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【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期中试卷·填空题专练
1．某校计划组织学生乘车到红色基地进行研学活动，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1600元，那么最多租用甲型客车 辆．
2．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
3．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ．
4．如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么
5．在中，，若点在边上移动，则的最小值是 ．
6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB= °
7．等边△ABC中，BC=2，则△ABC的面积为 ；
8．如图，在中，平分，，，，面积为 ．
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 °．
10．如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点．则的最小值为 ．
11．如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为 ．
12．如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝ ．
13． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ ．
14．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+y＞1，则a的取值范围是 ．
16．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：，，，，…根据上述规律请你写出 ．（用含n的代数式表示）
17．已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为 .
18．如图，正方形的边长为2，点是上的动点，以为边在正方形内部作等腰直角三角形，连接，当点从运动到时，则扫过的面积为
19．如图，AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10，则△ABD与△ADC的面积之比为
20．如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ．
21．如图，在中，90°，，将沿CB向右平移得到，若平移距离为3，则四边形ABED的面积等于 ．
22．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
23．已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 ．
24．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是 .
25．如图，已知四边形ABCD的顶点为，，，，点E是边AB与y轴的交点，点M从E点出发，沿四边形的边以2单位长度/s的速度逆时针做环绕匀速运动，当运动时间为2024s时，此时点M的坐标是 ．
26．如图，，平分，且．若，则 °．
27．如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
28．已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度．
29．如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．
30．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，，将线段平移后得到线段（点，分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为 .
31．如图，在一块长为21m，宽为15m的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 m2．
32．已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是 ．
33．不等式组的解集为 ．
34．如图，等边内部一点O，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段 ，连接，则 ．
35．如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为 ．
36．已知关于x的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．
37．如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
38．如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ．
39．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则 ．
40．如图，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象相交于点（1，3），则方程组的解为，关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为 ．
41．如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于 ．
42．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度．
43．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 ．
44．如图，在中，平分，如果点P，点Q分别为上的动点，那么的最小值是 ．
45．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路图中阴影部分，余下部分绿化，小路的宽为，则绿化面积为 ．
46．如图，四边形中，对角线，点为上一点，连接交于点，，则 ．
47．若关于x的不等式组 只有3个正整数解，则m的取值范围为 .
48．如图，在 中， ， ， ，以AC为腰，点A为顶点作等腰 ，且 ，则 .
49．对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”．求出 ；已知M，N均为“天平数”，其中，（，，，x，b，y是整数），，（，，，，a，b，c，d是整数），若，求出满足条件的M的最大值 ．
50．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是 .
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【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期中试卷·填空题专练
1．某校计划组织学生乘车到红色基地进行研学活动，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1600元，那么最多租用甲型客车 辆．
【答案】
2．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】锐角
3．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程x-n+3=0的解是负数
∴x=n-3<0
解得：n<3
故答案为：n<3
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，根据方程的解为负数得出n-3<0，求解即可．
4．如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么
【答案】
5．在中，，若点在边上移动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作于，作于，
，
，，
，
，
当时，的值最小，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】如图，作于，作于，首先得出当CP⊥AB时，CP的值最小。根据勾股定理可求得AD的长度，然后再根据面积法即可得出CP'的长度，即为CP的最小值。
6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB= °
【答案】35
【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N．
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°．
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC．
∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB∠DAB＝35°．
故答案为35．
【分析】作MN⊥AD于N．先推出AB∥CD，利用平行线的性质可得∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，根据角平分线的性质及线段的中点，可得MN＝MC=MB，根据角平分线的判定可得∠MAB∠DAB＝35°.
7．等边△ABC中，BC=2，则△ABC的面积为 ；
【答案】
【解析】【解答】解：AD为BC边上的高，等边三角形三线合一，
∴BD=DC=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
则AD==，
故等边△ABC的面积S=×BC×AD=×2×=.
故答案为.
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=DC=1，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可。
8．如图，在中，平分，，，，面积为 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵平分，， DE=2，
∴点D到直线AC的距离为2，
∴面积=×AC×2=AC=5.
故答案为：5.
