中小学教育资源及组卷应用平台
【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．健康生活，人们越来越喜欢吃新上市的水果，为满足市民的需求，某水果店分别以每千克5元和6元的价格一次性购进了枇杷和桃子个若干千克，共用去了980元．枇杷按每千克获利的价格销售，桃子每千克售价是枇杷每千克售价的倍，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利780元．
（1）该水果店此次购进的枇杷和桃子分别是多少千克？
（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些枇杷和桃子，两种水果购进的数量都与上次相同，由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，枇杷每千克售价下调了，桃子价格上调了，若要求销售完这些枇杷和桃子的利润不得低于768元，求a的最大值．
2．某中学为了绿化校园，计划购买一批法桐和垂柳，经市场调查法桐的单价比垂柳少20元，购买3棵法桐和2棵垂柳共需340元．
（1）请问法桐和垂柳的单价各多少
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840充，且购买法桐的棵数不大于60，请你算算，该校本次购买法桐和垂柳共有哪几种方案．
3．如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．
（1）说明AN＝MB；
（2）将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形；
（3）在（2）所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
4．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
5．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求BC的长.
6．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
7．某省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展，某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆为25万元，中型客车每辆15万元.
（1）设购买大型客车x辆，购车总费用为y万元，求y与x的函数关系；
（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元）那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？
8．如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数.
9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
10．如图，已知.
（1）根据要求作图：在边上求作一点，使得点到、的距离相等，在边上求作一点，使得点到点、的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）在第（1）小题所作出的图中，求证：.
11．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
12．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请说明的理由；
（2）若，，求线段的长．
13．“开心水果店”用3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少．
（1）求第一批购进的苹果每千克多少元？
（2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质不如第一批，该店主将售价下降销售，结果仍有的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值．
14．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．
15．小何到早餐店买早点，“阿姨，我买个肉包和个菜包．”阿姨说：“一共元．”付款后，小何说：“阿姨，少买个菜包，换个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交元钱．”
（1）请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
（2）如果小何一共有元，需要买个包子，他最多可以买几个肉包呢？
16．问题情境：如图1，点为直线上一点，，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）操作发现：
将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转到图2的位置，使得落在射线上，求的度数；
（2）拓广探索：
在上述直角三角板从图1旋转到图3位置的过程中，当恰好平分时，是否平分？请说明理由．
17．已知：如图，中， ， 且于交的延长线于.
（1）求证：
（2）如果连接，请写出与的关系并证明
18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 ；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为： ．
19．已知关于x、y的方程组 ，且x＞0，y＞0，
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简 .
20．为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．
型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
（1）求，的值；
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
21．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C （3，﹣3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1上平移5个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点C2的坐标．
23．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
24．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
25．如图，一次函数的图象经过点，.
（1）求这个一次函数的表达式.
（2）根据函数图象，直接写出时x的取值范围.
26．为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
27．已知关于x，y的方程组 的解为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|﹣4a+5|﹣|a+4|．
28．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件.已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元.设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润.
29．为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
30．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC.（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形.）
（1）△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC＋PQ取得最小值时，
①
在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ.（请保留作图痕迹.）
（3）② 直接写出PC＋PQ的最小值： .
31．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵 两次共花费940元 两次购进的A、B两种花草价格均分别相同 .
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若再次购买A、B两种花草共12棵 、B两种花草价格不变 ，且A种花草的数量不少于B种花草的数量的4倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
32．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15° .
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求∠BOE度数．
33．如图，已知平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，4），B（﹣4，0）C（1，3），解答下列各题：
⑴按题中所给坐标在图中画出△ABC并直接写出△ABC的面积；
⑵画出△ABC先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的△A'B'C'，并直接写出A'，B′，C'的坐标；
⑶直接写出△ABC按照（2）问要求平移到△A'B'C'的过程中，△ABC所扫过的图形的面积．
34．在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．
（1）是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形．
35．某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元.
（1）填空：一、二月份冰箱每台售价分别为 元， 元；
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台，填空：可列关于y的不等式为 ；
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，求a的值.
36．为做好“垃圾分类”工作，某校计划采购甲、乙两种型号的垃圾箱.已知采购1个甲型箱和3个乙型箱共需220元；购买3个甲型箱和1个乙型箱共需260元.
（1）求甲乙两种垃圾箱的售价（元/个）；
（2）学校计划购买甲型箱和乙型箱共30个，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲型箱多少个？
37．某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元．
（1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？
（2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？
38．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
39．在三角形纸片ABC中， ， ， ，点E在AC上， ．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点 落在AB的延长线上，折痕为ED， 交BC于点F．
（1）求 的度数；
（2）求BF的长度．
40．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则.
