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【50道热点题型】北师大版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图所示的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，问小鸟落在草坪上的概率是多少？
（2）现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树形图或列表法求解）？
2．为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
3．如图，，点E为两直线之间的一点
（1）如图1，若，，则 ；
（2）如图2，试说明，；
（3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数.
4．如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
5．如图，直线AB与CD相交于点O， .
（1）如果 ，求 和 的度数.
（2）如果 ，求 的度数.
6．将三张质地相同并分别标有数字1、2、3的卡片，背面朝上放在桌面上，洗匀后，甲同学从中随机抽取一张卡片．
（1）甲同学抽到卡片上的数恰好是方程x2﹣4x+3=0的根的概率为 ；
（2）甲乙两人约定：甲先随机抽取一张卡片后，背面朝上放回桌面洗匀，然后乙再随机抽取一张卡片，若两人所抽取卡片上的数字恰好是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则甲获胜；否则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平？
7．如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动.
（1）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
（2）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.
8．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1=∠2.
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3=85°，且∠DCE：∠DCG=9：10，AB与CD有怎样的位置关系 并说明理由.
9．在年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图.
组别 发言次数n 百分比
A 0≤n＜3 10%
B 3≤n＜6 20%
C 6≤n＜9 25%
D 9≤n＜12 30%
E 12≤n＜15 10%
F 15≤n＜18 m%
请你根据所给的相关信息，解答下列问题：
（1）本次共随机采访了 名教师，m= .
（2）补全条形统计图；
（3）已知受访的教师中，E组只有2名女教师，F组恰有1名男教师，现要从E组、F组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率.
10．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字10是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
11．如图，直线AB与CD相交于点O， ，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当 时，求 的度数．
（2）当OE平分 时，求 的度数．
12．为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动.胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（ ）.合格（ ）、良好（ ）、优秀（ ），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 ﹐请补全条形统计图.
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率.
13．简答下列各题：
（1）已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
（2）若a＋＝3，那么a2＋＝ ；若a－＝3，那么a4＋＝ ．
14．已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠B=40°，∠1=60°，求∠OFE的度数．
15．化学实验课上，李老师带来了．高锰酸钾、．碳酸钙、．氢氧化钙、．氢氧化镁四种物质，这四种物质分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种物质来制取氧气．（实验室通过加热物质可制取氧气，、、物质均不可制取氧气）
（1）刘辉从这四种物质中随机选一种，则选到．高锰酸钾的概率为______；
（2）刘辉先从这四种物质中随机选一种，张华再从剩下的三种物质中随机选一种，利用列表或画树状图的方法求二人所选物质至少有一人能制取氧气的概率．
16．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；
（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
17．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为 ；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
19．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
20．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
A．铁钉生锈 B．滴水成冰
C．矿石粉碎 D．牛奶变质
（1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______．
（2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率．
21．某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子中共有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸到红、兰、黄、白球的（一次只能摸一个），顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍然可以在商场购买，如果顾客不愿意摸球，那么可以直接获得购物卷10元．
（1）每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
（2）你若在此商场购买100元的货物，两种方式中你应选择哪种方式？为什么？
22．甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率：
（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
（2）随机选取2名同学，其中有乙同学．
23．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
24．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士(依次记为A、B、C、D).为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料，并做成小报.
（1）班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）请用画树状图或列表的方法求小明和小华查找不同院士资料的概率.
25．2017年金砖五国峰会将在厦门举行，为了解我区高三年级1200名学生对本次金砖峰会的关注程度，随机抽取了若干名高三年级学生进行调查，按人数和关注程度，分别绘制了以下条形统计图和扇形统计图．
（1）这次调查中，共调查 名高三年级学生．
（2）如果把“特别关注”、“一般关注”都统计成关注，那么我区关注本次金砖峰会的高三年级学生大约有多少名？
（3）在这次调查中，有甲、乙、丙、丁四人特别关注本次金砖峰会，现准备从四人中随机抽取两人为本次金砖峰会的志愿者，请用列表法或画树状图的方法求出抽取两人恰好是甲和乙的概率．
26．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩（s） 频数（人数）
A 90＜s≤100 4
B 80＜s≤90 x
C 70＜s≤80 16
D s≤70 6
根据以上信息，解答以下问题：
（1）表中的x= ；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，C等级对应的扇形的圆心角为 度；
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．
27．有4张相同的卡片，上面分别写有数字1、2、3、5，将卡片洗匀后背面朝上.
（1）从中任意抽取1张，抽得的卡片上数字为奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，把上面的数字作为十位数，记录后不放回，再任意抽取1张把上面的数字作为个位数，求组成的两位数是3的倍数的概率.(用树状图或列表的方法)
28．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；
（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．
29．文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表：
混入“HB”铅笔数 0 1 2
盒数 6 m n
（1）用等式写出m、n满足的关系式 ；
（2）从20盒中任意选取1盒；
①“盒子中没有混入HB铅笔”是
▲ 事件；
②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值.
30．在一次篮球拓展课上， ， ， 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人.例如：第一次由 传球，则 将球随机地传给 ， 两人中的某一人.
