函数图像的动点问题常见题型 模型练 2025年中考数学二轮复习备考

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函数图像的动点问题常见题型 模型练
2025年中考数学二轮复习备考
一、单选题
1．如图1，点在上方运动，且，垂直平分，分别交，于点，，连接，设，，图2是随变化的关系图象，则的长为（ ）

A．18 B． C．6 D．
2．如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
3．如图①，在正方形中，为的中点，动点从点出发沿方向匀速运动，运动到点停止，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接和，设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图②所示，则正方形的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
7．如图，在中，，，．将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，则与的函数关系所对应的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20
9．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
10．如图1，在中，于点D（）．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．13
二、填空题
11．正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为 ．
12．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ．
13．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ．
三、解答题
14．如图1，在长方形中，，E为边中点．动点P从点B开始，以的速度沿路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)____________；点M表示的实际意义是________________________；
(2)当点P在上运动时，求的面积为时t的值；
(3)如图3，当点P从点B出发时，动点Q同时以的速度从C点出发，沿边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点停止运动．当x为何值时，与全等，请直接写出x的值．
15．如图1，在长方形中，为边上一点，其中，．动点从开始，以的速度沿路线运动，然后改变速度后再沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)当动点沿路线运动时，求此时点的速度；
(3)点出发几秒时，的面积是长方形面积的？
16．如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作交于点，过作交于点．设运动时间为秒．四边形的面积为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
17．如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程与行驶的时间之间的函数图象如图②所示．
(1)分别求出、与x之间的函数解析式；
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值：
(3)直接写出当甲、乙两人相距时x的值．
参考答案
1．C
本题考查了动点问题的函数图象．当时，，，，，在中，利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求出．
解：垂直平分，
，
由图得，时，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
．
故选：C．
2．C
首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解．
解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为，
∵点P运动的速度为，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴， ， ，
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：，
∴点P从点A运动到点C所用的时间为：，
∴；
分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：
由图②可知：，
∴，
即：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，， ，
由勾股定理的：，
∴点P从点C运动到点A所用的时间为：，
∴，
3．B
本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
证明，得出，由图②得，当时，，即当时，，根据三角形面积公式求出即可求出边长．
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
由图②得，当时，，
即当点时，，
设正方形边长为，
，
为中点，
，，
，即，
，（舍去），
．
故选：B．
4．B
根据图象的信息，得当P在上运动时，此时C与Q重合，根据矩形的性质，得，根据图象信息，得当时，即，当时，即，
利用勾股定理，矩形的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，图象信息处理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
解：根据图象的信息，得当P在上运动时，此时C与Q重合，
根据矩形的性质，得，
根据图象信息，得当时，即，
当时，即，
解得，
故
又，
故．
解得，
故选B．
5．C
解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，
由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，
∴，0到4秒后点P从点B运动到点C，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
由图象可知：当时，S等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得，最后由勾股定理可得结论．
解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
∵点D是BC的中点，
∴，
当时，面积发生转折，此时点P和点A重合，
∴，
在中，，，，
由勾股定理可得，．
故选：D．
7．A
题目主要考查动点问题的函数图象，三角形折叠问题及勾股定理解三角形，根据四个选项得出，确定，结合选项即可求解，根据选项得出相应的结论是解题关键．
解：根据题意得，当点P运动到与点B重合时，的面积最大，由四个选项得，此时面积为15，运动路程，如图所示：
由折叠得：，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点P运动到点D时，总路程为：，此时的面积为0，
四个选项中只有选项A符合题意，
故选：A．
8．D
本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可．
解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意；
当时，点P在中点处，如图，
此时的面积是面积的一半，
作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，故D错误，符合题意．
故选：D．
9．C
本题主要考查了动点图象问题，等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解决此题的关键，从图2看，，，过点作交于点，在中，利用勾股定理得到，当点在点处时，，解出，进而代入四边形的周长计算即可得解．
解：从图2来看，
，，
如图，过点作交于点，则，
，，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
在中，
，
当点在点处时，
解得（负值已舍），
则四边形的周长是
，
故选：C．
10．A
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出和点M和点B重合时，的面积为3是解本题的关键．
先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点B重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可．
解：由图2知， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，①，
设点M到的距离为h，
∴，
∵动点M从A点出发，沿折线方向运动，
∴当点M运动到点B时，的面积最大，即，
由图2知，的面积最大为3，
∴，
∴②，
得，，
∴，
∴（负值舍去），
∴③，
将③代入②得，，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
11．/
根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解．
解：根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，
等边
是正方形，
，，
，则，
．
．
故答案为：．
12．4
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答．
解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，

∴，
∴在中，，
即．
故答案为：4
13．5
本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
解：由图象可知，面积的最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
14．(1)9；点P运动到点D时，的面积为
(2)
(3)或3
本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式．
（1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可；
（2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可；
（3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解；
（1）解：∵，E为边中点，
∴，
根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值，
∴，
的最大面积为：，
点P从点B运动到点D所用时间为：，
即点P运动时，到达点D，
当点P在点上运动时，的面积保持不变，从点D向点A运动时，的面积逐渐减小，
图2中点M表示的坐标为，
∴点M表示的实际意义是：点P运动到点D时，的面积为．
（2）解：∵，点P在上运动，的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴当与全等时，有两种情况，
①时，，
∴，
解得：；
②时，，
∴，
解得：；
综上分析可知：当或时，与全等．
15．(1)，12，72
(2)
(3)秒或秒
（1）解：依题意得，当点P在上运动时，，
∵
∴，
解得：；
根据图2可得，，
∴
当时，点在上，
∴，
故答案为：，12，72．
（2）解：∵从到的运动时间为
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
综上所述，当点P出发秒或秒时，的面积是长方形面积的．
16．(1)，
(2)见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小
(3)
（1）解：如图，过点作于点H，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
为过点，过点，
函数图象如图所示：
则函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小；
（3）解：令，即，
解得：，（负值舍去），
则，的图象交点的横坐标为，
由函数图象可得，当时，的取值范围为．
17．(1)，
(2)4
(3)3小时或5小时或7小时
（1）解：设，，
把点代入得：
，
解得，
将代入，得：
，
解得：，
∴，；
（2）解：联立得：，
解得，
∴甲、乙两人相遇时，x的值为4；
（3）解：分两种情况：
甲到达C地之前，根据题意，得，
即，
解得或，
甲到达C地后，乙还需要2小时才到达C，
∴，
解得：，
故乙出发3小时或5小时或7小时，和甲相距．
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