例如：
试解决下列问题：
（1）填空：① （为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为 ；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数x的值.
41．如图，在中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒
备用图1 备用图2
（1）若点P在上，且满足的周长为，则t的值为 ；
（2）若点P在的平分线上，求此时t的值；
（3）运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形.
42．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线交点），点O在格点上
（1）画出将△ABC向右平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．
43．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，根据下列条件，求出∠BOC的度数．
（1）已知∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC= ．
（2）已知∠A=90°，求∠BOC的度数．
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．
44．八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元．
（1）求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？
（2）学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
45．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长．
46．若A、O、B三点共线，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）.
（1）如图1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE= °；
（2）如图2，将三角板 DOE 绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC 的 ；
（3）如图3，将三角板 DOE绕点O逆时针转动到使∠COD= ∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC 重合，求t的值.
47．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．
（1）在图1中画出边长为 的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点 出发，经过跳马变换到达与其相对的格点 ，则最少需要跳马变换的次数是 次．
（3）如图3，在 的正方形网格中，一只电子小马从格点 经过若干次跳马变换到达与其相对的格点 ，则它跳过的最短路程为 ．
48．如图
（背景阅读）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（实践操作）
（1）请叙述勾股定理；
（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）
（3）（探索发现）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系并说明理由．
49．如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF.
（1）在图①中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；(不要求证明)
（2）将△DEF沿直线m向左平移到图②的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合 请证明你的猜想.
50．列方程解应用题：
七年级1班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
（1）求每个书包和每本词典的价格；
（2）若该班计划用900元购买40份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了 个书包，请写出余下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．健康生活，人们越来越喜欢吃新上市的水果，为满足市民的需求，某水果店分别以每千克5元和6元的价格一次性购进了枇杷和桃子个若干千克，共用去了980元．枇杷按每千克获利的价格销售，桃子每千克售价是枇杷每千克售价的倍，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利780元．
（1）该水果店此次购进的枇杷和桃子分别是多少千克？
（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些枇杷和桃子，两种水果购进的数量都与上次相同，由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，枇杷每千克售价下调了，桃子价格上调了，若要求销售完这些枇杷和桃子的利润不得低于768元，求a的最大值．
【答案】（1）水果店此次购进的枇杷100千克，桃子80千克
（2）15
2．某中学为了绿化校园，计划购买一批法桐和垂柳，经市场调查法桐的单价比垂柳少20元，购买3棵法桐和2棵垂柳共需340元．
（1）请问法桐和垂柳的单价各多少
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840充，且购买法桐的棵数不大于60，请你算算，该校本次购买法桐和垂柳共有哪几种方案．
【答案】（1）法桐和垂柳的单价分别是60元/棵，80元/棵
（2）购买法桐58棵，垂柳92棵；购买法桐59棵，垂柳91棵；购买法桐60棵，垂柳90棵
3．如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．
（1）说明AN＝MB；
（2）将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形；
（3）在（2）所得到的图形中，结论“AN＝BM”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）解：∵三角形ACM以及三角形CBN为等边三角形，∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM=∠BCN，∴∠NCA＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝MB．
（2）解：如图，△A′M′C．
（3）解：∵△CBN与△ACM是等边三角形，∴BC＝NC，CM＝AC，∠NCB＝∠MCA＝60°，∴∠MCB=∠ACN，∴△CBM≌△CNA（SAS），∴AN＝BM．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可判定△NCA≌△MCB，根据全等三角形的性质得到答案即可。
（2）根据旋转的性质，作出符合条件的图即可得到答案。
（3）根据等边三角形的性质，即可判定△CBM≌△CNA，根据三角形全等的性质得到答案即可。
4．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
【解析】【分析】（1）由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据SAS证明△ACD≌△EBD ；
（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF， 根据SAS证明△ADC≌△FDB，可得BF＝AC，∠CAD＝∠F，由AM＝GM，利用等边对等角可得∠CAD＝∠AGM，由对顶角相等可得∠BGF＝∠CAD＝∠F，从而得出BG＝BF＝AC，继而得解.
5．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求BC的长.
【答案】（1）证明：∵BD＝6，AD＝8，
∴BD2＋AD2＝62＋82＝100，
∵AB＝10，
∴BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形
（2）解：由（1）得，△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴在Rt△ADC中， ，
∵AD＝8，AC＝17，
∴CD＝15，
∵BD＝6，
∴BC＝BD＋CD＝6＋15＝21
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BD2＋AD2＝AB2，然后根据勾股定理逆定理进行证明；
（2）由（1）得：△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，则∠ADC＝90°，根据勾股定理可得CD，然后根据BC＝BD＋CD进行计算.