（1）若第一次由 传球，求两次传球后，球恰好回到 手中的概率.（要求用画树状图法或列表法）
（2）从 ， ， 三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在 手中的概率.（要求用画树状图法或列表法）
31．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
（1）图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）阴影部分面积为 ．
（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．（用式子表达）
（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）
32．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，请用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？
（2）请说明这个等式成立；
（3）已知（2m+n）2=13，（2m﹣n）2=5，请利用上述等式求mn．
33．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
34．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 成绩x分 频数（人数）
第1组 25≤x＜30 4
第2组 30≤x＜35 8
第3组 35≤x＜40 16
第4组 40≤x＜45 a
第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
35．观察下列关于自然数的等式：
①32﹣4×12=5
②52﹣4×22=9
③72﹣4×32=13
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：112﹣4× = ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
36．（本题满分12分）
“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
37．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图；
（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．
38．已知，如图，∠1=∠2，∠3=∠4， 试说明EG∥FH的道理，以下是说明道理的过程，请将其填写完整，并在括号内填出所得结论的理由。
解：∵∠1=∠2（已知）
∠AEF=∠1（ ）
∴∠AEF=∠2（ ）
∴AB∥CD（ ）
∴∠BEF=∠CFE （ ）
∵∠3=∠4（ ）
∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3（ ）
即∠GEF=∠（ ）
∴EG∥FH（ ）
39．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为 ；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（3）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系：
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． ；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若m+n=5，mn=4，求m﹣n的值．
40．学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率．
41．初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：
请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）这次抽查的样本容量是 ；
（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；
（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？
42．如图，有一个可自由转动的转盘被分成3等份，每份内标有数字分别是1，2，3．用这个转盘自由转动两次，每次停止转动后，指针落在所示区域的数字(如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针落在某一区域的数字为止)；
（1）请用树状图或列表法表示两次转动后指针落在所示区域的数字所有可能的结果；
（2）求指针两次落在区域的数字相加的和大于4的概率是多少
43．如图1，已知直线直线，点在上，点在上，点在，之间，连接，．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若．
①求的度数；
②如图2，若平分，交的延长线于点，求的度数．
44．如图，O为直线AB上一点，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线
（1）指出图中所有互为补角的角，
（2）求∠MON的度数，
（3）指出图中所有互为余角的角.
45．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为 级、 级、 级，其中 级最好， 级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到 级的可能性大？为什么？
46．如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
（1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ；
②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律.
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN 的度数.
47．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系.
（1）如图(a)，已知AB∥CD，求证：∠BPD=∠B+∠D.
（2）如图(b)，已知AB∥CD，求证：∠BOD=∠P+∠D.
（3）根据图(c)，试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由.
48．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P．
（1）如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图2和3），试写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．（图3只写结论，不写理由）
49．中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生.
（2）将图1、图2补充完整；
（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．
50．如图 ，已知直线l1，l2，点P在直线l3上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．
（1）如图
，若直线l1//l2，点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
（2）如图
，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l1//l2？若成立请说明理由．
（3）如图
，若直线l1//l2，若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
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【50道热点题型】北师大版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图所示的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．
（1）一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，问小鸟落在草坪上的概率是多少？
（2）现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树形图或列表法求解）？
【答案】（1）解：P（小鸟落在草坪上）= =
（2）解：用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果：
A B C
A （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，C）
C （C，A） （C，B）
由树状图（列表）可知，共有6种等可能结果，编号为A，B的2个小方格空地种植草坪有2种，
所以P（编号为A，B的2个小方格空地种植草坪）= =
【解析】【分析】（1）求出草坪占总面积的比就是小鸟落在草坪上的概率；
（2）列表可得所有等可能的情况数和编号为A，B的2个小方格空地种植草坪的情况数，由概率公式计算渴求的答案.
2．为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
【答案】（1）甲同学选班的概率为；
（2）甲乙两人选择同一门课程的概率为．
3．如图，，点E为两直线之间的一点
（1）如图1，若，，则 ；
（2）如图2，试说明，；
（3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数.
【答案】（1）
（2）解：过E点作AB EG.
∵AB CD，∴EG CD，∵AB CD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，
∵EG CD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，
∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°.
（3）解：①由（1）知 ，∵FA为∠BAE平分线，CF为 平分线，∴ ，∴ ，
即 ，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，
∴ ，②由①知 ，
∵ ， ， ，
∴ 即 ，∴ ，
∵ ，∴ .
【解析】【解答】解：（1）过E点作EF AB，
∵AB CD，
∴EF CD，
∵AB CD，
∴∠BAE＝∠1，
∵EF CD，
∴∠2＝∠DCE，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.
∵ ， ，
∴
【分析】（1）过E点作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BAE＝∠1，∠2＝∠DCE，然后根据∠BAE＋∠DCE＝∠AEC进行计算；
（2）过E点作AB∥EG，则AB∥EG∥CD，由平行线的性质可得∠BAE+∠AEG=180°，∠CEG+∠DCE=180°，然后将两式相加即可；
（3）①由（1）知∠AFC=∠BAF+∠DCF，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠BAE，∠DCF=∠DCE，则∠BAE+∠DCE=2∠AFC，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，据此求解；
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE=360°，结合已知条件可得∠FAE+∠FCE=n∠F，由四边形内角和为360°可得∠F+∠E+n∠F=360°，据此求解.
