矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形在小学阶段我们叫做长方形．
矩形的性质
1．边：对边平行且相等．
2．角：矩形的四个角都是直角．
3．对角线：矩形的对角线相等且互相平分．
4．对称性：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对边中点所在的直线是它的对称轴．
矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形．
直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形．
直角三角形斜边上的中线是常作辅助线之一．
矩形的判定
1．角：①有三个角是直角的四边形是矩形．②有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的性质
典例1 [2024·宿迁期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
变式 [2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( C )
变式图
A．6 B．5 C．4 D．3
利用矩形的性质求线段的长度
典例2 [2024·鄂伦春自治旗期末]如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( A )
典例2图
A．4 B．5 C．8 D．10
连接OP，由矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，S△COD＝S矩形ABCD＝10，结合S△COD＝S△POC＋S△DOP＝OD·FP＋OC·PE＝×5×(PE＋PF)，计算即可得出答案．
变式 [2023·苏州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( C )
变式图
A．一直增大 B．不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
利用矩形的性质求角的度数
典例3 [2023·潍坊期末]如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5，则∠DAF的度数是( C )
典例3图
A．20° B．30°
C．40° D．45°
根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，由折叠得∠DAE＝∠FAE，设∠EAF＝2x，则∠BAF＝5x，得到9x＝90°，求出x＝10°，即可求出∠DAF的度数．
变式 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
变式图
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴BE＝AB，∠OAB＝∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝60°，
∴∠OBE＝30°，OB＝BE，
∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°.
直角三角形的性质定理2
典例4 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点．
求证：MN⊥EF.
典例4图
找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰三角形FME，即可解答．
证明：连接ME，MF.
典例4图
∵BE，CF是高，
∴△BFC与△BEC为直角三角形，
又∵点M为BC的中点，
∴ME＝BC，MF＝BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
∴ME＝MF.
又∵N为EF中点，
∴MN⊥EF.
变式 如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC且与BC的延长线相交于点F.求证：DF＝CE.
变式图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CD＝DE，
∵EF⊥BC，
∴DF＝CE.
矩形的判定
典例5 [2024·淮南期中]如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE交BC于点O，∠A＝∠BOD.求证：四边形BECD是矩形．
典例5图
先证明四边形BECD为平行四边形，再证明BC＝ED即可得到结论．
证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
则BE∥CD.
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC.
∴四边形BECD为平行四边形，
∴OB＝OC，OD＝OE.
∵AD∥BC，∴∠A＝∠OBE.
又∵∠A＝∠BOD，
∴∠BOD＝2∠A，
又∵∠BOD＝∠OBE＋∠OEB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴OB＝OE，
∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
变式 [2023·常州期中]如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论．
变式图
解：(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)；
(2)当AC＝BC时，四边形ADCF是矩形，证明如下：
由(1)已证：△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DB，∴CF＝DB，
∵CF∥AB，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴四边形ADCF是矩形．
1．[2024·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( C )
第1题图
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
2．[2024·贵阳期末]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5，OE⊥BD，△DOE的面积为，则DE的长为( B )
第2题图
A．5 B．6 C．7 D.
3．[2024·沙坪坝期中]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OAD＝55°，则∠ODC＝35°．
第3题图
4．[2024·德州期中]如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝40°．
第4题图
5．[2023·江门期中节选]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E.连接CE.
求证：四边形ADCE是矩形．
第5题图
证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B＋∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∵F为AC的中点，
∴AF＝FC，
在△AFE和△CFD中，
∴△AFE≌△CFD(AAS)，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．正方形的定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
这既是正方形的定义又是它的判定方法．
正方形的性质
1．边：两组对边分别平行，四条边都相等．
2．角：四个角都是直角．
3．对角线：对角线互相平分、垂直且相等，并且每条对角线平分一组对角．
4．对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴．
正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
正方形的判定
1．边：一组邻边相等的矩形是正方形．
2．角：有一个角是直角的菱形是正方形．
3．对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
正方形的性质
典例1 [2024·重庆模拟]正方形具备而矩形不具备的性质是( A )
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
根据正方形和矩形的性质，即可求解．
变式 [2024·厦门期末]如图，四边形ABCD是正方形，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，E是边AD的中点，F是边AB的中点，点G在边BC上，且BG变式图
A．点G B．点F C．点C D．点D
与正方形的性质有关的计算
典例2 [2023春·鱼台期中]如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，若正方形ABCD周长为8，则EF＋EG等于( D )
典例2图
A．16 B．8 C．4 D．2
只要证明EF＝AF，EG＝BF即可解决问题．
变式1 [2024·石家庄一模]如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：
第一步：剪去矩形纸条AEFD；
第二步：从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH.
