勾股定理
在直角三角形中，如果两条直角边分别是a和b，斜边为c，那么__ __．用自然语言可叙述为__ __．
(1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边．
勾股定理的证明
我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等来证明勾股定理
利用勾股定理进行计算
角度1 求线段的长度
典例1 [2024·泰安期中]如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄，已知DA＝4 km，CB＝6 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是__ _ __．
典例1图
变式 如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝3，AD＝4，∠ACD＝2∠B，则BD的长是( )
变式图
A．5 B．6
C．7 D．8
角度2 求图形的面积
典例2 [2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( )
典例2图
A．12 B．13
C．14 D．15
变式 [2024·大庆]如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__ __.
变式图
角度3 求解折叠问题
典例3 [2024·淄博期末]如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为( )
典例3图
A．6 B．8 C．10 D．12
变式 [2024·烟台期末]如图，在矩形ABCD中，E为CD边上的点，CE＝3 cm，AB＝8 cm.若沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，则阴影部分的面积为__ _ __．
变式图
勾股定理的实际应用
典例4 [2024·菏泽期中]一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上．
典例4图
(1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
变式 [2023·深圳期末]有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送2 m(水平距离BC＝2 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
变式图
1．[2024·济南期末]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为( )
第1题图
A．6 B．10 C．24 D．48
2．[2024·临沂期中]如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝( )
第2题图
A．25 B．31
C．32 D．40
3．[2024·泰安期末]如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为__ __．
第3题图
4．[2024·菏泽二模]在直角三角形中，两边长分别为6，8，则第三条边长为__ __．
5．[2024·潍坊期中]综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度．
第5题图勾股定理
在直角三角形中，如果两条直角边分别是a和b，斜边为c，那么__a2＋b2＝c2__．用自然语言可叙述为__直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方__．
(1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边．
勾股定理的证明
我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等来证明勾股定理
利用勾股定理进行计算
角度1 求线段的长度
典例1 [2024·泰安期中]如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄，已知DA＝4 km，CB＝6 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是__6_km__．
典例1图
根据DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DE＝CE，列式AD2＋AE2＝DE2＝BE2＋BC2＝CE2，解出AE的值，即可作答．
变式 如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝3，AD＝4，∠ACD＝2∠B，则BD的长是( D )
变式图
A．5 B．6
C．7 D．8
角度2 求图形的面积
典例2 [2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( B )
典例2图
A．12 B．13
C．14 D．15
由题意可知，中间小正方形的边长为m－n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2＋n2.
变式 [2024·大庆]如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图2是1次操作后的图形．图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__48__.
变式图
角度3 求解折叠问题
典例3 [2024·淄博期末]如图，有一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，现将Rt△ABC折叠，使点B与点A重合，得到折痕MN，则△ACM的面积为( A )
典例3图
A．6 B．8 C．10 D．12
设BM＝x，由翻折易得AM＝BM，在Rt△ACM中，由勾股定理列出方程即可求得BM的长，进而可求出△ACM的面积．
变式 [2024·烟台期末]如图，在矩形ABCD中，E为CD边上的点，CE＝3 cm，AB＝8 cm.若沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，则阴影部分的面积为__30_cm2__．
变式图
勾股定理的实际应用
典例4 [2024·菏泽期中]一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上．
典例4图
(1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
(1)直接由勾股定理计算即可；
(2)先由勾股定理求出OB′，再计算出BB′即可．
解：(1)在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米，
∴OA＝＝＝24(米)，
答：梯子的顶端距地面24米；
(2)在Rt△A′OB′中，A′O＝24－4＝20(米)，
∴OB′＝＝＝15(米)，
∴BB′＝15－7＝8(米)，
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
变式 [2023·深圳期末]有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送2 m(水平距离BC＝2 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
变式图
解：在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，
∵BF＝CE＝1.5 m，DE＝0.5 m，
∴CD＝1 m，
设秋千的绳索长为x m，则AC＝(x－1)m，
故x2＝22＋(x－1)2，
解得x＝2.5，
答：绳索AD的长度是2.5 m.
1．[2024·济南期末]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为( B )
第1题图
A．6 B．10 C．24 D．48
2．[2024·临沂期中]如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝( B )
第2题图
A．25 B．31
C．32 D．40
3．[2024·泰安期末]如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为__3__．
第3题图
4．[2024·菏泽二模]在直角三角形中，两边长分别为6，8，则第三条边长为__10或__．
5．[2024·潍坊期中]综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD为1米，以及点F到旗杆AB的距离FE为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度．
第5题图
解：设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF为(x＋2)米，
由题意可知，BE＝FD＝1米，FE＝9.6米，AE＝AB－BE＝(x－1)米，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋EF2＝AF2，
即(x－1)2＋9.62＝(x＋2)2，
解得x＝14.86，
答：旗杆AB的高度为14.86米.