4．如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）可得．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
（2）根据题意求出∠ABC=60°，再计算求解即可。
5．如图，直线AB与CD相交于点O， .
（1）如果 ，求 和 的度数.
（2）如果 ，求 的度数.
【答案】（1）解： ， ，
， ；
（2）解：设 ，则 ，
，
即 ，
解得 ， ，
，
.
【解析】【分析】 （1）根据角的和差由∠COE=∠AOE-∠AOC即可算出∠COE的度数，根据对顶角相等可直接得出∠BOD的度数；
（2）设∠BOD=x，则∠COE=2x ， 根据平角的定义可得 ， 代入求出x，进而根据角的和差关系可求解.
6．将三张质地相同并分别标有数字1、2、3的卡片，背面朝上放在桌面上，洗匀后，甲同学从中随机抽取一张卡片．
（1）甲同学抽到卡片上的数恰好是方程x2﹣4x+3=0的根的概率为 ；
（2）甲乙两人约定：甲先随机抽取一张卡片后，背面朝上放回桌面洗匀，然后乙再随机抽取一张卡片，若两人所抽取卡片上的数字恰好是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则甲获胜；否则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平？
【答案】（1）解：∵x2﹣4x+3=0， ∴x=1或3，∴甲同学抽到卡片上的数恰好是方程x2﹣4x+3=0的根的概率= ，故答案为：
（2）解：列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜有2种，乙获胜有7种．
∵P（甲获胜）= ，P（乙获胜）= ，
∴P（甲获胜）＜P（乙获胜），
∴游戏不公平
【解析】【分析】（1）解方程求出方程的根，即可求出甲同学抽到卡片上的数恰好是方程x2﹣4x+3=0的根的概率；（2）列表或画树形图，然后根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再利用概率的大小来判断游戏是否公平．
7．如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动.
（1）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
（2）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率.
【答案】（1）解：∵ 转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，
∴P（指针落在红色扇形内）=.
答：转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率为
（2）解：列树状图如下
一共有9种结果数，落在蓝色区域的有4种情况，
∴P（指针两次都落在蓝色扇形内）=
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知红色转盘的圆心角为120°，因此利用概率公式进行计算，可求出结果.
（2）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及落在蓝色区域的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
8．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1=∠2.
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3=85°，且∠DCE：∠DCG=9：10，AB与CD有怎样的位置关系 并说明理由.
【答案】（1）解：DG∥BC.
理由：∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD.
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC
（2）解：CD⊥AB.
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3=85°，
∴∠BCG=180°-85°=95°.
∵∠DCE：∠DCG=9：10，
∴∠DCE=95°× =45°
∴∠1=∠DCE=45°
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC=2∠1=90°，
∴CD⊥AB.
【解析】【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2=∠BCD，再由∠1=∠2得出∠1=∠BCD，进而可得出结论；（2）根据DG∥BC，∠3=85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG=9：10得出∠DCE的度数，根据DG∥BC可得∠1=∠DCE，求出∠1的度数.由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论.
9．在年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图.
组别 发言次数n 百分比
A 0≤n＜3 10%
B 3≤n＜6 20%
C 6≤n＜9 25%
D 9≤n＜12 30%
E 12≤n＜15 10%
F 15≤n＜18 m%
请你根据所给的相关信息，解答下列问题：
（1）本次共随机采访了 名教师，m= .
（2）补全条形统计图；
（3）已知受访的教师中，E组只有2名女教师，F组恰有1名男教师，现要从E组、F组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率.
【答案】（1）60；5
（2）解：A组教师为（名），B组教师为（名），D组教师有：（名），E组教师有（名），F组教师有：（名），补全统计图如下所示：
（3）解：画树状图如解图所示，
由树状图可知共有18种等可能的结果，其中所选派的两名教师恰好1男1女的结果有10种，
（1男1女）.
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图知，C组共有15名，占25%，
所以本次共随机采访了（名），
.
故答案为：60；5；
【分析】（1）利用C组的人数除以所占的比例可得总人数，根据百分比之和为1可得m的值；
（2）利用总人数乘以A、B、D、E、F组所占的比例可得对应的人数，据此可补全条形统计图；
（3）画出树状图，找出总情况数以及所选派的两名教师恰好1男1女的情况数，然后根据概率公式进行计算.
10．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字10是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【答案】（1）不可能事件
（2）
（3）解：①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是 ；
②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是 ．
【解析】【解答】解：（1）转到数字10是不可能事件，
故答案为不可能事件；
（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，
∴转出的数字大于3的概率是 ，
故答案为 ；
【分析】（1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得；
（2）转盘被平均分成六等份，转到每个数字的可能性相同，共有六种，大于三的结果有四种由概率公式得出；
（3）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得出；②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，由概率公式可得出。
11．如图，直线AB与CD相交于点O， ，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当 时，求 的度数．
（2）当OE平分 时，求 的度数．
【答案】（1）解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，∴ ．
∵OE平分 ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】(1)根据垂直得出∠BOE =90°，再根据对顶角的性质得出∠BOD= 30°，然后根据角的和差关系计算即可；
(2)根据邻补角的性质求出∠COB，根据角平分线的定义求出∠BOE，然后根据角的和差关系计算即可.
