ax-x+2=4，即（a-1）x=2
把x=2代入方程得：2a=4+2-2，
解得：a=2．
当a-1=0，即a=1时，原方程无解．
故答案为：2或1．
【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值。另外注意当整式方程无解时，分式方程也无解。
15． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，CD=AB=7，
∵AC+BD=18，
∴OC+OD=（AC+BD）=×18=9，
∴OC+OD+CD=9+7=16，
∴△OCD的周长为16，
故答案为：16．
【分析】由平行四边形的性质得OC=AC，OD=BD，CD=AB=7，则OC+OD=（AC+BD）=9，所以OC+OD+CD=9+7=16，即可得出答案。
16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如：．若的值小于16，则满足条件的最小整数解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x＞-2，
∴满足条件的最小整数解为-1，
故答案为：-1
【分析】根据新定义进行运算，进而得到一元一次不等式，再解不等式结合题意即可求解。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分 和 ，交 于 ， . 与 相交于点 ，
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE；
（2）解：∵AD=6，DC=10，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC-DE=10-6=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=6，
∴∠CFB=∠FBA，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF=∠FBA，
∴∠CFB=∠CBF，
∴BC=FC=6，
∴EF=FC-EC=6-4=2.
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质以及平行线的性质可得：∠DEA=∠EAB，根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，进而推出∠DAE=∠DEA，据此证明；
（2）由（1）可得DE=AD=6，进而求出EC，由平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的概念可得∠CFB=∠CBF，进而求得BC=FC的值，最后根据EF=FC-EC计算即可.
18．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的 型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的 型车数量相同，则今年6月份 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加 .
， 两种型号车的进货和销售价格表：
型车 型车
进货价格（元 辆） 1100 1400
销售价格（元 辆） 今年的销售价格 2400
（1）求今年6月份 型车每辆销售价多少元；
（2）该车行计划7月份新进一批 型车和 型车共50辆，且 型车的进货数量不超过 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【答案】（1）解：设去年6月份 型车每辆销售价 元，那么今年6月份 型车每辆销售 元，
根据题意得 ，
解得： ，
经检验， 是方程的解.
时， .
答：今年6月份 型车每辆销售价2000元.
（2）解：设今年7月份进 型车 辆，则 型车 辆，获得的总利润为 元，
根据题意得 ，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
当 时，可以获得最大利润.
答：进货方案是 型车17辆， 型车33辆.
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，再设未知数，列方程，求出方程的解即可；
（2）此题的等量关系：A型车的数量+B型车的数量=50；B型车的进货数量≤A型车数量×2；设未知数，求出不等式的解集；设今年7月份进 A型车m辆，获得的总利润为y元， 再列出y与x之间的函数解析式；然后利用一次函数的性质，可求出结果.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
【答案】（1）解：
（2）解：
设 则
【解析】【分析】（1）先求出∠CDB=90°，再证明求解即可；
（2）先求出∠CDA=90°，再求出x的值，最后求AC的值即可。
20．
（1）解不等式，并把它的解果在数轴上示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】（1）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，，
解得：
在数轴上表示不等式的解集为：
（2）解：，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤，
所以不等式组的非负整数解是0，1，2．
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式的解法求解解集，再在数轴上画出解集即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求解解集并直接写出所有非负整数解即可。
21．如图所示有一张图纸被损坏，上面两个标志点，清晰，而主要建筑标志点）破损．
（1）请建立直角坐标系并确定图中C点的位置；
（2）是否为直角三角形？请证明．
【答案】（1）解：
（2）解：不是直角三角形．
证明：∵，，，
∴，
即不是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据 点
，
建立直角坐标系，然后确定点C的位置；
（2）利用两点间距离公式求出AB2、AC2、BC2 ，利用勾股定理判定
是否为直角三角形 。
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场购进这两种不同型号的电视机共50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
【答案】（1）解：设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则
1500x+2100（50﹣x）≤76000，
解得 x≥48 ．
则50≥x≥48 ．
∵x是整数，
∴x＝49或x＝50．
故有2种进货方案：
方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；
方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台
（2）解：方案一的利润为：49×（1650﹣1500）+（2300﹣2100）＝7550（元）
方案二的利润为：50×（1650﹣1500）＝7500（元）．
∵7550＞7500
∴方案一的利润大，最多为7550元．
【解析】【分析】（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则列出不等式，解之即可得出x的取值范围，即可得出方案；
（2）利用（1）中的方案，代入计算即可得出答案。
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F．
（1）求n的度数；
（2）求△CDF的面积．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，点D在AB边上，
∴CB＝CD＝2，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
即n的度数为60°；
（2）解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，
∴∠CDF＝∠B＝60°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∴∠CFD＝90°，
∴DF＝ CD＝1，CF＝ DF＝ ，
∴S△CDF＝ ×1× ＝ ．
【解析】【分析】由旋转的性质，易得CB＝CD＝2，△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，点D在AB边上，得出△BCD为等边三角形，即可得出n的度数；
（2）△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，得出∠CDF＝∠B＝60°，∠CFD＝90°，DF＝ CD＝1，CF＝ DF＝ ，从而求得△CDF的面积．
24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
＝（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
＝（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
＝（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0可分解得：
2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0
利用拆项得：（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0
（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是
a﹣b＝0，a﹣c＝0
所以可以得到a＝b＝c
即：△ABC的形状是等边三角形．
【解析】【分析】（1）认真阅读列题的思想方法，观察所给的多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再蒸屉运用平方差公式进行分解；
（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用两式各自等于0的时候，求出a、b、c的关系即可。
25．如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵点C是AB的中点，∴AC＝BC；在△ADC与△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）解：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD＝∠CBE，∴CD∥BE，
又∵CD＝BE，∴四边形CBED是平行四边形.
【解析】【分析】（1）由线段中点的概念可得AC＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS证明即可；
（2）连接DE，由全等三角形的性质可得∠ACD＝∠CBE，推出CD∥BE，然后结合平行四边形的判定定理进行证明.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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