6．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，
．
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
为等边三角形．
．
，
．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠ACB=60°，由平行线的性质可得∠B=∠EDC=60°，然后根据∠F=90°-∠EDC进行计算；
（2）由（1）可得∠B=∠EDC=∠ACD=60°，由内角和定理可得∠DEC=60°，推出△EDC为等边三角形，得到CE=CD=DE，据此解答.
7．某省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展，某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆为25万元，中型客车每辆15万元.
（1）设购买大型客车x辆，购车总费用为y万元，求y与x的函数关系；
（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元）那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？
【答案】（1）解：依题意购买大型客车x辆，则购买中型客车为（10－x）辆
根据题意得 y=25x+15（10－x）=10x+150；
（2）解：根据题意得：180≤10x+150≤200，
解得3≤x≤5，
∵x是正整数，
∴x取值为3、4、5，
故有3种购车方案
又∵ 依题意x≥4，y=10x+150是x的增函数，故当x=4时y最小，
∴购买大型客车4辆，中型客车6辆费用最少.
【解析】【分析】（1）购车总费用= 大型客车费用+中型客车费用，据此即可求出y与x的函数关系式；
（2）由题意得180≤y≤200，即得180≤10x+150≤200， 求出x的正整数解即得购车方案，再根据一次函数的性质求出y的最小值即可.
8．如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数.
【答案】（1）证明：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
（2）解：由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，即∠BOQ的度数是60°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABP＝∠CAQ，根据外角的性质可得∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ，则∠BOQ=∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC，据此解答.
9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， 由勾股定理即可求出BC的长；
（2）根据在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，即可求出CD2+BD2＝BC2，根据勾股定理的逆定理，即可证得△BCD是直角三角形．
10．如图，已知.
（1）根据要求作图：在边上求作一点，使得点到、的距离相等，在边上求作一点，使得点到点、的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）在第（1）小题所作出的图中，求证：.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE∥AC．
【解析】【分析】（1）由题意可知，D是∠BAC的角平分线与BC的交点，点E是AD的中垂线与AB的交点；
（2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得∠CAD=∠ADE，再根据平行线的判定即可求解。
11．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，
∵AE＝AB，AC=AF，
∴△EAF≌△BAC，
∴EF＝BC；
（2）解：∵△EAF≌△BAC，
∴∠AEF=∠ABC＝65°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC＝65°，
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知∠CAF＝∠BAE，结合角的和差关系可推出∠EAF=∠BAC，利用SAS证明△EAF≌△BAC，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEF=∠ABC＝65°，由等腰三角形的性质可得∠AEB=∠ABC＝65°，根据平角的概念求出∠FEC的度数，由外角的性质可得∠FGC=∠FEC+∠ACB，据此计算.
12．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）请说明的理由；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）解：∵、分别是和的高，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，即，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据，可得。
13．“开心水果店”用3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少．
（1）求第一批购进的苹果每千克多少元？
（2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质不如第一批，该店主将售价下降销售，结果仍有的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值．
【答案】（1）每千克4元
（2）25
14．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．
【答案】（1）解：设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，
由题意可得 ，
解得： ，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）解：设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，
根据题意得52m+28(30-m)≤960
解得m≤5
∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪．
【解析】【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可．
15．小何到早餐店买早点，“阿姨，我买个肉包和个菜包．”阿姨说：“一共元．”付款后，小何说：“阿姨，少买个菜包，换个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交元钱．”
（1）请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
（2）如果小何一共有元，需要买个包子，他最多可以买几个肉包呢？
【答案】（1）解：设肉包的单价为元，菜包的单价为元，根据题意可列方程组：
，
解得．
答：肉包的单价是1.5元，菜包的单价是1元．
（2）解：设可以买a个肉包子，则可以买（20-a）个菜包，根据题意得，
解得：a≤10，
∴最多可以买个肉包．
答：最多可以买个肉包．
【解析】【分析】（1）设肉包的单价是x元，菜包的单价是y元，根据题意找到等量关系.即买8个肉包+5个菜包的钱数=17元；少买2个菜包（3个菜包）+换3个肉包（11个肉包）的钱数=17+2.5．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可以买a个肉包，则可以买（20-a）个菜包，根据小何一共有25元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
16．问题情境：如图1，点为直线上一点，，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）操作发现：
将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转到图2的位置，使得落在射线上，求的度数；
（2）拓广探索：
在上述直角三角板从图1旋转到图3位置的过程中，当恰好平分时，是否平分？请说明理由．
【答案】（1）解：∠NOM=90°，
∠NOB=90°，
∵，
∠CON=∠NOB﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；
（2）解：ON平分∠BOC，理由：
∠AOC+∠BOC=180°
∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°，
OM平分∠AOC
∠MOC=∠AOC=×120°=60°
∠NOM=90°
∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣60°=30°
∠BON=∠BOC﹣∠CON=60°﹣30°=30°
∠CON=∠BON
ON平分∠BOC．
【解析】【分析】（1）根据图象可得∠NOB=90°，再利用∠CON=∠NOB﹣∠BOC计算即可；
（2）先求出∠AOC，再根据角平分线的性质求出∠MOC，最后根据角的运算求出∠BON和∠CON即可得到答案。
17．已知：如图，中， ， 且于交的延长线于.