【分析】利用角平分线的性质可得点D到直线AC的距离为2，再利用三角形的面积公式求解即可。
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 °．
【答案】60
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，E是的中点，
，，
，
是等边的边上的高，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为，
此时有，
则，
故答案为：60．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
10．如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点．则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由作法得平分，
作上截取，连接交于D，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此时的值最小，最小值为的长，
∵，E为边的中点，
∴，
在，，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据题意得平分，作上截取，连接交于D，证明得到，根据两点之间线段最短可得出的值最小值为的长，然后利用勾股定理计算出即可．
11．如图，直线y1＝mx经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y2＝kx＋b交于点P，则不等式kx＋b＞mx＞－2的解集为 ．
【答案】－4＜x＜2
12．如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝ ．
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
∵∠C＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，
故答案为：70°．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，利用等边对等角可得∠BAE＝∠B＝30°，再利用三角形内角和可得∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，再利用三角形内角和定理即可得解．
13． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=BC，
∵BC=6，
∴CD=BC=3，
故答案为：3.
【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得CD=BC=3.
14．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：连接交与点，连接．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
．
．
当点位于点处时，有最小值，最小值6．
的周长的最小值为．
故答案为：8.
【分析】连接交与点，连接，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，则，故此当、、在一条直线上时，有最小值，然后依据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可证明为底边上的高线，根据三角形的面积为12可求得的长．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+y＞1，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
①+②，得．
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】利用加减消元法解方程组即可。
16．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：，，，，…根据上述规律请你写出 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
17．已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为 .
【答案】54°
【解析】【解答】解：另一个锐角的大小为：90°-36°=54°。
故第1空答案为：54°。
【分析】根据直角三角形的性质直接求出另一个锐角。
18．如图，正方形的边长为2，点是上的动点，以为边在正方形内部作等腰直角三角形，连接，当点从运动到时，则扫过的面积为
【答案】1
【解析】【解答】解：当点E从A点运动到点B时，如图所示，
则BF扫过的面积即为三角形ABF扫过的面积，
∵为等腰直角三角形，，
∴AF=BF，
∴，
∴，
∴.
∴BF扫过的面积为：1.
故答案为：1.
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出两直角边，即可求出BF扫过的面积.
19．如图，AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10，则△ABD与△ADC的面积之比为
【答案】3：2
【解析】【解答】解： ∵AD为△ABC的角平分线，AB=15，AC=10 ，
∴BD：CD=3：2，
∴S△ABD：S三角形ADC=3：2，
故答案为：3：2.
【分析】根据角平分线的性质：角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，可得BD：CD=3：2，故可得 △ABD与△ADC的面积之比 .
20．如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ．
【答案】
21．如图，在中，90°，，将沿CB向右平移得到，若平移距离为3，则四边形ABED的面积等于 ．
【答案】12
22．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
阴影，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理可得BC，结合勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据S阴影=S△ABC-S△BDC结合三角形的面积公式进行计算.
23．已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 ．
【答案】
24．如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是 .
【答案】3
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
是的角平分线，，，
，
，
的面积为8，
的面积为，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=2，进而根据三角形面积计算方法及△ABC的面△ABD的面积+△ACD的面积代入计算即可.
25．如图，已知四边形ABCD的顶点为，，，，点E是边AB与y轴的交点，点M从E点出发，沿四边形的边以2单位长度/s的速度逆时针做环绕匀速运动，当运动时间为2024s时，此时点M的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵A（1，2），B（-1，2），C（-1，-2），D（1，-2），E（0，2），
∴AB=CD=2，BC=AD=4，AE=BE=1，
∵点M从E点出发，沿四边形的边以2单位长度/s的速度逆时针做环绕匀速运动，
∴当运动时间为2024s时，走过的路程为4048，
∴4048÷12=337…4，
∴点M的坐标为（-1，-1）.
故答案为：（-1，-1）.
【分析】根据题意先求出AB=CD=2，BC=AD=4，AE=BE=1，当运动时间为2024s时，走过的路程为4048，再利用4048÷12=337…4，即可得出答案.
26．如图，，平分，且．若，则 °．
【答案】
27．如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
28．已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度．
【答案】35或55
29．如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．
【答案】4256
30．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，，将线段平移后得到线段（点，分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】【解答】解：由点M（-4，-1）到点M'（-2，2）可知，点的横坐标加2，纵坐标加3，
∴ 点N'的坐标为（0+2，1+3），即（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【分析】根据平移的规律，点M、N平坐标变化相同，得到N'的坐标即可．
31．如图，在一块长为21m，宽为15m的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 m2．
【答案】300
【解析】【解答】因为小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
所以将小路左半部分的草地向右平移1m，与小路的右半部分对接，
可以得到一个长为（21 1）m，宽为15m的长方形，
因此这块草地的绿地面积是，
故答案为：300．
【分析】利用平移可将这块草地看作一个长为（21 1）m，宽为15m的长方形，然后计算即可.
