三角形的中位线的定义
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
(1)三角形的中位线是线段；(2)一个三角形有三条中位线．
三角形的中位线性质定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
在三角形问题中，已知某条边的中点，常考虑作过该中点的三角形中位线，利用中位线定理解决问题．
中点四边形(拓展)
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
原四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对角线关系 — 互相平分 相等 垂直 相等且垂直
中点四边形 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形
与三角形中位线有关的计算
典例1 如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为( D )
典例1图
A．3 B．2.5 C．1.5 D．1
延长CF交AB于点H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF＝BH.
变式1 [2024·达州模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是( B )
变式1图
A．2 B．3
C．4 D．5
变式2 如图所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是( D )
变式2图
A．50° B．40°
C．30° D．20°
变式3 [2024·徐州期中]如图，点D，E，F是△ABC各边的中点，CH⊥AB，垂足为H，若∠EHF＝85°，则∠FDE＝85°.
变式3图
构造三角形中位线进行证明
典例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是两条对角线BD，AC的中点．求证：MN＝(BC－AD)．
典例2图
连接AM并延长交BC于点E，根据四边形ABCD是梯形，得出AD∥BC，可证明△AMD≌△EMB，再利用M，N分别是AE，AC的中点，证明MN为△AEC的中位线即可．
证明：连接AM并延长交BC于点E，
典例2图
∵AD∥BC，
∴∠MAD＝∠MEB，∠MDA＝∠MBE，
又∵M为BD的中点，
∴MD＝MB，
∴△AMD≌△EMB(AAS)，
∴AD＝BE，AM＝ME.
∴M为AE中点，
∵N为AC中点，
∴MN为△AEC的中位线，
∴MN＝EC＝(BC－BE)＝(BC－AD)．
变式 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是四边形ABCD边AD，BC的中点，EF分别交AC，BD于点G，H.
求证：∠OGH＝∠OHG.
变式图
解：取DC边的中点M，连接EM，FM，
变式图
∵M，F分别是DC，BC的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理，ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD，
∴ME＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OHG，
同理，∠MEF＝∠OGH，
∴∠OGH＝∠OHG.
中点四边形
典例3 [2024·永州期末]如果点E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是( B )
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
根据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH＝EF＝FG＝HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件．
变式 [2024·西安期末]已知：点 E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边中点，顺次连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.有下列说法：
①四边形EFGH是平行四边形
②当四边形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形
③当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形
④当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
⑤若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD一定是正方形．
其中正确的是( A )
变式图
A．①③④ B．①②⑤
C．①③④⑤ D．②④⑤
1．[2024·烟台期中]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( A )
第1题图
A．2.5 B．5 C．3 D．6
2．[2024·济南期中]如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( B )
第2题图
A．只与AB，CD的长有关
B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关
3．[2024·德州期中]如图，在 ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH，则下列说法中，不正确的是( C )
第3题图
A．四边形EFGH为平行四边形
B．若四边形EFGH为矩形，则 ABCD为菱形
C．若四边形EFGH为菱形，则 ABCD为菱形
D．若四边形EFGH正方形，则 ABCD为正方形
4．[2024·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，P是BC上任意一点，△ABC的面积为S，那么△PDE面积为S．
第4题图
5．[2024·淄博期末]已知，如图△ABC中，点E是边AC的中点，点F是BE的中点，连接AF并延长，交边BC于点D，BD＝2.则边BC的长为6．
第5题图三角形的中位线的定义
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的 ．
(1)三角形的中位线是线段；(2)一个三角形有三条中位线．
三角形的中位线性质定理
三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 ．
在三角形问题中，已知某条边的中点，常考虑作过该中点的三角形中位线，利用中位线定理解决问题．
中点四边形(拓展)
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
原四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对角线关系 — 互相平分 相等 垂直 相等且垂直
中点四边形 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形
与三角形中位线有关的计算
典例1 如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为( )
典例1图
A．3 B．2.5 C．1.5 D．1
延长CF交AB于点H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF＝BH.
变式1 [2024·达州模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是( )
变式1图
A．2 B．3
C．4 D．5
变式2 如图所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是( )
变式2图
A．50° B．40°
C．30° D．20°
变式3 [2024·徐州期中]如图，点D，E，F是△ABC各边的中点，CH⊥AB，垂足为H，若∠EHF＝85°，则∠FDE＝ °.
变式3图
构造三角形中位线进行证明
典例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是两条对角线BD，AC的中点．求证：MN＝(BC－AD)．
典例2图
变式 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是四边形ABCD边AD，BC的中点，EF分别交AC，BD于点G，H.
求证：∠OGH＝∠OHG.
变式图
中点四边形
典例3 [2024·永州期末]如果点E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是( )
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
变式 [2024·西安期末]已知：点 E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边中点，顺次连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.有下列说法：
①四边形EFGH是平行四边形
②当四边形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形
③当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形
④当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
⑤若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD一定是正方形．
其中正确的是( )
变式图
A．①③④ B．①②⑤
C．①③④⑤ D．②④⑤
1．[2024·烟台期中]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( )
第1题图
A．2.5 B．5 C．3 D．6
2．[2024·济南期中]如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( )
第2题图
A．只与AB，CD的长有关
B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关
3．[2024·德州期中]如图，在 ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH，则下列说法中，不正确的是( )
第3题图
A．四边形EFGH为平行四边形
B．若四边形EFGH为矩形，则 ABCD为菱形
C．若四边形EFGH为菱形，则 ABCD为菱形
D．若四边形EFGH正方形，则 ABCD为正方形
4．[2024·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，P是BC上任意一点，△ABC的面积为S，那么△PDE面积为 ．
第4题图
5．[2024·淄博期末]已知，如图△ABC中，点E是边AC的中点，点F是BE的中点，连接AF并延长，交边BC于点D，BD＝2.则边BC的长为 ．
第5题图