若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为( A )
变式1图
A．30 cm B．15 cm C．16 cm D．90 cm
变式2 [2024·宝鸡一模]如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，连接CE交对角线BD于点F，连接AF.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为( C )
变式2图
A．80° B．75° C．65° D．70°
正方形的判定
典例3 [2023春·任城期中]如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF为正方形．
典例3图
利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形．
证明：过点D作DN⊥AB于点N，
典例3图
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴四边形FCED是正方形．
变式 [2023·青岛模拟]如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.
(1)求证：DE＝DF；
(2)当∠A＝90°时，求证：四边形AFDE为正方形．
变式图
证明：(1)∵点D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE＝DF；
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°，
∴四边形AFDE是矩形，
∵DE＝DF，
∴矩形AFDE是正方形．
1．[2024·淄博期中]正方形具有而菱形不具有的性质是( B )
A．对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
2．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断不正确的是( D )
第2题图
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AE＝AF，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
3．[2023·怀化]如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为3．
第3题图
4．[2024·淄博期中]如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为67.5°.
第4题图
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝a.求四边形ABCD的面积．
第5题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC(三线合一)，
即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，
由(1)知，EO⊥AC，AO＝OC，
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°，
∵ ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2.菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
这既是菱形的定义，又是菱形的判定方法．
菱形的性质定理
1．定理1：菱形的四条边都相等．
2．定理2：菱形的两条对角线互相垂直．
菱形的性质归纳：
边：对边平行，四条边相等．
角：对角相等，邻角互补．
对角线：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线是它的对称轴．
菱形的判定
1．边：①四条边相等的四边形是菱形．
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
在菱形的判定中，如果给出的条件是四边形，可利用①④，如果条件给出的是平行四边形，可以利用②③.
菱形的面积
公式1：菱形的面积＝底×高．
公式2：菱形的面积＝对角线乘积的一半．
利用菱形的性质求角度
典例1 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是( B )
典例1图
A．α B．2α
C．90°－α D．90°－2α
由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAB的度数．
变式 [2024·西安期末]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝( D )
变式图
A．95° B．105°
C．100° D．110°
利用菱形的性质求线段长
典例2 [2023春·文登期中]如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( B )
典例2图
A．逐渐增加 B．恒等于4
C．先减小再增加 D．恒等于2
证明△ABE≌△DBF(ASA)，可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE＋CF＝AB，是一定值，可作判断．
变式 [2024·德州期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( B )
变式图
A．4 B．4.5 C．6 D．9
利用菱形的性质证明
典例3 [2023春·历下期末]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，连接AE，AF.
求证：AE＝AF.
典例3图
根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF.
变式 [2024·济南三模]如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝CF，连接DE，DF.求证：∠AFD＝∠CED.
变式图
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AE＝CF，
∴AC－AE＝AC－CF，即CE＝AF，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠AFD＝∠CED.
菱形的判定
典例4 [2024·娄底一模]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE.求证：四边形AFCE是菱形．
典例4图
连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再证明EO＝FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
证明：如图，连接AC交BD于点O，
典例4图
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，
即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AFCE是菱形．
变式 [岳阳中考]如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2
②DE＝DF ③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
(1)你添加的条件是 ；(填序号)
(2)添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
变式图
解：(1)添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4，
故答案为：①或③；
(2)证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形；
添加③，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形．
菱形的性质与判定的综合
典例5 [2024·呼伦贝尔]如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
典例5图
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)证明△ABE是等边三角形，求出AB可得结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO＝FO，
∴△AOF≌△EOB(AAS)，
∴BE＝FA，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE＝1，
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为22－2＝20，
∴AB＝20÷4＝5，
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BAE＝∠BAD＝×120°＝60°，
又∵AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝5.
