平行四边形的判定定理
1．定理1：一组对边 且 的四边形是平行四边形．
2．定理2：两组对边分别 的四边形是平行四边形．
3．两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)．
4．定理3：对角线 的四边形是平行四边形．
5．两组对角分别 的四边形是平行四边形．(填空、选择可直接用)
(1)平行四边形的判定方法有多种，应根据条件选择适当的方法；(2)“平行且相等”用符号“綊”表示．
巧选平行四边形的证明思路
已知条件 证明思路
一组对边相等 另一组对边也相等②相等的边也平行
一组对边平行 另一组对边也平行②平行的边也相等
一组对角相等 另一组对角也相等
对角线相交 对角线互相平分
平行四边形判定方法的选用
典例1 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．
典例1图
变式1 [2024·乐山]下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥CD，AD＝BC
变式2 [2024·济宁]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
变式2图
平行四边形的性质与判定的综合应用
典例2 如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F，猜想线段AF，CE的关系，并说明理由．
典例2图
变式 [2024·济南期中]如图， ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF.
(1)求证：∠DAE＝∠BCF；
(2)连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
变式图
平行四边形中的运动问题
典例3 [2024·德州期中]如图，在 ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4 cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)．设运动t(s)(其中t>0)时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为( )
典例3图
A．4.8
B．8或9.6
C．4.8或8
D．4.8或8或9.6
变式 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
变式图
1．[2024·泸州期中]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( )
第1题图
A．AB＝DC
B．∠1＝∠2
C．AD＝BC
D．∠D＋∠BCD＝180°
2．[2023·聊城期中]如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
第2题图
A．∠D＝∠5
B．AD＝BC
C．∠3＝∠4
D．∠B＝∠D
3．[2023·青岛期末]如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN
②∠FAN＝∠CDM ③AM＝DN ④∠AMB＝∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是( )
第3题图
A．①②④ B．①③④
C．①②③④ D．①④
4．如图，在等边△ABC中，AB＝5 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t＝ s时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形．
第4题图
5．[2024·武汉]如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌CDF；
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)
第5题图平行四边形的判定定理
1．定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3．两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)．
4．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(填空、选择可直接用)
(1)平行四边形的判定方法有多种，应根据条件选择适当的方法；(2)“平行且相等”用符号“綊”表示．
巧选平行四边形的证明思路
已知条件 证明思路
一组对边相等 另一组对边也相等②相等的边也平行
一组对边平行 另一组对边也平行②平行的边也相等
一组对角相等 另一组对角也相等
对角线相交 对角线互相平分
平行四边形判定方法的选用
典例1 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．
典例1图
(1)根据题目的条件，选取判定平行四边形的判定定理即可；(2)利用三角形的面积解答即可．
解：(1)证明：(方法一：一组对边平行且相等)
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴CF∥BE，∠CFD＝∠BED＝90°.
又∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴CF＝BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
(方法二：对角线互相平分)
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°.
∵DC＝DB，∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴DF＝DE，
∴四边形BECF是平行四边形．
(方法三：两组对边分别平行)．
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴CF∥BE，∠CFD＝∠BED＝90°.
∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴DF＝DE，
∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴∠FBD＝∠ECD，∴BF∥CE，
∴四边形BECF是平行四边形．
(方法四：两组对边分别相等)
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°.
∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE(AAS)，
∴CF＝BE，∠FCD＝∠EBD，
∵BC＝CB，
∴△BCF≌△CBE(SAS)，
∴BF＝CE.
∴四边形BECF是平行四边形；
(2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC.
变式1 [2024·乐山]下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥CD，AD＝BC
变式2 [2024·济宁]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件AD∥BC(答案不唯一)，使四边形ABCD是平行四边形．
变式2图
平行四边形的性质与判定的综合应用
典例2 如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F，猜想线段AF，CE的关系，并说明理由．
典例2图
先证明四边形AFCE是平行四边形，从而推出AF，CE的关系．
解：AF＝CF且AF∥CE，理由如下：
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE且AF∥CE(平行四边形的对边相等且平行)．
变式 [2024·济南期中]如图， ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF.
(1)求证：∠DAE＝∠BCF；
(2)连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
变式图
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DCF，
∠DAB－∠BAE＝∠DCB－∠DCF，
即∠DAE＝∠BCF；
(2)连接AF，CE.
变式图
由(1)得，△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
平行四边形中的运动问题
典例3 [2024·德州期中]如图，在 ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4 cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)．设运动t(s)(其中t>0)时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为( D )
典例3图
A．4.8
B．8或9.6
C．4.8或8
D．4.8或8或9.6
根据题意，分四种情况讨论：(1)点Q运动路线是C－B；(2)点Q运动路线是C－B－C；(3)点Q运动路线是C－B－C－B；(4)点Q运动路线是C－B－C－B－C，分别求解即可．
变式 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发2或3秒后其中一个新四边形为平行四边形．
变式图
1．[2024·泸州期中]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( C )
第1题图
A．AB＝DC
B．∠1＝∠2
C．AD＝BC
D．∠D＋∠BCD＝180°
2．[2023·聊城期中]如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B )
第2题图
A．∠D＝∠5
B．AD＝BC
C．∠3＝∠4
D．∠B＝∠D
3．[2023·青岛期末]如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN
②∠FAN＝∠CDM ③AM＝DN ④∠AMB＝∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是( A )
第3题图
A．①②④ B．①③④
C．①②③④ D．①④
4．如图，在等边△ABC中，AB＝5 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t＝或5s时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形．
第4题图
5．[2024·武汉]如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌CDF；
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)
第5题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)添加AF＝BE(答案不唯一)．
如图所示，连接EF.
第5题图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF＝BE时，四边形ABEF是平行四边形．