12．为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动.胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（ ）.合格（ ）、良好（ ）、优秀（ ），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 ﹐请补全条形统计图.
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率.
【答案】（1）40；
36°；
补全的频数分布直方图如图所示：
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中甲学生被选到的结果数有6种，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生有：20÷50%=40（人），
扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为360°× =36°，
测试成绩为“合格”的学生有：40-4-20-4=12（人），
补全的频数分布直方图如图所示：
故答案为：40，36°；
【分析】（1）根据良好学生的人数和百分比计算即可；“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数=360°×基本合格的百分比；
（2）画出树状图表示出所有可能出现的结果数，再找出甲学生被选到的结果数，最后根据概率公式计算即可.
13．简答下列各题：
（1）已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
（2）若a＋＝3，那么a2＋＝ ；若a－＝3，那么a4＋＝ ．
【答案】（1）解：∵a2＋b2＝2，ab＝1，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；
（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．
（2）7；119
【解析】【解答】解：（2）
∵a＋＝3，
∴
若 a－＝3，
∴
故答案为：7，119
【分析】（1）利用完全平方公式的变式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可。
14．已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠B=40°，∠1=60°，求∠OFE的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC(已知)，∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠A(已知)，
∴∠1=∠C(等量代换)，
∴FE∥OC(同位角相等，两直线平行).
（2）解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∵∠OFE是△DEF的外角，
∴∠OFE=∠D+∠1，
∵∠1=60°，
∴∠OFE=40°+60°=100°.
【解析】【分析】（1）已知AB∥DC，根据两直线平行，内错角相等得出∠A=∠C，又知∠1=∠A，运用等量代换则∠1=∠C，再根据同位角相等，两直线平行证明FE∥OC；（2）已知AB∥DC，根据两直线平行，内错角相等得出∠D=∠B=40°，∠OFE是△DEF的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的2个内角和，则∠OFE=∠D+∠1=100°.
15．化学实验课上，李老师带来了．高锰酸钾、．碳酸钙、．氢氧化钙、．氢氧化镁四种物质，这四种物质分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种物质来制取氧气．（实验室通过加热物质可制取氧气，、、物质均不可制取氧气）
（1）刘辉从这四种物质中随机选一种，则选到．高锰酸钾的概率为______；
（2）刘辉先从这四种物质中随机选一种，张华再从剩下的三种物质中随机选一种，利用列表或画树状图的方法求二人所选物质至少有一人能制取氧气的概率．
【答案】（1）
（2）
16．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；
（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】（1）解：∵C有12人，占24%，
∴该班的总人数有：12÷24%=50（人），
∴E有：50×10%=5（人），
A有50﹣7﹣12﹣9﹣5=17（人），
补全频数分布直方图为
（2）解：“足球”在扇形的圆心角是：360°× =50.4°
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种情况，
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为： =
【解析】【分析】（1）由C有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得A与E的人数，即可补全频数分布直方图；（2）由（1）可得“足球”在扇形的圆心角是360°× ；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
17．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
【答案】（1）解：树状图如下：
（2）解：∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为 ，
即P（两个数字之和能被3整除）= ．
【解析】【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．本题主要考查了列表法与树状图法，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．随机事件A的概率P（A）等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”“香”“校”“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为 ；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
书 香 校 园
书 （书，香） （书，校） （书，园）
香 （香，书） （香，校） （香，园）
校 （校，书） （校，香） （校，园）
园 （园，书） （园，香） （园，校）
其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数有2种，即（书，香）（香，书），
∴摸出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率为．
【解析】【解答】【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【答案】（1）解：由题意可得总人数为10÷20%=50名
（2）解：12，108
补全统计图得：
（3）解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率P = =
【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图用A项人数除以百分率求出总数。（2）先算出C项的人数补全，圆心角的度数先求C项的人数占的百分比×360度。（3）画树状图列出所有可能，再找出都是女生情况有多少种，再根据概率公式计算即可。
20．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
A．铁钉生锈 B．滴水成冰
C．矿石粉碎 D．牛奶变质
（1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______．
（2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率．
【答案】（1）
（2）
21．某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子中共有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸到红、兰、黄、白球的（一次只能摸一个），顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍然可以在商场购买，如果顾客不愿意摸球，那么可以直接获得购物卷10元．
（1）每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
（2）你若在此商场购买100元的货物，两种方式中你应选择哪种方式？为什么？
【答案】（1）解：（1）∵P（摸到红球）=，P（摸到兰球）=，P（摸到黄球）=，P（摸到白球）=
∴每摸一次球所获购物卷金额的平均值为：80×+30×+10×=15（元）；
（2）∵15＞10，
∴两种方式中我会选择摸球这种方式，此时较合算．
【解析】【分析】（1）根据古典概率的知识，可以求得摸到红球，摸到兰球，摸到黄球与摸到白球的概率，则可求得每摸一次球所获购物卷金额的平均值；
（2）又由15＞10，可知选择摸球这种方式较合算．
22．甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率：
（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
（2）随机选取2名同学，其中有乙同学．
【答案】（1）解：已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是
（2）解：从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，
所有可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有3种，
所以P（A）= =
【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
23．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.6
（2）0.6；0.4
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是个，
黑球是个．
【解析】【解答】
解：（1）根据表中数据可知，当n增大时，摸到白球的频率越来越接近0.6 。
故答案为：0.6
（2）根据摸到白球的频率可以得出摸到白球的概率为0.6，
摸到黑球的概率为：1-0.6＝0.4。
故答案为：0.6，0.4
【分析】
（1）随着摸球次数的增加，摸到白球的频率越来越接近0.6
（2）根据摸到白球的频率得出摸到白球的概率。
（2）根据概率公式来计算30只球中白球和黑球的数量。
24．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士(依次记为A、B、C、D).为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料，并做成小报.