变式 [2024·雅安]如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
变式图
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED＝∠OFB，
∵点O是 ABCD对角线的交点，
∴OD＝OB，
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF(AAS)；
(2)连接BE，OF，由(1)知，
△ODE≌△OBF，
变式图
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ BEDF是菱形，
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm，
∴DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm)，
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
1．[2023·聊城期中]矩形具有而菱形不一定具有的性质是( B )
A．对角相等 B．对角线相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．[2024·济宁期中]下列条件：①一组对边平行且相等 ②对角线互相平分 ③对角线互相垂直 ④对角线相等 ⑤一组邻边相等 ⑥一个角为直角．从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为( B )
A．①② B．①③ C．②④ D．②⑥
3．[2024·济南期中]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长为( A )
第3题图
A．16 B．8 C．12 D．10
4．[2023·绍兴期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝128°，P是对角线AC，BD的交点，点E在CB的延长线上，且PE＝PA.则∠APE＝52度．
第4题图
5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC＝6，AB＝10，求菱形ADCF的面积．
第5题图
解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴AF＝DB＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC·AB＝×6×10＝30，
∴S△ADC＝S△ABC＝15，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝30.菱形的定义
有一组邻边 的平行四边形叫做菱形．
这既是菱形的定义，又是菱形的判定方法．
菱形的性质定理
1．定理1：菱形的四条边都 ．
2．定理2：菱形的两条对角线 ．
菱形的性质归纳：
边：对边平行，四条边相等．
角：对角相等，邻角互补．
对角线：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线是它的对称轴．
菱形的判定
1．边：①四条边 的四边形是菱形．
②有一组邻边 的平行四边形是菱形．
2．对角线：③对角线互相 的平行四边形是菱形．
④对角线 且 的四边形是菱形．
在菱形的判定中，如果给出的条件是四边形，可利用①④，如果条件给出的是平行四边形，可以利用②③.
菱形的面积
公式1：菱形的面积＝底×高．
公式2：菱形的面积＝对角线乘积的一半．
利用菱形的性质求角度
典例1 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是( )
典例1图
A．α B．2α
C．90°－α D．90°－2α
变式 [2024·西安期末]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝( )
变式图
A．95° B．105°
C．100° D．110°
利用菱形的性质求线段长
典例2 [2023春·文登期中]如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE＋CF的长度( )
典例2图
A．逐渐增加 B．恒等于4
C．先减小再增加 D．恒等于2
变式 [2024·德州期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( )
变式图
A．4 B．4.5 C．6 D．9
利用菱形的性质证明
典例3 [2023春·历下期末]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，连接AE，AF.
求证：AE＝AF.
典例3图
变式 [2024·济南三模]如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝CF，连接DE，DF.求证：∠AFD＝∠CED.