32．已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
33．不等式组的解集为 ．
【答案】3＜x＜5
34．如图，等边内部一点O，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段 ，连接，则 ．
【答案】
35．如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为 ．
【答案】x≥1
【解析】【解答】解：∵直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），
根据图象可知，不等式2x≥﹣x+a的解集为x≥1，
故答案为：x≥1．
【分析】利用两函数图象的交点P的横坐标，观察图象找出直线y1在y2上边部分对应的自变量的取值，可得到不等式2x≥﹣x+a的解集.
36．已知关于x的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】a＜2
【解析】【解答】解： ，由①得x≥a，由②得x＜2，
∵该不等式组有解，
∴a＜2.
故答案为：a＜2.
【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据不等式组有解，由“大小小大中间找”即可得出a的取值范围.
37．如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形，
故答案为：直角
【分析】根据勾股定理分别求出三条线段的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
38．如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ．
【答案】
39．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则 ．
【答案】12
40．如图，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象相交于点（1，3），则方程组的解为，关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为 ．
【答案】x＞1
【解析】【解答】解： ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象相交于点（1，3），
∴ 关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】求关于x的不等式kx+b＞mx+n的解，就是求直线y1＝kx+b在y2＝mx+n的图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合图象及交点坐标可得答案.
41．如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵DA平分∠CBA，，∠A=90°，
∴DE=AD，
∵，
∴∠C=∠CBA=45°，
∴BA=CA，
∴△DBE≌△DBA（HL），
∴BE=BA=CA，
∴的周长等于ED+CD+CE=BE+CE+BC=12cm，
故答案为：12
【分析】先根据角平分线的性质即可得到DE=AD，进而结合题意根据等腰直角三角形的性质即可得到BA=CA，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到BE=BA=CA，最后根据题意进行转换即可求解。
42．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度．
【答案】50或40
43．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 ．
【答案】76 °
44．如图，在中，平分，如果点P，点Q分别为上的动点，那么的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，
∵平分，
∴，
∴，
此时的值最小，
因为，
故是直角三角形，
故的面积，
∴，
∴的值最小为，
故答案为：．
【分析】过点作交于点，交于点，过点作交于点，根据角平分线性质可得，则，此时的值最小，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
45．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路图中阴影部分，余下部分绿化，小路的宽为，则绿化面积为 ．
【答案】513
【解析】【解答】解：根据题意，得.
故答案为：513.
【分析】根据平移的性质可得：绿化部分是一个长为(30-3)m、宽为(22-3)m的矩形，然后根据矩形的面积公式进行计算.
46．如图，四边形中，对角线，点为上一点，连接交于点，，则 ．
【答案】
47．若关于x的不等式组 只有3个正整数解，则m的取值范围为 .
【答案】6＜m≤7
【解析】【解答】解： ，
由不等式①，得x＜m，
由不等式②，得x≥4，
∴原不等式组的解集是4≤x＜m，
∵关于x的不等式组 只有3个正整数解，
∴6＜m≤7，
故答案为：6＜m≤7.
【分析】由题意先求得每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个正整数解可得m的范围.
48．如图，在 中， ， ， ，以AC为腰，点A为顶点作等腰 ，且 ，则 .
【答案】10
【解析】【解答】解：
以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，
则∠BAE＝120°，AB＝AE，DE＝BC，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB cos∠ABP＝3，∠DEA＝∠ABC＝60°，
∴∠DEB＝30°＋60°＝90°，BE＝2BP＝6，
在Rt△BED中，BD＝ ＝10，
故答案为：10.
【分析】以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，DE＝BC，求出∠ABE、∠AEB、∠DEA、∠ABC、∠DEB的度数，然后结合勾股定理进行求解.
49．对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”．求出 ；已知M，N均为“天平数”，其中，（，，，x，b，y是整数），，（，，，，a，b，c，d是整数），若，求出满足条件的M的最大值 ．
【答案】14；8329
50．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过 作 于 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确的序号是 .
【答案】①②④
【解析】【解答】解：① 为 的角平分线，
，
又 ， ，
，
，
，即①正确；
②在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即②正确；
③根据已知条件，可得 不一定成立，故③错误；
④如图，过 作 于 点，
是 上的点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，证明△ABD≌△EBC，得到∠BCE=∠BDA，据此判断①；根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠BEA=(180°-∠ABE)，∠BDC=(180°-∠CBD)，推出∠BDC=∠AEB，得到△ACE为等腰三角形，则AE=EC，由全等三角形的性质可得AD=EC，据此判断②；无法得到AB∥CE，过E作EG⊥BC于G点，证明△BEG≌△BEF，△CEG≌△AEF，得到AF=CG，据此判断④.
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