（1）求证：
（2）如果连接，请写出与的关系并证明
【答案】（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB；
（2）解：AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE=CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA=∠CBA=90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，CE=CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【解析】【分析】（1）先证明AC是∠EAB的角平分线，再结合CE⊥AE，CB⊥AB，利用角平分线的性质可得CE=CB；
（2）先利用“HL”证明Rt△CEA≌Rt△CBA，可得AE=AB，CE=CB，证出点A、点C在线段BE的垂直平分线上，即可得到AC垂直平分BE。
18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 ；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为： ．
【答案】（1）SAS
（2）∠ACB=2∠ABC
【解析】【解答】解：（1）SAS；（2）∵△ABD≌△AED，
∴∠B=∠E，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∴∠ACB=2∠ABC．
故答案为：SAS，∠ACB=2∠ABC．
【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
19．已知关于x、y的方程组 ，且x＞0，y＞0，
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简 .
【答案】（1）解： ，①÷2得：x+y=2m③，③+②得：x= ，③－②得：y= ，∴
（2）解：∵x＞0，y＞0，∴ ，解得： ，∴
（3）解：原式＝4－m＋m＋1＝5．
【解析】【分析】（1）加减消元法解方程组即可；（2）由x＞0，y＞0，建立不等式组，解不等式组即可；（3）去掉绝对值符号，合并同类项即可．
20．为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买台污水处理设备，现有两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．
型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
（1）求，的值；
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
【答案】（1），；
（2）有三种购买方案：方案一：购买种型号的设备台，购买种型号的设备台；方案二：购买种型号的设备台，购买种型号的设备台；方案三：购买种型号的设备台，购买种型号的设备台．
21．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，∵D为AC中点，∴∠DBC=30°，AD=DC，∵BD=DE，∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，∴CD=CE，∵AD=DC，∴AD=CE；
（2）解：AD=CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，
∵DF∥BC，∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中 ，∴△BFD≌△DCE，∴CE=DF=AD，即AD=CE．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得∠DBC=30°，AD=DC，利用等边对等角可得∠E=∠DBC=30° ，利用三角形外角的性质可得∠CDE=30°，由等角对等边可得CD=CE，从而可证AD=CE；
（2） 如图2，过D作DF∥BC，交AB于F， 先证△AFD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得AD=DF=AF，∠AFD=60°，从而求出∠BFD的度数.根据两直线平行，内错角相等可得∠FDB=∠DBE=∠E，根据“AAS” 可证△BFD≌△DCE，从而可得CE=DF=AD，即证AD=CE．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C （3，﹣3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1上平移5个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2并直接写出点C2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣1，2）．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图，再直接写出点C2的坐标．
23．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）购进A商品的件数最多为20件
24．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再结合平行线的性质可得，，证出，即可得到是等边三角形；
（2）连接BD，根据角平分线的定义可得，利用平行线的性质可得，所以，再利用线段的和差及等量代换可得。
25．如图，一次函数的图象经过点，.
（1）求这个一次函数的表达式.
（2）根据函数图象，直接写出时x的取值范围.
【答案】（1）解：将点、分别代入，
得：
解得
所以，该一次函数解析式为：
（2）解：
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时x的取值范围是：.
【分析】（1）将（-2，0）、（2，2）代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得一次函数的表达式；
（2）根据图象，找出函数图象在y=2下方部分所对应的x的范围即可.
26．为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
【答案】（1）每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元
（2）最多可以购买甲种纪念品件
27．已知关于x，y的方程组 的解为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|﹣4a+5|﹣|a+4|．
【答案】（1）解： ，
①+②，得：x=﹣4a+5，
①﹣②，得：y=a+4，
∵方程的解为正数，
∴ ，
解得：﹣4＜a＜
（2）解：由（1）知﹣4a+5＞0且a+4＞0，
∴原式=﹣4a+5﹣a﹣4=﹣5a+1
【解析】【分析】（1）将a看做常数解关于x、y的方程，依据方程的解为正数得出关于a的不等式组，解之可得；（2）根据绝对值的性质取绝对值符号，合并同类项可得．
28．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件.已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元.设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得：18≤x≤20.