（1）班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）请用画树状图或列表的方法求小明和小华查找不同院士资料的概率.
【答案】（1）
（2）解：画出树状图如下：
或列表如下：
小明小华
由上可知小明和小华随机各抽取一次卡片，一共有16种等可能情况，其中标号不同即查找不同院士资料的情况有12种，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴
【解析】【解答】解：（1）1÷4= ；
【分析】（1）求出1÷4= 即可作答；
（2）先画树状图或列表求出 一共有16种等可能情况，其中标号不同即查找不同院士资料的情况有12种， 再求概率即可。
25．2017年金砖五国峰会将在厦门举行，为了解我区高三年级1200名学生对本次金砖峰会的关注程度，随机抽取了若干名高三年级学生进行调查，按人数和关注程度，分别绘制了以下条形统计图和扇形统计图．
（1）这次调查中，共调查 名高三年级学生．
（2）如果把“特别关注”、“一般关注”都统计成关注，那么我区关注本次金砖峰会的高三年级学生大约有多少名？
（3）在这次调查中，有甲、乙、丙、丁四人特别关注本次金砖峰会，现准备从四人中随机抽取两人为本次金砖峰会的志愿者，请用列表法或画树状图的方法求出抽取两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）200
（2）解：1200×（1﹣25%﹣45%）=420名．
答：我区关注本次金砖峰会的高三年级学生大约有420名
（3）解：树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是 ．
【解析】【解答】解：（1）设共调查x名高三年级学生．
由题意x×40%=80，
解得x=200，
∴共调查200名高三年级学生．
故答为200．
【分析】（1）根据百分比= ×100%，即可解决问题．（2）用样本估计总体的思想解决问题即可．（3）画出树状图即可解决问题．
26．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩（s） 频数（人数）
A 90＜s≤100 4
B 80＜s≤90 x
C 70＜s≤80 16
D s≤70 6
根据以上信息，解答以下问题：
（1）表中的x= ；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，C等级对应的扇形的圆心角为 度；
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．
【答案】（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为．
27．有4张相同的卡片，上面分别写有数字1、2、3、5，将卡片洗匀后背面朝上.
（1）从中任意抽取1张，抽得的卡片上数字为奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，把上面的数字作为十位数，记录后不放回，再任意抽取1张把上面的数字作为个位数，求组成的两位数是3的倍数的概率.(用树状图或列表的方法)
【答案】（1）
（2）解：画树形图得
由树形图得，共有12种等可能性，其中组成的两位数是3的倍数的有4中等可能性，
∴组成的两位数是3的倍数的概率是 .
【解析】【解答】解：（1） 1、2、3、5四个数中，奇数有3个，
∴从中任意抽取1张，抽得的卡片上数字为奇数的概率是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树形图，确定所有等可能性，再找出符合条件的可能性，求出概率即可.
28．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；
（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．
【答案】（1）解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠BOF=68°30′，
∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′，
∴∠AOC=∠BOD=158°30′，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC=×158°30′=79°15′；
（2）解：∵∠AOD：∠AOE=1：4，设∠AOD=α，
∴∠AOE=4α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOE=8α，
∴α+8α=180°，
∴α=20°，
∴∠AOD=20°，
∴∠BOC=∠AOD=20°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BOD ，再求出 ∠AOC ，利用角平分线的性质求出 ∠AOE ；
（2） 设∠AOD=α，则∠AOE=4α，求出∠AOD，因 ∠BOC=∠AOD ，可得 ∠BOF 。
29．文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表：
混入“HB”铅笔数 0 1 2
盒数 6 m n
（1）用等式写出m、n满足的关系式 ；
（2）从20盒中任意选取1盒；
①“盒子中没有混入HB铅笔”是
▲ 事件；
②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值.
【答案】（1）m+n=14
（2）解：①随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为0.25，
∴ ，
∴m=5，n=9.
【解析】【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n=20，
∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14，
故答案为：m+n=14；
（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）根据铅笔的总数量为20盒，列出等式即可解答；
（2）①从20盒中任意选取1盒，由于盒中可能混入‘HB’铅笔”，也可能没有混入混入‘HB’铅笔”，符合随机事件的条件； ②根据概率公式，结合“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25列方程求解即可.