变式图
菱形的判定
典例4 [2024·娄底一模]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE.求证：四边形AFCE是菱形．
典例4图
变式 [岳阳中考]如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2
②DE＝DF ③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形．
(1)你添加的条件是 ；(填序号)
(2)添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
变式图
菱形的性质与判定的综合
典例5 [2024·呼伦贝尔]如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
典例5图
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
变式 [2024·雅安]如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
变式图
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
1．[2023·聊城期中]矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角相等 B．对角线相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．[2024·济宁期中]下列条件：①一组对边平行且相等 ②对角线互相平分 ③对角线互相垂直 ④对角线相等 ⑤一组邻边相等 ⑥一个角为直角．从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为( )
A．①② B．①③ C．②④ D．②⑥
3．[2024·济南期中]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长为( )
第3题图
A．16 B．8 C．12 D．10
4．[2023·绍兴期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝128°，P是对角线AC，BD的交点，点E在CB的延长线上，且PE＝PA.则∠APE＝ 度．
第4题图
5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC＝6，AB＝10，求菱形ADCF的面积．
第5题图正方形的定义
有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形．
这既是正方形的定义又是它的判定方法．
正方形的性质
1．边： 平行， 相等．
2．角：四个角都是 ．
3．对角线：对角线互相 、 且 ，并且每条对角线平分一组对角．
4．对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴．
正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
正方形的判定
1．边：一组邻边相等的 是正方形．
2．角：有一个角是直角的 是正方形．
3．对角线：对角线 的矩形是正方形．
对角线 的菱形是正方形．
正方形的性质
典例1 [2024·重庆模拟]正方形具备而矩形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
根据正方形和矩形的性质，即可求解．
变式 [2024·厦门期末]如图，四边形ABCD是正方形，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，E是边AD的中点，F是边AB的中点，点G在边BC上，且BG变式图
A．点G B．点F C．点C D．点D
与正方形的性质有关的计算
典例2 [2023春·鱼台期中]如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，若正方形ABCD周长为8，则EF＋EG等于( )
典例2图
A．16 B．8 C．4 D．2
只要证明EF＝AF，EG＝BF即可解决问题．
变式1 [2024·石家庄一模]如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：
第一步：剪去矩形纸条AEFD；
第二步：从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH.
若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为( )
变式1图
A．30 cm B．15 cm C．16 cm D．90 cm
变式2 [2024·宝鸡一模]如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，连接CE交对角线BD于点F，连接AF.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为( )
变式2图
A．80° B．75° C．65° D．70°
正方形的判定
典例3 [2023春·任城期中]如图所示，△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF为正方形．
典例3图
变式 [2023·青岛模拟]如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.
(1)求证：DE＝DF；
(2)当∠A＝90°时，求证：四边形AFDE为正方形．
变式图
1．[2024·淄博期中]正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
2．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断不正确的是( )
第2题图
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AE＝AF，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
3．[2023·怀化]如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为 ．
第3题图
4．[2024·淄博期中]如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为 °.
第4题图
5．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，AB＝a.求四边形ABCD的面积．
第5题图矩形的定义
有一个角是 的平行四边形叫做矩形．
矩形在小学阶段我们叫做长方形．
矩形的性质
1．边：对边平行且相等．
2．角：矩形的四个角都是 ．
3．对角线：矩形的对角线 且 ．
4．对称性：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对边中点所在的直线是它的对称轴．
矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形．
直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于 ．
直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形．
直角三角形斜边上的中线是常作辅助线之一．
矩形的判定
1．角：①有三个角是 的四边形是矩形．②有一个角是 的 是矩形．
2．对角线：对角线 的平行四边形是矩形．
矩形的性质
典例1 [2024·宿迁期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
变式 [2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为( )
变式图
A．6 B．5 C．4 D．3
利用矩形的性质求线段的长度
典例2 [2024·鄂伦春自治旗期末]如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( )
典例2图
A．4 B．5 C．8 D．10
变式 [2023·苏州]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )
变式图
A．一直增大 B．不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
利用矩形的性质求角的度数
典例3 [2023·潍坊期末]如图，在矩形纸片ABCD中，把∠D沿直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处．已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5，则∠DAF的度数是( )
典例3图
A．20° B．30°
C．40° D．45°
变式 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，已知∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
变式图
直角三角形的性质定理2
典例4 如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点．
求证：MN⊥EF.
典例4图
变式 如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC且与BC的延长线相交于点F.求证：DF＝CE.
变式图
矩形的判定
典例5 [2024·淮南期中]如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE交BC于点O，∠A＝∠BOD.求证：四边形BECD是矩形．
典例5图
变式 [2023·常州期中]如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论．
变式图
1．[2024·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
第1题图
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
2．[2024·贵阳期末]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5，OE⊥BD，△DOE的面积为，则DE的长为( )
第2题图
A．5 B．6 C．7 D.
3．[2024·沙坪坝期中]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OAD＝55°，则∠ODC＝ ．
第3题图
4．[2024·德州期中]如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝ ．
第4题图
5．[2023·江门期中节选]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E.连接CE.
求证：四边形ADCE是矩形．
第5题图