∵x是正整数，∴x=18、19、20，
共有三种方案：
方案一：A产品18件，B产品12件，
方案二：A产品19件，B产品11件，
方案三：A产品20件，B产品10件
（2）解：设总利润为y，
根据题意得：y=700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴x=18时，利润有最大值，是﹣200×18+27000=23400元.
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元.
【解析】【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）设总利润为y，根据总利润等于两种产品的利润之和求出函数关系式，然后根据一次函数的增减性判断即可.
29．为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
【答案】（1）解：已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，
则乙种树每棵200元，
丙种树每棵 ×200=300（元）
（2）解：设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000﹣3x）棵．
根据题意：
200×2x+200x+300（1000﹣3x）=210000，
解得x=300
∴2x=600，1000﹣3x=100，
答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵
（3）解：设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000﹣y）棵，
根据题意得：
200（1000﹣y）+300y≤210000+10120，
解得：y≤201.2，
∵y为正整数，
∴y最大取201．
答：丙种树最多可以购买201棵
【解析】【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数；（2）假设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000﹣3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可；（3）假设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000﹣y）棵，根据题意得：200（1000﹣y）+300y≤210000+10120，求出即可．
30．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC.（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形.）
（1）△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC＋PQ取得最小值时，
①
在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ.（请保留作图痕迹.）
（3）② 直接写出PC＋PQ的最小值： .
【答案】（1）直角
（2）解：①作图如图所示，
（3） .
【解析】【解答】解：（1）∵网格图是由边长为1的小正方形组成，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴△ABC是直角三角形.
故答案为直角；
解：（3）②∵PC＋PQ ，
又∵ ，
∴PC＋PQ
故答案为 .
【分析】（1）先利用勾股定理求出△ABC的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可进行判断；（2）利用轴对称即可作图，利用相似的性质及勾股定理即可计算出PC＋PQ的最小值.
31．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵 两次共花费940元 两次购进的A、B两种花草价格均分别相同 .
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若再次购买A、B两种花草共12棵 、B两种花草价格不变 ，且A种花草的数量不少于B种花草的数量的4倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
【答案】（1）解：设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得 .
种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；
（2）解：设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为 株，
种花草的数量不少于B种花草的数量的4倍，
，
解得： ，
，
设购买树苗总费用为 ，
当 时，最省费用为： 元 ，
答：购进A种花草的数量为10株、B种2株，费用最省；最省费用是210元.
【解析】【分析】（1） 设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元 ，根据第 一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵 两次共花费940元 即可列出关于x和y的方程组即可求解；
（2） 设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为 株， 根据 A 种花草的数量不少于B种花草的数量的4倍， 列出关于m的不等式即可求解.
32．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15° .
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求∠BOE度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO= AC= BD
∵AE是∠BAD的角平分线；
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∴△AOB是等边三角形
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°
∴AB=BE
∵△ABO是等边三角形
∴AB=BO
∴OB=BE
∵∠OBE=30°，OB=BE，
∴∠BOE= （180°-30°）=75°
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线相等，以及平行四边形对角线互相平分，可知△AOB是等腰三角形；结合矩形各角都是90°，且BE平分∠BAD∴∠BAE=45°，又∵∠CAE=15°，∴∠BAO=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得出证明；
（2）由前证△BAO是等边三角形，可证明∠DBC=30°，且OB=AB，又∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，∴AB=BE=OB，∴△BOE是等腰三角形，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°。
33．如图，已知平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，4），B（﹣4，0）C（1，3），解答下列各题：
⑴按题中所给坐标在图中画出△ABC并直接写出△ABC的面积；
⑵画出△ABC先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的△A'B'C'，并直接写出A'，B′，C'的坐标；
⑶直接写出△ABC按照（2）问要求平移到△A'B'C'的过程中，△ABC所扫过的图形的面积．
【答案】解：（1）如图，△ABC为所作，
S△ABC=4×5× =10；
（2）如图，△A'B'C'为所作，点A'，B′，C'的坐标分别为（1，1），（1，-3），（6，0）；
（3）△ABC所扫过的图形的面积＝ ．
【解析】【分析】（1）根据已知坐标进行描点连线即得△ABC，利用三角形的面积公式计算即可；
（2）根据平移的性质及网格特点，分别作出点A、B、C先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度后的对应点A'、B'、C'，然后顺次连接即可，根据点的位置分别写出坐标即可；
（3）利用割补法进行计算即可.
34．在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．
（1）是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）可组成长方形；（2）可组成楼梯形状；（3）可组成平行四边形．
35．某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元.