30．在一次篮球拓展课上， ， ， 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人.例如：第一次由 传球，则 将球随机地传给 ， 两人中的某一人.
（1）若第一次由 传球，求两次传球后，球恰好回到 手中的概率.（要求用画树状图法或列表法）
（2）从 ， ， 三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在 手中的概率.（要求用画树状图法或列表法）
【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在 手中的只有2种情况，
∴两次传球后，球恰在 手中的概率为 .
（2）解：根据题意画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在 手中的有4种情况，
∴第二次传球后，球恰好在 手中的概率是 .
【解析】【分析】（1）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可；
（2）根据题意画出树状图，由图可知： 共有12种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在 手中的有4种情况，进而根据概率公式即可算出答案.
31．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
（1）图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）阴影部分面积为 ．
（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．（用式子表达）
（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）
【答案】（1）a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）
（2）a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）
（3）解：102×98
=（100+2）（100﹣2）
=1002﹣22
=10000﹣4
=9996
【解析】【解答】解：⑴图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；
⑵∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），
则a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）图（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，图（2）影部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据阴影部分的面积相等可得等式；（3）计算题直接利用平方差公式即可．
32．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，请用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？
（2）请说明这个等式成立；
（3）已知（2m+n）2=13，（2m﹣n）2=5，请利用上述等式求mn．
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，
得到等式：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
（2）解：右边=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=左边，即等式成立
（3）解：（2m+n）2﹣（2m﹣n）2=4×2mn，
13﹣5=8mn，
mn=1
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；（2）根据完全平方公式解答；（3）根据平方差公式解答．
33．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
【答案】（1）解：画树状图得：
∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，
∴小齐获胜的概率为P1= ；
（2）解：据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，
小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分
∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，
∴小齐获胜的概率为P2= ．
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．
34．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 成绩x分 频数（人数）
第1组 25≤x＜30 4
第2组 30≤x＜35 8
第3组 35≤x＜40 16
第4组 40≤x＜45 a
第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
【答案】（1）解：表中a的值是：
a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12
（2）解：根据题意画图如下：
（3）解：本次测试的优秀率是 =0.44．
答：本次测试的优秀率是0.44
（4）解：用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有2种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是
【解析】【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；（3）用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
35．观察下列关于自然数的等式：
①32﹣4×12=5
②52﹣4×22=9
③72﹣4×32=13
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：112﹣4× = ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【答案】（1）5；21
（2）解：第n个等式为：(2n+1)2 4n2=4n+1，
证明：(2n+1)2 4n2=4n2+4n+1 4n2=4n+1
【解析】【解答】(1)112 4×52=21，
故答案为：5；21；
【分析】（1）根据前三个算式即可得出规律，根据规律直接写出第五个算式即可；
（2）用表示序号的字母，把（1）发现的规律表示出来，然后将等式的左边利用完全平方公式展开，再合并到最简形式，与右边比较即可。
36．（本题满分12分）
“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
【答案】（1）设D地车票有x张，则x＝（x+20+40+30）×10%
解得x＝10.
即D地车票有10张.
（2）小胡抽到去A地的概率为＝
（3）以列表法说明
小李掷得数字小王掷得数字 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
或者画树状图法说明（如右下图）列表或图
由此可知，共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝ ＜ .
所以这个规则对双方不公平
【解析】【分析】（1）
设D地车票有x张，根据“去D地的车票占全部车票的10%”列出方程，求出x值即可.
（2）直接利用概率公式计算即可.
（3）利用列表法列举出
共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，从而求出小王掷得数字比小李掷得数字小的概率 ，与0.5比较即得结果.
37．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图；
（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．
【答案】（1）30；144°
（2）解：根据题意列表如下：
设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，
记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，
答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；
故答案为：30，144°；
补全统计图如图所示：
【分析】（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可。
（2）根据题意列表，然后根据表中数据求出所有可能的结果数，及小红和小花抽在相邻两道的可能数，求出概率即可。
38．已知，如图，∠1=∠2，∠3=∠4， 试说明EG∥FH的道理，以下是说明道理的过程，请将其填写完整，并在括号内填出所得结论的理由。
解：∵∠1=∠2（已知）
∠AEF=∠1（ ）
∴∠AEF=∠2（ ）
∴AB∥CD（ ）
∴∠BEF=∠CFE （ ）
∵∠3=∠4（ ）
∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3（ ）
即∠GEF=∠（ ）
∴EG∥FH（ ）
【答案】解：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1（对顶角相等），
∴∠AEF=∠2（等量代换），
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠BEF=∠CFE （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠3=∠4（ 已知 ），
∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3（ 等式基本性质 ），
即∠GEF=∠（ HFE ），
∴EG∥FH（ 内错角相等，两直线平行 ）.
【解析】【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定与性质、等式的基本性质进行解答，即可得出答案.
