平行四边形的定义、表示方法
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，记作 ，读作“平行四边形ABCD”．
平行四边形的定义既是性质，也是判定．平行四边形通常用“ ”表示．平行四边形的表示方法的字母一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次表示各个顶点．
平行四边形的性质
1．边：平行四边形的 相等且平行．
2．角：平行四边形的 相等，邻角
3．对角线：平行四边形的对角线 ．
在平行四边形问题中常作对角线化四边形问题为三角形问题；或在对角线交点两侧构造全等三角形作为问题的突破点．
夹在平行线间的平行线段、垂线段的性质
1．夹在两条平行直线间的平行线段 ．
2．如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的 ．
平行四边形的对角线的几个结论
1．平行四边形的每条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形．
2．平行四边形中，两条对角线分得的四个三角形的面积相等．
3．过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积．
平行四边形的定义
典例1 如图所示，平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形的个数为( )
典例1图
A．9 B．8 C．6 D．4
变式 如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE交于点H，BG与CF交于点I，则图中平行四边形有( )
变式图
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
平行四边形边的性质
典例2 [2023·福建]如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为 .
典例2图
变式 [2024·西安期中]如图所示，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则CF的长是( )
变式图
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
平行四边形角的性质
典例3 [2024·济宁期中]若平行四边形中两个内角的度数比为4∶5，则其中较小内角的度数是( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
变式 [2024·济南期中]如图，在 ABCD中，∠D＝66°，∠ACB＝36°，则∠BAC的度数为( )
变式图
A．72° B．74° C．76° D．78°
平行四边形对角线的性质
典例4 [2024·德州期中]在 ABCD中，AC，BD交于点O，且AC＋BD＝10，BC＝4，则△AOD的周长为( )
A．14 B．12 C．9 D．7
变式 [2024·泰安期末]如果平行四边形一边长为10 cm，那么它的两条对角线的长度可以是( )
A．6 cm，8 cm B．6 cm，10 cm
C．8 cm，12 cm D．20 cm，30 cm
平行四边形探究创新类
典例5 如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72 cm2，AD＝12 cm.沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为( )
典例5图
A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．28 cm
变式 如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E，且长度为5公里，路线2是B C F E，求路线2的长度．
变式图
1．[2023·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数是( )
第1题图
A．130° B．115°
C．65° D．50°
2．[2024·泰安期末]如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于( )
第2题图
A．3 B．4 C．5 D．6
3．[2023·聊城期中]平行四边形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，交点为点O，则边AB的取值范围为( )
A．1
C．44．[2024·临沂期中]如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝12，若△COB的周长为11，则AD＝ ．
第4题图
5．[2024·滨州期中]如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.
第5题图平行四边形的定义、表示方法
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
平行四边形的定义既是性质，也是判定．平行四边形通常用“ ”表示．平行四边形的表示方法的字母一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次表示各个顶点．
平行四边形的性质
1．边：平行四边形的对边相等且平行．
2．角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
3．对角线：平行四边形的对角线互相平分．
在平行四边形问题中常作对角线化四边形问题为三角形问题；或在对角线交点两侧构造全等三角形作为问题的突破点．
夹在平行线间的平行线段、垂线段的性质
1．夹在两条平行直线间的平行线段相等．
2．如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等．
平行四边形的对角线的几个结论
1．平行四边形的每条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形．
2．平行四边形中，两条对角线分得的四个三角形的面积相等．
3．过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积．
平行四边形的定义
典例1 如图所示，平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形的个数为( A )
典例1图
A．9 B．8 C．6 D．4
根据平行四边形的定义和题意，即可得出答案．
变式 如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE交于点H，BG与CF交于点I，则图中平行四边形有( B )
变式图
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
平行四边形边的性质
典例2 [2023·福建]如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为10.
典例2图
由平行四边形的性质及三角形全等可得出CF＝AE.
变式 [2024·西安期中]如图所示，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则CF的长是( B )
变式图
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
平行四边形角的性质
典例3 [2024·济宁期中]若平行四边形中两个内角的度数比为4∶5，则其中较小内角的度数是( C )
A．40° B．60° C．80° D．100°
首先设平行四边形中两个内角分别为4x，5x，由平行四边形的邻角互补，即可得4x＋5x＝180°，继而求得答案．
变式 [2024·济南期中]如图，在 ABCD中，∠D＝66°，∠ACB＝36°，则∠BAC的度数为( D )
变式图
A．72° B．74° C．76° D．78°
平行四边形对角线的性质
典例4 [2024·德州期中]在 ABCD中，AC，BD交于点O，且AC＋BD＝10，BC＝4，则△AOD的周长为( C )
A．14 B．12 C．9 D．7
根据平行四边形的性质可得：OA＋OD＝(AC＋BD)＝5，AD＝BC＝4，则△AOD的周长为5＋4＝9.
变式 [2024·泰安期末]如果平行四边形一边长为10 cm，那么它的两条对角线的长度可以是( D )
A．6 cm，8 cm B．6 cm，10 cm
C．8 cm，12 cm D．20 cm，30 cm
平行四边形探究创新类
典例5 如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72 cm2，AD＝12 cm.沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为( A )
典例5图
A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．28 cm
由题意可得图2中的对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形AD边上的高相等，进而利用面积与边的关系求出AD边的高即可．
变式 如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E，且长度为5公里，路线2是B C F E，求路线2的长度．
变式图
解：延长FD交AB于点G，
变式图
∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝CB.
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，FD＝AD，∠FDE＝∠ADE，
∵AB∥CD，
∴∠ADE＝∠DAG，∠FDE＝∠DGA，
∴∠DAG＝∠DGA，
∴AD＝DG，
∴AD＝FD＝BC.
∵DF∥CB，∴∠FDC＝∠BCD.
在△FDC和△BCD中，
∴△FDC≌△BCD(SAS)，
∴FC＝BD.
∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5(公里)．
1．[2023·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数是( B )
第1题图
A．130° B．115°
C．65° D．50°
2．[2024·泰安期末]如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于( C )
第2题图
A．3 B．4 C．5 D．6
3．[2023·聊城期中]平行四边形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，交点为点O，则边AB的取值范围为( B )
A．1C．44．[2024·临沂期中]如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝12，若△COB的周长为11，则AD＝5．
第4题图
5．[2024·滨州期中]如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.
第5题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE＝DF.