（1）填空：一、二月份冰箱每台售价分别为 元， 元；
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台，填空：可列关于y的不等式为 ；
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，求a的值.
【答案】（1）一月份冰箱每台售价4500元；则二月份冰箱每台售价4000元
（2）3500y+4000
（3）解：设总获利w元，
w=（4000-3500-a）y+（4400-4000）（20-y）=（100-a）y+8000，
∵（2）中各方案获得的利润相同，
∴100-a=0，
解得，a=100，
【解析】【解答】解：（1）设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价（x-500）元，
25（x-500）-20x=10000，
解得，x=4500，
∴x-500=4000，
答：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；
故答案为：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；
（2） 设冰箱为y台， 则购进洗衣机（20-y）台，由题意可得，3500y+4000（20-y）≤76000；
故答案为：3500y+4000（20-y）≤76000；
【分析】（1）设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价（x-500）元，根据二月份的销售额比一月份多1万元，建立关于x的一元一次方程求解即可；
(2)设冰箱为y台， 根据销售额不多于7.6万元列出不等式即可；
(3)设总获利w元， 根据“利润=单价利润×销售量”列出关于w与y的函数关系式， 结合（2）中各方案获得的利润相同，得出y项的系数为0，依此构建方程求解即可.
36．为做好“垃圾分类”工作，某校计划采购甲、乙两种型号的垃圾箱.已知采购1个甲型箱和3个乙型箱共需220元；购买3个甲型箱和1个乙型箱共需260元.
（1）求甲乙两种垃圾箱的售价（元/个）；
（2）学校计划购买甲型箱和乙型箱共30个，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲型箱多少个？
【答案】（1）解：设甲型箱的售价为 元/个，乙型箱的售价为 元/个
依题意，得：
解得： .
答：甲型箱的售价为70元/个，乙型箱的价格为50元/个.
（2）解：设学校购买甲型箱 个，则购买乙型箱 个
依题意，得：
解得： .
∴最多可购买甲型箱5个
答：学校最多可购买甲型箱5个.
【解析】【分析】（1）设甲型箱的售价为 元/个，乙型箱的售价为 元/个，根据“采购1个甲型箱和3个乙型箱共需220元；购买3个甲型箱和1个乙型箱共需260元.”；列出方程组并求解即可；
（2）设学校购买甲型箱 个，则购买乙型箱 个，根据“ 购买甲、乙型箱的总总费用不超过1600元”列出不等式，求出其最大整数解即可.
37．某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元．
（1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？
（2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？
【答案】（1）解：设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元，
根据题意得 ，解得 ，
答：A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元；
（2）解：设购买A型手机a部，则购买B型手机（6﹣a）部，
根据题意得11200≤1800a+2200（6﹣a）≤11600
解得4≤a≤5
因为a为整数，
所以a=4或5，
所以有两种购买方案，即方案①：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案②：购买A型手机5部，购买B型手机1部；
（3）解：按方案①购买所需费用为：1800×4+2200×2=11600（元）
按方案②购买所需费用为：1800×5+2200=11200（元），
因此，按方案②购买更省，最少费用是11200元．
【解析】【分析】（1）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元，利用“销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元”可列二元一次方程组，然后解方程组即可；（2）设购买A型手机a部，则购买B型手机（6﹣a）部，利用“购手机费用不少于11200元且不多于11600元”列不等式组，然后求出不等式组的正整数解即可得到购买方案；（3）分别计算出（2）中各方案所需的费用，然后比较大小即可．
38．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）解：当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
【解析】【分析】（1）首先设出一次函数关系式，结合x的取值范围，利用待定系数法分别求出函数解析式即可；
（2）设获得的利润为w，结合x的取值范围分别求出函数解析式，根据函数的性质求出最大值即可。
39．在三角形纸片ABC中， ， ， ，点E在AC上， ．将三角形纸片ABC按图中方式折叠，使点A的对应点 落在AB的延长线上，折痕为ED， 交BC于点F．
（1）求 的度数；
（2）求BF的长度．
【答案】（1）解：由折叠的性质得： ，
，点 落在AB的延长线上，
，
，
由对顶角相等得： ；
（2）解： ，
，
在 中， ， ，
，
由（1）知， ，
是等边三角形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
则在 中， ．
【解析】【分析】（1） 由折叠的性质得： ， 再根据邻补角的定义可得，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据对顶角相等即可得；
（2）先根据线段的和差可得CE=1，再根据等边三角形的判定与性质可得EF=CE=1，然后根据折叠的性质可得 ， 从而得到，最后利用直角三角形的性质即可得。
40．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则.
例如：
试解决下列问题：
（1）填空：① （为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为 ；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数x的值.