39．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为 ；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ；
（3）观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系：
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． ；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若m+n=5，mn=4，求m﹣n的值．
【答案】（1）m﹣n
（2）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（3）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（4）解：当m+n=5，mn=4时，
（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
=52﹣4×4
=9，
则m﹣n=±3
【解析】【分析】（1）阴影部分的正方形的边长=小矩形的长﹣小矩形的宽；（2）阴影部分的面积可以看作是边长（m﹣n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；（3）由（2）的结论根据面积相等直接写出即可；（4）利用（3）的结论：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn，把数值整体代入即可．
40．学习习近平总书记关于生态文明建设重要井话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A好，B：中，C：差．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随加抽取2人，请用画对状图或列表法求出全是B类学生的概率．
【答案】（1）解：全班学生总人数为10÷25%=40（人）；
（2）解：∵C类人数为40﹣（10+24）=6，
∴C类所占百分比为 ×100%=15%，B类百分比为 ×100%=60%，
补全图形如下：
（3）解：列表如下：
A B B C
A BA BA CA
B AB BB CB
B AB BB CB
C AC BC BC
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，
所以全是B类学生的概率为 = ．
【解析】【分析】
（1）根据A类的人数是10，所占的百分比是25%，用10除以25%据此即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求得C的人数，进而补全条形图即可；
（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
41．初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：
请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）这次抽查的样本容量是 ；
（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；
（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少？
【答案】（1）160
（2）解：不常用计算器的人数为：160﹣100﹣20=40；
不常用计算器的百分比为：40÷160=25%，
不用计算器的百分比为：20÷160=12.5%．
条形统计图和扇形统计图补全如下：
（3）解：∵“不常用”计算器的学生数为40，抽查的学生人数为160，
∴从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是： ．
答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是
【解析】【解答】解：（1）100÷62.5%=160．
即这次抽查的样本容量是160．
故答案为160；
【分析】（1）根据条形图知道常用计算器的人数有100人，从扇形图知道常用计算器的占62.5%，从而可求出解；（2）用样本容量减去常用计算器的人数和不用计算器的人数求出不常用计算器的人数，再算出各部分的百分比补全条形图和扇形图；（3）学生恰好抽到“不常用”计算器的概率是“不常用”计算器的学生数除以抽查的学生人数．
42．如图，有一个可自由转动的转盘被分成3等份，每份内标有数字分别是1，2，3．用这个转盘自由转动两次，每次停止转动后，指针落在所示区域的数字(如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针落在某一区域的数字为止)；
（1）请用树状图或列表法表示两次转动后指针落在所示区域的数字所有可能的结果；
（2）求指针两次落在区域的数字相加的和大于4的概率是多少
【答案】（1）解：列表法：
第1次第2次 1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 2，1 2，2 2，3
3 3，1 3，2 3，3
（2）解：P(和大于4)
【解析】【分析】（1）由题意可知，此事件是抽取放回，列表即可。
（2）根据（1）可得到所有等可能的结果数及指针两次落在区域的数字相加的和大于4的情况数，再利用概率公式可求解。
43．如图1，已知直线直线，点在上，点在上，点在，之间，连接，．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若．
①求的度数；
②如图2，若平分，交的延长线于点，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：①由（1）得
又∵
∴
∴
②∵平分
∴
在中，
即
化简得：
∴
【解析】【解答】解：（1）过点作，如下图：
∵，
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
【分析】根据平行线的传递性，得出；平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求出两组同旁内角的和是360°，然后减去AEF和CHF，剩下就是 .
44．如图，O为直线AB上一点，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线
（1）指出图中所有互为补角的角，
（2）求∠MON的度数，
（3）指出图中所有互为余角的角.
【答案】（1）解：∵∠AOB=180°
∴∠AOM+∠BOM=180°，∠AOC+∠BOC=180°，∠AON+∠BON=180，
又∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线，
∴∠AOM=∠MOC，∠CON=
NOB，
∴∠COM+∠MOB=180°，∠CON+∠AON=180°.
故图中所有互为补角的角有：∠AOM与∠MOB，∠AOC与∠BOC，∠AON与∠BON，∠COM与∠MOB，∠CON与∠AON.
（2）解：∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线，
∴∠MOC= ∠AOC，∠CON= ∠COB，
∴MON=∠MOC+∠CON= （∠AOC+∠COB）= ∠AOB，
又∵∠AOB=180°，
∴MON=90°.
（3）解：∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线，
∴∠AOM=∠MOC，∠CON=
NOB，
又∵MON=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，∠COM+∠BON=90°，∠CON+∠AOM=90°，∠CON+∠COM=90°
故图中所有互为余角的角有：∠AOM与∠BON，∠COM与∠BON，∠CON与∠AOM，∠CON与∠COM.
【解析】【分析】（1）根据补角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，观察图形，根据∠AOB=180°，即可解答.（2）根据OM是∠AOC的角平分线，ON是∠COB的平分线，可得∠AOM=∠MOC，∠CON= NOB，此时结合∠AOB的度数即可得到∠MON的度数.（3）根据余角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角，结合∠MON的度数，分析图形，即可解答.