【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5
（2）解：解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）解：∵x≥0，为整数，
设=k，k为整数，则x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，，.
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5，
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
【分析】（1）①根据定义的新运算可得＜π＞=3；
②根据定义的新运算可得2.5≤x-1＜3.5，求解可得x的范围；
（2）求解不等式组可得-1≤x＜＜a＞， 结合不等式组的整数解恰有3个可得1＜＜a＞≤2，求解可得a的范围；
（3）设x=k，k为整数，则x=k，由题意可得＜k＞=k，结合定义的新运算可得k-≤k＜k+，k≥0，求出k的范围，进而可得k的整数值，据此解答.
41．如图，在中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒
备用图1 备用图2
（1）若点P在上，且满足的周长为，则t的值为 ；
（2）若点P在的平分线上，求此时t的值；
（3）运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形.
【答案】（1）
（2）解：如图1，过P作于E，连接，
∵点P在的平分线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：当t为或5或或时，为等腰三角形.
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，
∴由勾股定理得，
如图，连接，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中根据勾股定理得，即，
解得，
故答案为：；
（3）解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时，
则，
解得；
如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时，
∴，
∴；
如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴；
如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形.
【分析】（1）利用勾股定理可得AC的值，连接BP，由周长的概念可得PC+BP的值，然后根据PC=AC-AP表示出PC，进而可得BP，接下来在Rt△BPC中，利用勾股定理求解即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，连接AP，由角平分线的性质可得CP=EP，然后根据S△ABC=S△ACP+S△ABP结合三角形的面积公式可求出CP的值，据此不难求出t的值；
（3）当点P在CA上，CP=CB，△BCP为等腰三角形，代入求解可得t的值；当点P在AB上，BP=BC=6cm，△BCP为等腰三角形时，AC+CB+BP=20cm，据此可得t的值；当点P在AB上，CP=CB=6cm，△BCP为等腰三角形时，过点C作CD⊥AB于D，根据等面积法可得CD，由勾股定理求出BD，然后求出PB的值，进而不难求出t的值；当点P在AB上，PC=PB，△BCP为等腰三角形时，过点P作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，根据S△ABC=S△ACP+S△CBP结合三角形的面积公式可求出PD的值，由勾股定理可得BP，据此不难求出t的值.
42．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线交点），点O在格点上
（1）画出将△ABC向右平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作三角形；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作三角形．
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C向右平移2个单位长度得到的对应点，首尾顺次连接即可得；（2）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到的对应点，首尾顺次连接即可得．
43．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，根据下列条件，求出∠BOC的度数．
（1）已知∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC= ．
（2）已知∠A=90°，求∠BOC的度数．
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．
【答案】（1）130
（2）解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=180-90=90 ，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＋∠OCB=90÷2=45 ，∴∠BOC=180-45=135 ；
（3）解：∠BOC=180-（∠OBC＋∠OCB）=180- （∠ABC+∠ACB）=180- （180-∠A）=180-90+ ∠A=90+ ∠A，即∠BOC=900+ ．
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∠ABC+∠ACB=100°，∴∠OBC＋∠OCB=50 ，∴∠BOC=180-50=130 ．
【分析】（1），根据角平分线的性质和三角形内角和为180 出答案
（2）、根据三角形内角和为180 容易求出∠ABC+∠ACB=180-90=90 ，再根据角平分线的性质可得到OBC＋∠OCB=90÷2=45 ，从而可求出结论
（3）、结合（1）和（2）的计算思路可推出结论
44．八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元．
（1）求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？
（2）学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元；
（2）解：设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件，由题意得，，
∴，
设总费用为w元，
由题意得，，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w最小，最小值为，
∴，
答：当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元．
【解析】【分析】
（1）根据等量关系“1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元”列出方程组求解即可；
（2）根据不等关系“文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量”列出不等式求出m的范围，再列出w关于m的一次函数关系式，最后利用一次函数的增减性求解即可．
（1）解：设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元；
（2）解：设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件，
由题意得，，
∴，
设总费用为w元，
由题意得，，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w最小，最小值为，
∴，
答：当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元．
45．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长．
【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，．
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴．
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）连接BC，先证明三角形ECD为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得CD=DE；
（2）利用“SAS”证明，可得，利用线段的和差求出CE的长，再利用勾股定理求出BE的长，最后求出即可。
46．若A、O、B三点共线，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）.
（1）如图1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE= °；
（2）如图2，将三角板 DOE 绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC 的 ；
（3）如图3，将三角板 DOE绕点O逆时针转动到使∠COD= ∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC 重合，求t的值.
【答案】（1）40
（2）角平分线
（3）解：设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，
∴5x=40，
∴x=8，
即∠COD=8°
∴∠BOD=58°
（4）解：如图，
分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
∴5t=140，
∴t=28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
∴5t=320，
∴ t=64.
所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合.
综上所述，t的值为28或64
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，
又∵∠BOC=50°，
∴∠COE=40°；
故答案为：40°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE= ∠COA，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的角平分线；
故答案为：角平分线；
【分析】（1）直接根据∠BOE=∠COE+∠COB=90°计算即可；
（2）根据角平分线的概念得出∠COE=∠AOE，根据等角的余角相等可推出∠COD=∠DOB，据此解答即可；
（3） 设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，然后由平角的知识可得5x=40，求出x的值，进而可得∠BOD的度数；
（4）分两种情况：①在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，则5t=140，求解即可；②当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，同理求解即可.
47．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．
（1）在图1中画出边长为 的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点 出发，经过跳马变换到达与其相对的格点 ，则最少需要跳马变换的次数是 次．
（3）如图3，在 的正方形网格中，一只电子小马从格点 经过若干次跳马变换到达与其相对的格点 ，则它跳过的最短路程为 ．
【答案】（1）解：如图1，
（2）4
（3）
【解析】【解答】解：（2）如图2，最少需要跳马变换的次数是4次.（3）如图3，
两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，
又∵ ，
(不是整数)，
按A-C-F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格， 此时S位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点T处，
从该正方形的顶点S经过跳马变换到达与其相对的顶点T，最少需要跳马变换的次数是14次，
∴它跳过的最短路程为
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形，使它的顶点在网格的格点上；（2）由图形得到最少需要跳马变换的次数是4次；（3）由勾股定理求出AF的值，两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，求出跳过的最短路程.
48．如图
（背景阅读）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（实践操作）
（1）请叙述勾股定理；
（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）
（3）（探索发现）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系并说明理由．
【答案】（1）解：勾股定理为：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；
（2）解：如图2
大正方形面积为：
小正方形面积为：
四个直角三角形面积之和为：
∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和
∴
∴ ，满足直角三角形勾股定理；
（3）3
（4）解：以a为直径的半圆面积为：
以b为直径的半圆面积为：
非阴影部分去除三角形后的面积为：
∵阴影部分面积（ + ）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积
∴
结合（1）的结论：
∴
∴ ．
【解析】【解答】（3）设面积为 的正方形边长为a，面积为 的正方形边长为b，面积为 的正方形边长为c；
根据题意得：
如图4：
， ，
∴ ；
如图5：
， ，
∵
∴ ；
如图6：
， ，
∵
∴ ；
∴三个图形中面积关系满足 的有3个
故答案为：3；
【分析】（1）根据勾股定理的概念解答；（2）参照课本中证明勾股定理的方法证明即可；（3）利用勾股定理的结论求解即可；（4）先求出三个半圆的面积，再利用割补法求解即可。
49．如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF.
（1）在图①中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；(不要求证明)
（2）将△DEF沿直线m向左平移到图②的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合 请证明你的猜想.
【答案】（1）解：AB=AE，AB⊥AE
（2）解：将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合），理由如下：
∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°，又∵AC=BC，DF=EF，∴∠DEF=∠D=45°，在△CEG中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE+∠DEF=90°
∴∠CGE=∠DEF=45°，∴CG=CE，在△BCG和△ACE中，∵BC=AC，∠ACB=∠ACE，CG=CE，∴△BCG≌△ACE（SAS），∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合）
【解析】【分析】（1）根据已知可证得AC=BC=DF=CE，AB⊥AE，就可证得△ABC和△DEF是等腰直角三角形，即可证得结论。
（2）利用（1）中的结论可证得△CEG是等腰直角三角形，得出CG=CE，再利用SAS证明△BCG≌△ACE，即可证得结论。
50．列方程解应用题：
七年级1班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
（1）求每个书包和每本词典的价格；
（2）若该班计划用900元购买40份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了 个书包，请写出余下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？
【答案】（1）解：设每个书包价格为 元，则每本词典价格为 元，
根据题意得 ，
解得 ，
则 （元 ，
答：每个书包价格为28元，每本词典价格为20元
（2）解：设购买书包 个，则购买词典 个，
余下的钱为
，
由题意知 ，即 ，
当 时， 为最小的正整数4，
答：购买方案为购买书包12个，词典28本.
【解析】【分析】 (1) 设每个书包价格为元, 则每本词典价格为(x-8)元，根据用124元恰好可以买到3个书包和2本词典, 列方程求解；
(2) 设购买书包m个，则购买词典( 40-m)个, 根据"余下的钱最少"列不等式求解即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