45．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为 级、 级、 级，其中 级最好， 级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到 级的可能性大？为什么？
【答案】（1）解：共有六种情况：
；
．
（2）解：孙明买到 的情况有两种： ，因此孙明买到 概率为 ，
王军买到 的情况有三种： ，
因此王军买到 概率为 ．
，因此，王军买到 的可能性大．
【解析】【分析】（1）根据三箱油桃质量不同，根据拿出的顺序不同，列举出所有可能，共有6种可能，
（2）根据（1）中所求，求得相应的可能性，比较即可．
46．如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
（1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ；
②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律.
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN 的度数.
【答案】（1）130°；CBN
（2）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN＋∠A=180°，
∴∠ABN=180°-x°，
∴∠ABP＋∠PBN=180°-x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，
∴∠CBD=∠CBP＋∠DBP= ；
（3）解：不变，∠APB：∠ADB=2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（4）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC＋∠CBD=∠CBD＋∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，
∴2∠DBN= ∠ABN，
∵∠A+∠ABN=180°，
∴2∠DBN+ ∠A= （∠A+∠ABN）=90°.
【解析】【解答】（1）解：①∵AM∥BN，∠A=50°，
∴∠ABN=180°-∠A=130°，
故答案为：130°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
故答案为：CBN
【分析】（1）①利用平行线的性质求出∠ABN的度数；②利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质，可证得∠ABN＋∠A=180°，由此可推出∠ABP＋∠PBN=180°-x°，再利用角平分线的定义可证得∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，可推出2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，从而可表示出∠CBD.
（3）利用平行线的性质，可证得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，利用角平分线的定义，可得到∠PBN=2∠DBN；然后求出∠APB：∠ADB的比值.
（4）利用平行线的性质，可证得∠ACB=∠CBN，利用已知条件，推出∠CBN=∠ABD；再证明∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，可求出2∠DBN= ∠ABN，∠A+∠ABN=180°；然后代入计算可求出2∠DBN 的度数.
47．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系.
（1）如图(a)，已知AB∥CD，求证：∠BPD=∠B+∠D.
（2）如图(b)，已知AB∥CD，求证：∠BOD=∠P+∠D.
（3）根据图(c)，试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P作PE∥AB，如图1所示.
∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）
∴AB∥PE∥CD.（在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D.（等量代换）
（2）证明：过点P作PE∥CD，如图2所示.
∵PE∥CD，（辅助线）
∴∠BOD=∠BPE，（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D，（等量代换）
即∠BOD=∠P+∠D.（等量代换）
（3）解：数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D.
理由如下：
过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，如图3所示.
则BF∥PE∥CD，
∴∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∵∠FBA=∠FBP+∠B，
∴∠BPE=∠BQD+∠B，
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D.（等量代换）
【解析】【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；（2）过点P作PE∥CD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；（3）数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D.过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，由平行线的性质得出“∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，∠D=∠DPE”，再根据角之间的关系即可得出结论.
48．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P．
（1）如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图2和3），试写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．（图3只写结论，不写理由）
【答案】（1）解：当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）解：如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
【解析】【分析】（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
49．中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生.
（2）将图1、图2补充完整；
（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．
【答案】（1）200.解：100÷50%=200，所以调查的总人数为200名；故答案为200.
（2）解：
B类人数=200×25%=50（名）；D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10（名）；
C类所占百分比=×100%=20%，D类所占百分比=×100%=5%，
如图：
（3）解：
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为4，
所以这两名学生为同一类型的概率== ．
【解析】【分析】（1）用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数；
（2）分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比，然后补全统计图；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解．
50．如图 ，已知直线l1，l2，点P在直线l3上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．
（1）如图
，若直线l1//l2，点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
（2）如图
，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l1//l2？若成立请说明理由．
（3）如图
，若直线l1//l2，若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【答案】（1）解：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，
∴∠3＝∠1＋∠2．
（2）解：可以反推直线l1//l2.理由具体如下：
过点P作PQ1平行l1，如下图（2）所示：
因为PQ1平行l1，所以∠1＝∠Q1PE；又因为∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，则根据平行线的判定法则：内错角相等，两直线平行可知PQ1平行l2；又由于PQ1平行l1，PQ1平行l2，所以l1//l2.故反推成立.
（3）解：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2，如下图所示：
则：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；
∵∠3＝∠Q2PF ∠Q2PE，
∴∠3＝∠2 ∠1．
当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2，如下图所示：
根据题意我们设∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；则由图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；
∵∠3＝∠Q3PE ∠Q3PF，
∴∠3＝∠1 ∠2．
【解析】【分析】（1）过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可∠1、∠2、∠3的数量关系；
（2）过点P作PQ1平行l1，由PQ1平行l1，得到∠1＝∠Q1PE；又由∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，得到∠2＝∠QPF，再根据平行线的判定法则进行求解即可得到答案.
（3）本题分两种情况讨论：当点P在A点上方时，过点P作PQ2∥l1∥l2，结合题意可得∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；又由∠3＝∠Q2PF ∠Q2PE，可得∠3＝∠2 ∠1．当点P在B点下方时，过点P作PQ3∥l1∥l2，则由图可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；根据∠3＝∠Q3PE ∠Q3PF，可得∠3＝∠1 ∠2．
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